Dualidade (matemáticas)

En matemáticas, unha dualidade traduce conceptos, teoremas ou estruturas matemáticas noutros conceptos, teoremas ou estruturas dun xeito un a un, moitas veces mediante unha operación de involución: se o dual de $A$ é $B$ , entón o dual de $B$ é $A$ . Noutros casos, o dual do dual, o dobre dual ou bidual, non é necesariamente idéntico ao orixinal (tamén chamado primal).

Estas involucións ás veces teñen puntos fixos, polo que o dual de $A$ é o propio $A$ Por exemplo, o teorema de Desargues é auto-dual neste sentido baixo a dualidade estándar en xeometría proxectiva.

Desde o punto de vista da teoría de categorías, a dualidade tamén se pode ver como un functor, polo menos no ámbito dos espazos vectoriais. Este functor atribúe a cada espazo o seu espazo dual, e a construción do produto fibrado atribúe a cada frecha $f : V \to W$ o seu dual $f * : W * \to V *$ .

Exemplos introdutorios

A seguinte lista de exemplos mostra as características comúns de moitas dualidades, pero tamén indica que o significado preciso da dualidade pode variar dun caso a outro.

Complemento dun subconxunto

Unha dualidade simple xorde ao considerar subconxuntos dun conxunto fixo $S$ . Para calquera subconxunto $A \subseteq S$ , o complementario $A ∁$ ^[1] consta de todos aqueles elementos en $S$ que non están contidos en $A$ . É tamén un subconxunto de $S$ . Tomar o complementario ten as seguintes propiedades:

Aplicalo dúas veces devolve o conxunto orixinal, é dicir, $(A ∁) ∁ = A$ . Refírese a isto dicindo que a operación de tomar o complementario é unha involución.
Unha inclusión de conxuntos $A \subseteq B$ convértese nunha inclusión en sentido contrario $B ∁ \subseteq A ∁$ .
Dados dous subconxuntos $A$ e $B$ de $S$ , $A$ está contido en $B ∁$ se e só se $B$ está contido en $A ∁$ .

Esta dualidade aparece en topoloxía como unha dualidade entre subconxuntos pechados e abertos dalgún espazo topolóxico fixo $X$ : un subconxunto $U$ de $X$ está pechado se e só se o seu complementario en $X$ está aberto. Por iso, moitos teoremas sobre conxuntos pechados son duais aos teoremas sobre conxuntos abertos. Por exemplo, calquera unión de conxuntos abertos é aberta, polo que, dualmente, calquera intersección de conxuntos pechados está pechada.^[2] O interior dun conxunto é o maior conxunto aberto contido nel, e o peche do conxunto é o menor conxunto pechado que o contén. Debido á dualidade, o complementario do interior de calquera conxunto $U$ é igual ao peche do complementario de $U$ .

Cono dual

Unha dualidade en xeometría é proporcionada pola construción dun cono dual. Dado un conxunto $C$ de puntos no plano $\mathbb {R} ^{2}$ (ou máis xeralmente en $\mathbb {R} ^{n}$ ), o cono dual defínese como o conxunto $C^{*}\subseteq \mathbb {R} ^{2}$ composto polos puntos $(x_{1},x_{2})$ a satisfacer $x_{1}c_{1}+x_{2}c_{2}\geq 0$ para todos os puntos $(c_{1},c_{2})$ en $C$ , como se ilustra no diagrama.

A diferenza do complementario de conxuntos mencionado anteriormente, en xeral non é certo que aplicar dúas veces a construción do cono dual devolva o conxunto orixinal $C$ . En cambio, $C^{**}$ é o cono máis pequeno que contén $C$ que pode ser maior que $C$ . Polo tanto esta dualidade é máis débil que a anterior:

Aplicar a operación dúas veces devolve un conxunto posibelmente maior: para todo $C$ , $C$ está contido en $C^{**}$ .

As outras dúas propiedades van sen mudanzas:

Aínda é certo que unha inclusión $C\subseteq D$ convértese nunha inclusión en sentido contrario ( $D^{*}\subseteq C^{*}$ ).
Dados dous subconxuntos $C$ e $D$ do plano, $C$ está contido en $D^{*}$ se e só se $D$ está contido en $C^{*}$ .

Espazo vectorial dual

Un exemplo moi importante dunha dualidade xorde na álxebra linealr ao asociar a calquera espazo vectorial $V$ o seu espazo vectorial dual $V *$ . Os seus elementos son as formas lineares $\varphi :V\to K$ , onde $K$ é o corpo sobre o cal se define $V$ . As tres propiedades do cono dual transfórmanse neste tipo de dualidade substituíndo subconxuntos de $\mathbb {R} ^{2}$ por espazo vectorial e a inclusións de subconxuntos mediante mapas lineares. É dicir:

Aplicando a operación de tomar o espazo vectorial dual dúas veces dáse outro espazo vectorial $V **$ . Sempre hai un mapa $V \to V **$ . Para algúns $V$ , a saber, precisamente os espazos vectoriais de dimensión finita, este mapa é un isomorfismo.
Un mapa linear $V \to W$ dá lugar a un mapa en dirección oposta ( $W * \to V *$ ).
Dados dous espazos vectoriais $V$ e $W$ , os mapas de $V$ a $W *$ correspóndense cos mapas de $W$ a $V *$ .

