Ecuación de Dirac

En física de partículas, a ecuación de Dirac é unha ecuación de ondas relativista da mecánica cuántica formulada por Paul Dirac en 1928. Describe as partículas fundamentais masivas de espín 1/2 chamadas «partículas de Dirac», como o electrón e os quarks para os que a paridade é unha simetría. Combina de xeito consistente os principios da mecánica cuántica e a teoría da relatividade especial, sendo a primeira teoría en facelo.

Esta ecuación predicía a existencia dun novo tipo de materia, a antimateria, que non fora observada nin predita anteriormente. A existencia da antimateria confirmouse experimentalmente anos despois.

Historia

A ecuación de Dirac foi orixinalmente proposta por Dirac coa forma $$\left(\beta mc^{2}+c\sum _{n=1}^{3}\alpha _{n}p_{n}\right)\psi (x,t)=i\hbar {\frac {\partial \psi (x,t)}{\partial t}},$$ onde $\psi (x,t)$ é a ecuación de ondas para un fermión de masa $m$ con coordeadas espazotemporais $x,t$, o momento da partícula ten compoñentes $p_{n}$, entendidas como o operador momento na ecuación de Schrödinger, a constante $c$ é a velocidade da luz e $\hbar$ é a constante de Planck reducida. As matrices $\alpha _{n}$ e $\beta _{n}$ son matrices $4\times 4$ xeradoras da álxebra de Clifford. Na formulación covariante, relaciónanse cas matrices gamma a través das relacións $$\alpha _{n}=\gamma ^{0}\gamma ^{n},~~~~\beta =\gamma ^{0}.$$

Derivación da ecuación de Dirac

A ecuación de Dirac ten unha estrutura superficial similar á ecuación de Schrödinger dependente do tempo dunha partícula libre:

$$H|\psi (t)\rangle =-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}p^{2}|\psi (t)\rangle =i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}|\psi (t)\rangle .$$

O lado esquerdo da ecuación representa a enerxía cinética non relativista, ao incluír o cadrado do operador momento dividido por dúas veces a masa da partícula, e o lado dereito da ecuación representa a evolución temporal. A relatividade trata de xeito equivalente o espazo e o tempo, polo que unha xeneralización relativista da ecuación de Schrödinger debe incluír as derivadas de xeito simétrico, sendo da mesma orde (tal e como sucede nas ecuacións de Maxwell).

A enerxía dunha partícula relativista con momento $p=|{\boldsymbol {\mathrm {p} }}|$ e masa $m$ vén dada por

$$E_{\mathrm {p} }=+{\sqrt {p^{2}c^{2}+m^{2}c^{4}}}.$$

A raíz cadrada que aparece na expresión impide xeneralizar trivialmente o hamiltoniano ao caso relativista. Para proceder, débese tomar o cadrado do hamiltoniano, obtendo

$$(p^{2}c^{2}+m^{2}c^{4})|\psi (t)\rangle =-\hbar ^{2}{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}|\psi (t)\rangle .$$

Na representación de posición, $\psi ({\boldsymbol {\mathrm {x} }},t)\equiv \langle {\boldsymbol {\mathrm {x} }}|\psi (t)\rangle$, podemos reescribir a nova ecuación como

$$\left({\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}-\nabla ^{2}+{\frac {m^{2}c^{2}}{\hbar ^{2}}}\right)\psi ({\boldsymbol {\mathrm {x} }},t)=0.$$

Esta é a ecuación de Klein-Gordon, que describe a propagación de ondas relativistas. Dun xeito manifestamente covariante, e en unidades naturais, podemos reescribir a ecuación de Klein-Gordon como $(\partial _{\mu }\partial ^{\mu }+m^{2})\psi ({\boldsymbol {\mathrm {x} }},t)=0.$

Unha importante propiedade da ecuación de Schrödinger é o feito de que a densidade de probabilidade $\rho ({\boldsymbol {\mathrm {x} }},t)=\psi ^{*}\psi$ consérvase e é definida positiva. De xeito similar no caso relativista, podemos construír o obxecto

$$j^{\mu }={\frac {i}{2m}}\left[\psi ^{*}(\partial ^{\mu }\psi )-(\partial ^{\mu }\psi )^{*}\psi \right],$$

que verifica a ley de conservación $\partial _{\mu }j^{\mu }=0$. A densidade de probabilidade correspóndese coa compoñente $0$, obtendo

$$\rho ({\boldsymbol {\mathrm {x} }},t)\equiv j^{0}({\boldsymbol {\mathrm {x} }},t)={\frac {i}{2m}}\left[\psi ^{*}\left({\frac {\partial \psi }{\partial t}}\right)-\left({\frac {\partial \psi }{\partial t}}\right)^{*}\psi \right].$$

Esta densidade consérvase, pero non é definida positiva, polo que non permite interpretar fisicamente a función de onda coma unha densidade de probabilidade.

