Elipsoide de referencia

Esfera achatada

En xeodesia, un elipsoide de referencia é unha superficie definida matematicamente que aproxima o xeoide (forma da Terra) ou outro corpo planetario. Debido á súa relativa simplicidade, os elipsoides de referencia empréganse como a superficie preferida en que se representan as computacións da rede xeodésica e sobre a que se definen coordenadas como a latitude, a lonxitude e a elevación.

No contexto da estandarización das aplicacións xeográficas, un elipsoide xeodésico de referencia é un modelo matemático empregado como fundamento polas definicións de sistema de referencia espacial ou datum xeodésico.

Parámetros do elipsoide

En 1687 Isaac Newton publicou os Principia, en que incluía unha demostración de que un fluído autogravitatorio que xira en equilibrio toma a forma dun elipsoide de revolución achatado, xerado por unha elipse que xira arredor do seu diámetro menor; unha figura que denominou esferoide achatado.

En xeofísica, xeodesia e áreas relacionadas, a palabra "elipsoide" emprégase para significar "elipsoide de revolución achatado", e a antiga expresión "esferoide achatado" apenas se utiliza. Para corpos que non poden aproximarse ben por un elipsoide de revolución emprégase un elipsoide triaxial ou escaleno.

A forma dun elipsoide de revolución determínase mediante os parámetros dunha elipse. O semieixe maior da elipse, a, convértese no raio ecuatorial do elipsoide; o semieixe menor da elipse, b, tómase como a distancia dende o centro a cada polo. Estas dúas lonxitudes especifican completamente a forma do elipsoide.

Non obstante, en publicacións sobre xeodesia, é habitual especificar o semieixe maior (raio ecuatorial) a e o achatamento f, definido como

$f={\frac {a-b}{a}}.$

Así, f é a cantidade de achatamento de cada polo en relación ao raio no ecuador. Isto tamén se expresa como unha fracción 1/m; m = 1/f, falándose entón de "achatamento inverso". En xeodesia empréganse moitos outros parámetros da elipse, mais todos eles poden relacionarse cun ou con dous do conxunto a, b e f.

No pasado empregáronse moitos elipsoides diferentes con valores distintos de a e b, ademais de diferentes posicións do centro e diferentes orientacións dos eixes en relación á Terra sólida. Dende finais do século XX, as mellores medidas dos satélites orbitais proporcionaron determinacións moi exactas do centro de masa da Terra e do seu eixe de revolución e estes parámetros foron adoptados en todos os elipsoides de referencia modernos.

O elipsoide WGS-84, empregado para cartografía e navegación por satélite ten un valor de f próximo a 1/300 (máis exactamente, 1/298,257223563, por definición), correspondente á diferenza entre os semieixes maior e menor de aproximadamente 21 km (máis precisamente 21,3846858 km). En comparación, a Lúa é aínda menos elipsoidal, cun achatamento de menos de 1/825, mentres que Xúpiter é visiblemente achatado con 1/15 e un dos satélites triaxiais de Saturno, Telesto, é enormemente achatado, con f entre 1/3 e 1/2, o que significa que o diámetro polar mide entre un 50% e un 67% do ecuatorial.

Coordenadas

Un uso principal dos elipsoides de referencia é servir de base para un sistema de coordenadas formado por latitude (norte/sur), lonxitude (leste/oeste) e altura elipsoidal.

Para este propósito precísase identificar un meridiano cero, que na Terra é o meridiano primario. Para outros corpos adoita referenciarse empregando unha superficie fixada, como en Marte, co meridiano que pasa polo cráter Airy-0. É posible definir diferentes sistemas de coordenadas sobre o mesmo elipsoide de referencia.

A lonxitude mide o ángulo entre o meridiano cero e o punto medido. Por convenio, na Terra, a Lúa e o Sol exprésase en graos entre −180° e +180°. Para outros corpos emprégase un rango entre 0° e 360°.

A latitude mide o próximo aos polos ou ao ecuador se atopa un punto situado nun meridiano, e represéntase un ángulo de −90° a +90°, onde 0° é o ecuador. A latitude xeodésica ou común é o ángulo entre o plano ecuatorial e a liña normal ao elipsoide de referencia. Dependendo do achatamento, pode ser significativamente diferente da latitude xeocéntrica (xeográfica), que é o ángulo entre o plano ecuatorial e unha liña dende o centro do elipsoide. Para corpos non terrestres empréganse as expresións planetográfico e planetacéntrico.

