Kurt Gödel

Ficheiro:Kurt Gödel MFO.jpeg

Kurt Gödel

Kurt Gödel, nado en Brünn o 28 de abril de 1906 e falecido en Princeton, EUA, o 14 de xaneiro de 1978, foi un matemático austrohúngaro.

O seu traballo máis famoso é o Teorema da Incompletitude, que afirma que calquera sistema axiomático suficiente para incluír a aritmética dos números enteiros non pode ser simultaneamente completo e consistente.

Isto significa que se o sistema é autoconsistente, entón existirán proposicións que non poderán ser nin probadas nin negadas por este sistema axiomático. E se o sistema fose completo, entón non se poderá validar a si mesmo, pois sería inconsistente.

Sinopse Biográfica

Naceu en Brünn, (hoxe Brno, na República Checa), fillo dun xerente de fábrica téxtil. En familia, Kurt era coñecido por Der Herr Warum ("o señor por que?").

En 1923, concluiu, con louvor, o curso fundamental na escola alemá de Brünn, Malia ter excelente talento para as linguas, aprofundou en Historia e Matemática. O seu interese pola Matemática aumentou en 1920, cando acompañou a Rudolf, o seu irmán maior, que fora a Viena a estudar na Escola de Medicina da Universidade de Viena. Durante a adolescencia, estudou a Goethe, o Manual de Gabelsberger, a teoría das cores de Isaac Newton e as "Críticas" de Kant.

Estudo en Viena

Aínda que inicialmente pretendese estudar Física Teórica, aos 18 anos, frecuentou cursos de Matemática e Filosofía, conseguindo logo o mestrado en Matemáticas. Nesa época adoptou as ideas do realismo matemático. Leu a 'Metaphysische Anfangsgrunde Der Naturwisenschaft', de Kant e participou do Círculo de Viena xuntamente con Moritz Schlick, Hans Hahn, e Rudolf Carnap.

Kurt estudaba a teoría dos números cando participou dun seminario con Moritz Schlick sobre a Introduction to Mathematical Philosophy, de Bertrand Russell, e interesouse inmediatamente pola lóxica matemática.

Nesa época de grande actividade, coñeceu a súa futura esposa Adele Nimbursky (nacida Porkert), iniciou a publicar escritos sobre lóxica e frecuentou aulas de David Hilbert, en Bologna, sobre a completitude e consistencia de sistemas matemáticos.

En 1929 Gödel tornouse cidadán austríaco e completou a súa disertación para doutoramento baixo a supervisión de Hans Hahn, onde estableceu a completitude do cálculo de predicados de primeira orde, tamén coñecido como Teorema da Completitude de Gödel.

Traballo en Viena

En 1930, doutorouse en Filosofia e produciu unha versión combinada dos seus escritos sobre a completitude, que foi publicada pola Academia de Ciencias de Viena. 

En 1931 publicou o seu famoso teorema da incompletitude no Über formal unentscheidbare Sätze der Principia Mathematica und verwandter Systeme. Neste escrito demostrou que calquera sistema matemático axiomático, suficiente para incluír a aritmética dos números naturais, necesariamente:

1. non pode ser simultaneamente completo e consistente. (Teorema da Incompletude).
2. se o sistema é consistente, a súa consistencia non pode ser probada internamente ao sistema.

Estes dous teoremas pecharon con centenas de anos de tentativas de establecer un conxunto completo de axiomas que posibilitasen deducir toda a Matemática como o Principia Mathematica ou no formalismo de Hilbert. Iso tamén implica que un computador xamais poida ser programado para responder a todas as cuestións matemáticas.

En 1932 foi diplomado pola Universidade de Viena e, en 1933, converteuse en "Privatdocent" (docente non remunerado).

A ascensión de Hitler ao poder non afectou diretamente á vida de Gödel en Viena, pois el non tiña interese en política. Porén, despois do asasinato de Schlick por un estudante nazi, Gödel ficou impactado e tivo a súa primeira crise depresiva.

Visita á América do Norte

Nese mesmo ano de 1933, viaxou a América. Aló, encontrou con Albert Einstein e inscrebeuse na conferencia anual da American Mathematical Society. Durante este ano desenvolveu as ideas de computabilidade e das funcións recursivas co propósito de dar leccións sobre as funcións recursivas xerais e o concepto de verdade matemática. Este traballo foi desenvolvido na área da teoría dos números usando a construción dos números de Gödel. En 1934 Gödel presentou unha serie de aulas no [Institute for Advanced Study] - (IAS) - de Princeton tituladas 'Sobre as proposicións indecidíbeis dos sistemas matemáticos formais'. Stephen Kleene, que xustamente completaba o seu doutorado en Princeton, anotou eses cursos, e foron publicados subsecuentemente.

Gödel visitou o IAS novamente no outono de 1935. A viaxe foi difícil e exhaustiva, resultando nunha recaída depresiva. Voltou a dar leccions en 1937 e durante ese ano traballou arduamente na proba da consistencia da Hipótese do Continuum.

O 20 de setembro de 1938 casou con Adele. Logo despois visitou novamente o IAS e, na primavera de 1939, a Universidade de Notre Dame.

Traballo en Princeton

Despois da anexión da Austria pola Alemaña, en 1938, o título de "Privatdocent" de Gödel foi extinto e invitárono a se inscribir no Exercito Nazi.

En xaneiro de 1940, el e maila súa muller saíron da Europa no tren transiberiano e viaxaron pola Rusia e Xapón ata chegaren á América do Norte o 4 de marzo de 1940. Estableceronse en Princeton, cando Gödel recebeu grande apoio de Norbert Wiener e pasou a integrar o IAS. Nesa época, voltou a Filosofía e Física, estudando detalladamente os traballos de Gottfried Leibniz, Kant e Edmund Husserl.

A fins de 1940 demostrou a existencia da solución paradoxal das ecuacións de campo da teoría xeral da relatividade de Albert Einstein. Continuando os seus traballos en lóxica, no mesmo ano, publicou o estudo sobre a 'consistencia do axioma da escolla e da hipótese do continuun xeneralizada cos axiomas da teoría dos conxuntos' o cal se tornou un dos asuntos clásicos da Matemática Moderna.

En 1946 Gödel tornouse membro permanente do IAS e en 1948 naturalizouse cidadán estadounidense. Pasou a profesor pleno do instituto en 1953 e profesor emérito en 1976.

No comezo da década de 70, Gödel distribuíu aos amigos un estudo da proba ontolóxica da existencia de Deus elaborada por Gottfried Leibniz, o cal acabou sendo coñecido como proba ontolóxica de Gödel.

Kurt Gödel recebeu moitos premios e honras durante súa vida e tamén o primeiro dos Premio Einstein en 1951. En [(1974]] recebeu a Medalla Nacional de Ciencia.

No fin da súa vida, Gödel coidaba que estaba sendo envelenado e rexeitaba comer, morrendo de fame, o 14 de xaneiro de 1978, en Princeton.

Publicacións Importantes

• "Über formal unentscheidbare Sätze der Principia Mathematica und verwandter Systeme".- I. Monatshefte für Mathematik und Physik{, vol. 38 (1931), pp 173-198. (dispoñíbel en inglés en "From Frege to Gödel" van Heigenoort, Harvard Univ. Press, 1971.
• Consistency of the axiom of choice and of the generalised continuum-hypothesis with the axioms of set theory (1941).
• B. Roser: "Extensions of some theorems of Gödel and Church". Journal of Symbolic Logic, 1 (1936), N1, pp. 87-91