Este primeiro intento de xeneralizar a mecánica cuántica para facela compatible coa relatividade especial, con todo, non foi completamente desbotado e sería recuperado posteriormente no contexto da teoría cuántica de campos.

Para que unha ecuación admita unha interpretación probabilística, é necesario que sexa linear nas derivadas temporais. Tomar a raíz cadrada no termo do lado esquerdo da ecuación é matematicamente problemático, polo que a alternativa é intentar reescribilo dun xeito linear segundo

$${\sqrt {p_{1}^{2}+p_{2}^{2}+p_{3}^{2}+(mc)^{2}}}=\alpha _{1}p_{1}+\alpha _{2}p_{2}+\alpha _{3}p_{3}+\alpha _{4}mc,$$

onde $\alpha _{\mu }$ son constantes arbitrarias, e despois esixir que o seu cadrado reproduza a ecuación de Klein-Gordon. Isto implica que as constantes $\alpha _{\mu }$ deben verificar

$$\alpha _{\mu }\alpha _{\mu }=1,\;\;\;\;\;\;\alpha _{\mu }\alpha _{\nu }+\alpha _{\nu }\alpha _{\mu }=0,\;\mu \neq \nu ,$$

que poden sintetizarse na expresión

$$\{\alpha _{\mu },\alpha _{\nu }\}=2\delta _{\mu \nu },$$

onde $\{...\}$ representa o anticonmutador e $\delta _{\mu \nu }$ é a delta de Kronecher.

Estas condicións non se verifican para escalares. Dirac intentou escribir as constantes $\alpha _{\mu }$ en función das matrices de Pauli, pero demostrou que non era posible atopar un conxunto de matrices $2\times 2$ que verifiquen a condición de anticonmutatividade. O caso menor é aquel no que se teñen matrices $4\times 4$, o que forza a que a función de onda teña catro compoñentes.

Espectro de enerxía

Para entender que representa fisicamente cada compoñente da función de onda $\psi ({\boldsymbol {\mathrm {x} }},t)$, calcúlanse os autoestados de enerxía do hamiltoniano de Dirac.

Primeiro, resólvese a ecuación de Schrödinger independente do tempo $H\psi _{i}({\boldsymbol {\mathrm {x} }})=E_{i}\psi _{i}({\boldsymbol {\mathrm {x} }}),$ no caso dunha partícula libre. Tomando o momento da partícula como ${\boldsymbol {\mathrm {p} }}=p{\hat {\boldsymbol {\mathrm {z} }}}$, introducimos unha solución de onda plana da forma $$\psi ({\boldsymbol {\mathrm {x} }})=ue^{\frac {ipz}{\hbar }},$$ onde $u$ é un obxecto de catro compoñentes constantes. A ecuación de autovalores convértese en $${\begin{bmatrix}mc^{2}&0&pc&0\\0&&mc^{2}&0&-pc\\pc&0&-mc^{2}&0\\0&-pc&0&-mc^{2}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}u_{1}\\u_{2}\\u_{3}\\u_{4}\end{bmatrix}}=E{\begin{bmatrix}u_{1}\\u_{2}\\u_{3}\\u_{4}\end{bmatrix}}.$$ As catro compoñentes son independentes entre si, aínda que tanto as ecuacións para $u_{1}$ e $u_{3}$ como para $u_{2}$ e $u_{4}$ están acopladas. Cada par de ecuacións acopladas proporciona dous autovalores diferentes para a enerxía: $$E_{\pm }=\pm {\sqrt {(mc^{2})^{2}+(pc)^{2}}}.$$

As solucións de enerxía negativa son problemáticas de interpretar fisicamente, xa que a enerxía en repouso dunha partícula masiva é, segundo a mecánica relativista, estritamente positiva. Para resolver esta incoherencia, Dirac serviuse do principio de exclusión de Pauli para introducir a teoría de ocos, segundo a cal o baleiro da teoría se correspondería coa situación na que todos os estados de enerxía negativa están ocupados, e así os electróns vense obrigados a ocupar estados de enerxía positiva. O baleiro sería, entón, un (mar de Dirac) cheo de electróns de enerxía negativa, que sumarían unha cantidade de enerxía e carga infinitas. Porén, actuarían coma un fondo na teoría cuántica e, polo tanto, non terían efecto nos observables.

Por outra banda, sería posible que un fotón coa enerxía suficiente excitase un electrón de enerxía negativa, promovéndoo fóra do mar de Dirac e deixando un oco neste. O resultado serían dúas partículas observables: un electrón e un oco, cas mesmas propiedades que o electrón pero con carga positiva. Esta partícula, chamada positrón foi descuberta en 1932 por Carl David Anderson.