Espazo vectorial normado

En matemáticas, un espazo vectorial normado ou espazo normado é un espazo vectorial sobre os números reais ou complexos nos que se define unha norma.^[1] Unha norma é unha xeneralización da noción intuitiva de "lonxitude" no mundo físico. Se $V$ é un espazo vectorial sobre $K$ , onde $K$ é un corpo igual a $\mathbb {R}$ ou a $\mathbb {C}$ , entón unha norma en $V$ é un mapa $V\to \mathbb {R}$ , normalmente denotado como $\lVert \cdot \rVert$ , cumprindo os seguintes catro axiomas:

Non negatividade: para todo $x\in V$ , $\;\lVert x\rVert \geq 0$ .
Definición positiva: para todo $x\in V$ , $\;\lVert x\rVert =0$ se e só se $x$ é o vector cero.
Homoxeneidade absoluta: para todo $\lambda \in K$ e $x\in V$ ,

\lVert \lambda x\rVert =|\lambda |\,\lVert x\rVert

Desigualdade triangular: para todo $x\in V$ e $y\in V$ ,

\|x+y\|\leq \|x\|+\|y\|.

Se $V$ é un espazo vectorial real ou complexo como o anterior, e $\lVert \cdot \rVert$ é unha norma en $V$ , entón o par ordenado $(V,\lVert \cdot \rVert )$ chámase espazo vectorial normado. Se polo contexto fica claro cal é a norma que se pretende usar, entón é común denotar o espazo vectorial normado simplemente por $V$ .

Unha norma induce unha distancia, chamada a súa métrica inducida pola norma, mediante a fórmula

d(x,y)=\|y-x\|

,

o que converte calquera espazo vectorial normado nun espazo métrico e nun espazo vectorial topolóxico. Se o espazo é real e de dimensión finita, entón é un espazo de Minkowski.^[2] Se este espazo métrico é completo, entón o espazo normado é un espazo de Banach.

Todo espazo vectorial normado pode ser "estendido de forma única" a un espazo de Banach, o que fai que os espazos normados estean intimamente relacionados cos espazos de Banach. Todo espazo de Banach é un espazo normado, pero o contrario non é certo. Por exemplo, o conxunto das secuencias finitas de números reais pode ser normado coa norma euclidiana, pero non é completo para esta norma.

Un espazo de produto interno é un espazo vectorial normado cuxa norma é a raíz cadrada do produto interno dun vector consigo mesmo. A norma euclidiana dun espazo vectorial euclidiano é un caso especial que permite definir a distancia euclidiana mediante a fórmula

d(A,B)=\|{\overrightarrow {AB}}\|.

O estudo dos espazos normados e os espazos de Banach é unha parte fundamental da análise funcional, un subcampo importante das matemáticas.

Definición

Un espazo vectorial normado é un espazo vectorial equipado cunha norma. Un espazo vectorial seminormado é un espazo vectorial equipado cunha seminorma.

Unha variación útil da desigualdade triangular é

\|x-y\|\geq |\|x\|-\|y\||

para calquera vector $x$ e $y.$

Isto tamén demostra que unha norma vectorial é unha función (uniformemente) continua.

A propiedade 3 depende da escolla dunha norma $|\alpha |$ no corpo dos escalares. Cando o corpo escalar é $\mathbb {R}$ (ou máis xeralmente un subconxunto de $\mathbb {C}$ ), soe considerarse o valor absoluto ordinario, mais son posíbeis outras opcións. Por exemplo, para un espazo vectorial sobre $\mathbb {Q}$ poderíamos facer que $|\alpha |$ fose o valor absoluto $p$ -ádico.

Estrutura topolóxica

Se $(V,\|\,\cdot \,\|)$ é un espazo vectorial normado, a norma $\|\,\cdot \,\|$ induce unha métrica (unha noción de distancia) e, polo tanto, unha topoloxía en $V.$ Esta métrica defínese de xeito natural: a distancia entre dous vectores $\mathbf {u}$ e $\mathbf {v}$ está dado por $\|\mathbf {u} -\mathbf {v} \|.$ Esta topoloxía é precisamente a topoloxía máis débil que fai que $\|\,\cdot \,\|$ sexa continuo e compatíbel coa estrutura linear de $V$ no seguinte sentido:

A suma vectorial $\,+\,:V\times V\to V$ é conxuntamente continua en relación a esta topoloxía. Isto dedúcese directamente da desigualdade triangular.
A multiplicación escalar $\,\cdot \,:\mathbb {K} \times V\to V,$ onde $\mathbb {K}$ é o corpo escalar subxacente de $V,$ é conxuntamente continua. Isto dedúcese da desigualdade triangular e da homoxeneidade da norma.

De especial interese son os espazos normados completos, coñecidos como espazos de Banach. Todo espazo vectorial normado $V$ atópase como un subespazo denso dentro dalgún espazo de Banach; este espazo de Banach está esencialmente definido de forma única por $V$ e chámase a completamento de $V.$

Un espazo vectorial normado $V$ é localmente compacto se e só se a bóla unitaria $B=\{x:\|x\|\leq 1\}$ é compacta, o que ocorre se e só se $V$ é de dimensión finita; isto é unha consecuencia do lema de Riesz. (De feito, un resultado máis xenérico é certo: un espazo vectorial topolóxico é localmente compacto se e só se é de dimensión finita. A cuestión aquí é que non asumimos que a topoloxía provén dunha norma).