As coordenadas dun punto xeodésico adoita indicarse como latitude xeodésica ϕ e lonxitude λ, e a altura elipsoidal h do punto sobre ou baixo o elipsoide de referencia pola normal. Se se dan estas coordenadas, pódense medir as coordenadas rectangulares xeocéntricas como segue:

${\begin{aligned}X&={\big (}N(\phi )+h{\big )}\cos {\phi }\cos {\lambda }\\Y&={\big (}N(\phi )+h{\big )}\cos {\phi }\sin {\lambda }\\Z&=\left({\frac {b^{2}}{a^{2}}}N(\phi )+h\right)\sin {\phi }\end{aligned}}$

onde

$N(\phi )={\frac {a^{2}}{\sqrt {a^{2}\cos ^{2}\phi +b^{2}\sin ^{2}\phi }}},$

e a e b son os raios ecuatorial (semieixe maior) e polar (semieixe menor), respectivamente. N é o raio de curvatura na vertical.

Pola contra, extraer φ, λ e h das coordenadas rectangulares adoitan requirir iteracións. Un método directo dáse nunha publicación da OSGB publication e noutras páxinas web.

Elipsoides terrestres históricos

Raio ecuatorial (a), polar (b) e medio da Terra definidos na revisión de 1984 do sistema xeodésico mundial (non a escala)

Actualmente, o elipsoide de referencia usado máis habitualmente, e o que se emprega no contexto do sistema de posicionamento global é o definido pola WGS 84.

Os elipsoides de referencia tradicionais ou datums xeodésicos están definidos rexionalmente e polo tanto non son xeocéntricos, como pode ser o ED50. Os datums xeodésicos modernos establécense coa axuda do GPS e polo tanto son xeocéntricos.

Outros corpos celestes

Os elipsoides de referencia tamén son útiles para cartografar a xeodesia doutros corpos planetarios como planetas, satélites, asteroides e núcleos de cometas. Algúns corpos ben observados como a Lúa e Marte agora teñen elipsoides de referencia bastante precisos.

Para corpos case esféricos con superficie ríxida, como os planetas rochosos e moitos satélites, os elipsoides de referencia defínense en termos do eixe de rotación e a altura media excluída a atmosfera. Marte realmente ten forma de ovo, en que os raios polares norte e sur difiren en aproximadamente 6 km, aínda que esta diferenza é pequena abondo para que o raio polar medio se empregue para definir o seu elipsoide. A Lúa é efectivamente esférica, sen apenas protuberancia no seu ecuador. Onde é posible, emprégase unha superficie observable cando se define un meridiano de referencia.

Para os planetas gasosos como Xúpiter, escóllese unha superficie efectiva para un elipsoide como a fronteira de igual presión de un bar. Posto que non hai elementos permanentes, a escolla dun meridiano primario realízase segundo regras matemáticas.

Os satélites pequenos, os asteroides e os núcleos dos cometas teñen frecuentemente formas irregulares. Para algúns, como Ío, axústase mellor un elipsoide escaleno (triaxial) que un esferoide achatado. Para corpos altamente irregulares, o concepto de elipsoide de referencia pode non ser un valor útil, polo que ás veces se emprega unha referencia esférica. Mesmo isto pode ser problemático para corpos non convexos como Eros, en que a latitude e a lonxitude non se identifican unicamente como unha localización singular.

Véxase tamén

Bibliografía

• P. K. Seidelmann (Chair), et al. (2005), “Report Of The IAU/IAG Working Group On Cartographic Coordinates And Rotational Elements: 2003,” Celestial Mechanics and Dynamical Astronomy, 91, pp. 203–215.
  • Web address: https://astrogeology.usgs.gov/Projects/WGCCRE
• OpenGIS Implementation Specification for Geographic information - Simple feature access - Part 1: Common architecture, Annex B.4. 2005-11-30
  • Web address: http://www.opengeospatial.org

Ligazóns externas

• Geographic coordinate system
• Coordinate systems and transformations (SPENVIS help page)
• Coordinate Systems, Frames and Datums