Enteiro alxébrico

Na teoría de números alxébricos, un enteiro alxébrico é un número complexo que é un elemento enteiro sobre os enteiros.

É dicir, un enteiro alxébrico é unha raíz complexa dalgún polinomio mónico (un polinomio cuxo coeficiente principal é 1) cuxos coeficientes son números enteiros.

O conxunto de todos os enteiros alxébricos A está pechado baixo a suma, resta e multiplicación e, polo tanto, é un subanel conmutativo dos números complexos.

O anel de números enteiros dun corpo numérico K, denotado como O_K, é a intersección de K e A: tamén se pode caracterizar como a orde máxima do corpo K. Cada número enteiro alxébrico pertence ao anel de números enteiros dalgún corpo numérico. Un número α é un enteiro alxébrico se e só se o anel $\mathbb {Z} [\alpha ]$ se xera finitamente como un grupo abeliano, é dicir, como un $\mathbb {Z}$ -módulo.

Definicións

As seguintes son definicións equivalentes dun número enteiro alxébrico. Sexa K un corpo numérico (é dicir, unha extensión finita de $\mathbb {Q}$, o corpo dos números racionais), noutras palabras, $K=\mathbb {Q} (\theta )$ para algún número alxébrico $\theta \in \mathbb {C}$ polo teorema dos elementos primitivos.

• α ∈ K é un enteiro alxébrico se existe un polinomio mónico $f(x)\in \mathbb {Z} [x]$ tal que f(α) = 0.
• α ∈ K é un enteiro alxébrico se o polinomio mónico mínimo de α sobre $\mathbb {Q}$ está en $\mathbb {Z} [x]$.
• α ∈ K é un enteiro alxébrico se $\mathbb {Z} [\alpha ]$ é un $\mathbb {Z}$-modulo finitamente xerado.
• α ∈ K é un enteiro alxébrico se existe un non cero $\mathbb {Z}$-submodulo finitamente xerado $M\subset \mathbb {C}$ tal que αM ⊆ M.

Os enteiros alxébricos son un caso especial dos elementos enteiros dunha extensión dun anel. En particular, un enteiro alxébrico é un elemento enteiro dunha extensión finita $K/\mathbb {Q}$.

Exemplos

• Os únicos enteiros alxébricos que se atopan no conxunto dos números racionais son os enteiros. Noutras palabras, a intersección de $\mathbb {Q}$ e A é exactamente $\mathbb {Z}$. O número racional a/b non é un enteiro alxébrico a non ser que b divida a. O coeficiente principal do polinomio bx − a é o número enteiro b.
• A raíz cadrada ${\sqrt {n}}$ dun enteiro non negativo n é un enteiro alxébrico, pero é irracional a non ser que n sexa un cadrado perfecto.
• Se d é un enteiro libre de cadrados entón a extensión $K=\mathbb {Q} ({\sqrt {d}}\,)$ é unha corpo cadrático de números racionais. O anel de enteiros alxébricos O_K contén ${\sqrt {d}}$ xa que esta é unha raíz do polinomio mónico x² − d. A maiores, se d ≡ 1 mod 4, entón o elemento ${\textstyle {\frac {1}{2}}(1+{\sqrt {d}}\,)}$ tamén é un enteiro alxébrico. Satisfai o polinomio x² − x + 1/4(1 − d)x² − x + 1/4(1 − d) onde o termo constante 1/4(1 − d) é un número enteiro. O anel completo de números enteiros é xerado por ${\sqrt {d}}$ ou ${\textstyle {\frac {1}{2}}(1+{\sqrt {d}}\,)}$ respectivamente. Consulte Enteiro cadrático para obter máis información.
• Se ζ_n é unha primitiva n-ésimo raíz da unidade, entón o anel de enteiros do corpo ciclotómico $\mathbb {Q} (\zeta _{n})$ é precisamente $\mathbb {Z} [\zeta _{n}]$.
• Se α é un enteiro alxébrico, entón $\beta ={\sqrt[{n}]{\beta }}$ é outro enteiro alxébrico. Un polinomio para β obtense substituíndo xⁿ no polinomio de α.

Non exemplo

• Se P(x) é un polinomio primitivo que ten coeficientes enteiros pero non é mónico, e P é irredutíbel sobre $\mathbb {Q}$, entón ningunha das raíces de P son números enteiros alxébricos (pero son números alxébricos). Aquí úsase primitivo no sentido de que o maior factor común dos coeficientes de P é 1, o que é máis débil que esixir que os coeficientes sexan relativamente primos por parellas.

Xeración finita de extensión dun anel

Para calquera α, a extensión do anel (no sentido que é equivalente á extensión de corpo) dos números enteiros por α, denotada como $\mathbb {Z} (\alpha )\equiv \{\sum _{i=0}^{n}\alpha ^{i}z_{i}|z_{i}\in \mathbb {Z} ,n\in \mathbb {Z} \}$, xérase finitamente se e só se α é un enteiro alxébrico.

Anel

A suma, a diferenza e o produto de dous enteiros alxébricos é un enteiro alxébrico. En xeral, o seu cociente non o é. Así, os enteiros alxébricos forman un anel.

Tamén se pode construír explicitamente o polinomio mónico implicado, que é xeralmente de maior grao que os dos enteiros alxébricos orixinais, tomando resultantes e factorizando. Por exemplo, se temos x² − x − 1 = 0, y³ − y − 1 = 0 e z = xy, eliminando x e y de z − xy = 0 e os polinomios satisfeitos por x e y utilizando a resultante dáse z⁶ − 3z⁴ − 4z³ + z² + z − 1 = 0, que é irredutíbel, e é a ecuación mónica satisfeita polo produto. (Para ver que xy é unha raíz do resultado x de z − xy e x² − x − 1, pódese usar o feito de que a resultante está contida no ideal xerado polos seus dous polinomios de entrada.)

Pechamento integral

Toda raíz dun polinomio mónico cuxos coeficientes son números enteiros alxébricos é en si mesma un enteiro alxébrico. Noutras palabras, os enteiros alxébricos forman un anel que é un peche integral en calquera das súas extensións.

A demostración é análoga á proba correspondente para números alxébricos que están pechados alxebricamente.

Véxase tamén

Bibliografía

• Stein, William. Algebraic Number Theory: A Computational Approach (PDF). Arquivado dende o orixinal (PDF) o 2013-11-02. 

Outros artigos

• Elemento enteiro
• Enteiro de Gauss
• Raíz da unidada
• Teorema das unidades de Dirichlet
• Unidade fundamental (teoría de números)