A topoloxía dun espazo vectorial seminormado ten moitas propiedades interesantes. Dado un sistema de veciñanza ${\mathcal {N}}(0)$ arredor de 0 podemos construír todos os demais sistemas de veciñanza como

{\mathcal {N}}(x)=x+{\mathcal {N}}(0):=\{x+N:N\in {\mathcal {N}}(0)\}

con

x+N:=\{x+n:n\in N\}.

A maiores, existe unha base de veciñanzas para a orixe que consiste en conxuntos absorbentes e convexos. Como esta propiedade é moi útil na análise funcional, as xeneralizacións de espazos vectoriais normados con esta propiedade estúdanse baixo o nome de espazos localmente convexos.

Unha norma (ou seminorma) $\|\cdot \|$ nun espazo vectorial topolóxico $(X,\tau )$ é continua se e só se a topoloxía $\tau _{\|\cdot \|}$ que $\|\cdot \|$ induce en $X$ é máis grosa que $\tau$ (é dicir, $\tau _{\|\cdot \|}\subseteq \tau$ ), o que ocorre se e só se existe algunha bóla aberta $B$ en $(X,\|\cdot \|)$ (como se cadra $\{x\in X:\|x\|<1\}$ por exemplo) que está aberto en $(X,\tau )$ (dito de xeito diferente, de tal xeito que $B\in \tau$ ).

Espazo normábel

Un espazo vectorial topolóxico $(X,\tau )$ chámase normábel se existe unha norma $\|\cdot \|$ en $X$ de tal xeito que a métrica canónica $(x,y)\mapsto \|y-x\|$ induce a topoloxía $\tau$ en $X.$ O seguinte teorema débese a Kolmogorov: ^[3]

Criterio de normabilidade de Kolmogorov: un espazo vectorial topolóxico de Hausdorff é normábel se e só se existe unha veciñanza convexa e limitada de von Neumann de $0\in X.$

Mapas lineares e espazos duais

Os mapas máis importantes entre dous espazos vectoriais normados son as aplicacións lineares continuas. Xunto con estes mapas, os espazos vectoriais normados forman unha categoría.

A norma é unha función continua no seu espazo vectorial. Todas as aplicacións lineares entre espazos vectoriais de dimensión finita tamén son continuas.

Unha isometría entre dous espazos vectoriais normados é unha aplicación linear $f$ que preserva a norma (é dicir, $\|f(\mathbf {v} )\|=\|\mathbf {v} \|$ para todos os vectores $\mathbf {v}$ ). As isometrías son sempre continuas e inxectivas. Unha isometría sobrexectiva entre os espazos vectoriais normados $V$ e $W$ chámase isomorfismo isométrico e $V$ e $W$ chámanse isométricamente isomóorfos. Os espazos vectoriais normados isometricamente isomorfos son idénticos para todos os fins prácticos.

Ao falar de espazos vectoriais normados, ampliamos a noción de espazo dual para ter en conta a norma. O dual $V^{\prime }$ dun espazo vectorial normado $V$ é o espazo de todas as aplicacións lineares continuas desde $V$ ao corpo base (os complexos ou os reais): estas aplicacións lineares chámanse "funcionais".

A norma dun funcional $\varphi$ defínese como o supremo de $|\varphi (\mathbf {v} )|$ onde $\mathbf {v}$ ten o seu rango sobre todos os vectores unitarios (é dicir, vectores de norma $1$ ) en $V.$ Isto fai de $V^{\prime }$ tamén un espazo vectorial normado.

Un teorema importante sobre os funcionais lineares continuos en espazos vectoriais normados é o teorema de Hahn-Banach.

Notas

↑ Callier, Frank M. (1991). Linear System Theory. New York: Springer-Verlag. ISBN 0-387-97573-X.
↑ Thompson, Anthony C. (1996). Minkowski geometry. Encyclopedia of mathematics and its applications. Cambridge ; New York: Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-40472-3.
↑ Schaefer 1999, p. 41.

Véxase tamén

Bibliografía

Jarchow, Hans (1981). Locally Convex Spaces. Mathematische Leitfäden. [Mathematical Textbooks]. B. G. Teubner, Stuttgart. ISBN 3-519-02224-9. MR 632257.
Banach, Stefan (1932). Théorie des Opérations Linéaires [Theory of Linear Operations] (PDF). Monografie Matematyczne (en francés) 1. Warszawa: Subwencji Funduszu Kultury Narodowej. Zbl 0005.20901. Arquivado dende o orixinal (PDF) o 2014-01-11. Consultado o 2020-07-11.
Rolewicz, Stefan (1987). Functional analysis and control theory: Linear systems. Mathematics and its Applications (East European Series) 29 (Translated from the Polish by Ewa Bednarczuk ed.). Dordrecht; Warsaw: D. Reidel Publishing Co.; PWN—Polish Scientific Publishers. pp. xvi+524. ISBN 90-277-2186-6. MR 920371. OCLC 13064804. doi:10.1007/978-94-015-7758-8.
Schaefer, H. H. (1999). Topological Vector Spaces. New York, NY: Springer New York Imprint Springer. ISBN 978-1-4612-7155-0. OCLC 840278135.

Outros artigos

[text-1] Callier, Frank M. (1991). Linear System Theory. New York: Springer-Verlag. ISBN 0-387-97573-X.

[2] Thompson, Anthony C. (1996). Minkowski geometry. Encyclopedia of mathematics and its applications. Cambridge ; New York: Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-40472-3.

[FOOTNOTESchaefer199941-3] Schaefer 1999, p. 41.

[1]

[2]

[3]