Unha característica particular desta dualidade é que $V$ e $V *$ son isomórficos para certos obxectos, é dicir, espazos vectoriais de dimensión finita.

No entanto, esta é en certo sentido unha coincidencia afortunada, xa que dar tal isomorfismo require unha determinada escolla, por exemplo a escolla dunha base de $V$ . Isto tamén é certo no caso de que $V$ sexa un espazo de Hilbert, a través do teorema de representación de Riesz.

Teoría de Galois

En todas as dualidades comentadas anteriormente, o dual dun obxecto é do mesmo tipo que o propio obxecto. Por exemplo, o dual dun espazo vectorial é de novo un espazo vectorial. Moitas declaracións de dualidade non son deste tipo. Estoutras dualidades revelan unha estreita relación entre obxectos de natureza aparentemente diferente.

Un exemplo desta dualidade máis xeral é a teoría de Galois. Para unha extensión de Galois fixa $K / F$ , pódese asociar o grupo de Galois $Gal(K / E)$ a calquera corpo intermedio $E$ (ie, $F \subseteq E \subseteq K$ ). Este grupo é un subgrupo do grupo de Galois $G = Gal(K / F)$ . E viceversa, para calquera destes subgrupos $H \subseteq G$ existe o corpo fixo $K H$ que consiste nos elementos fixados polos elementos en $H$ . .

En comparación co anterior, esta dualidade ten as seguintes características:

Unha extensión $F \subseteq F'$ de corpos intermedios dá lugar a unha inclusión de grupos de Galois en sentido contrario: $Gal(K / F') \subseteq Gal(K / F)$ .
Asociar $Gal(K / E)$ a $E$ e $K H$ a $H$ son inversos entre si. Este é o contido do teorema fundamental da teoría de Galois.

Dualidades inversoras de orde

Diagrama de Hasse do conxunto de partes de ${1,2,3,4}$ , parcialmente ordenado por $\subset$ . O poset dual, é dicir, a ordenación por $\supset$ , obtense ao virar o diagrama do revés. Os nós verdes forman un segmento final na orde orixinal e na orde dual forman un segmento inicial.

Dado un poset $P = (X, \leq)$ (abreviatura de conxunto parcialmente ordenado; é dicir, un conxunto que ten unha noción de ordenación mais no que non se poden colocar necesariamente dous elementos en orde entre si), o poset dual $P d = (X, \geq)$ comprende o mesmo conxunto básico pero a relación inversa.

Dualidades inversoras de dimensión

Hai moitas dualidades distintas pero interrelacionadas nas que os obxectos xeométricos ou topolóxicos se corresponden con outros obxectos do mesmo tipo, pero cunha inversión das dimensións das características dos obxectos.

Un exemplo clásico disto é a dualidade dos sólidos platónicos, na que o cubo e o octaedro forman un par dual, o dodecaedro e o icosaedro forman un par dual e o tetraedro é autodual. O poliedro dual de calquera destes poliedros pode formarse como a envolvente convexa dos puntos centrais de cada cara do poliedro primario, polo que os vértices do dual corresponden un por un coas caras do primal. Do mesmo xeito, cada aresta do dual corresponde a unha aresta do primal, e cada cara do dual corresponde a un vértice do primal. Estas correspondencias preservan a incidencia: se dúas partes do poliedro primario se tocan, tamén o fan as dúas partes correspondentes do poliedro dual.

A dualidade de polítopos e a dualidade da teoría da orde anterior son ambas as dúas involucións: o polítopo dual do polítopo dual de calquera polítopo é o polítopo orixinal, e inverter todas as relacións de orde dúas veces volve á orde orixinal.

A partir de calquera poliedro tridimensional, pódese formar un grafo plano, o grafo dos seus vértices e arestas. O poliedro dual ten un grafo dual, un grafo cun vértice para cada cara do poliedro e cunha aresta por cada dúas caras adxacentes.

O mesmiño concepto de dualidade de grafos planos pódese xeneralizar aos grafos que se debuxan no plano mais que non proceden dun poliedro tridimensional, ou, máis xeralmente, a mergullos de grafos en superficies de genus superior: pódese debuxar un grafo dual colocando un vértice dentro de cada rexión limitada por un ciclo de arestas no mergullo e debuxando unha aresta entre calquera dúas rexións que compartan unha aresta fronteira.

Dualidade en lóxica e teoría de conxuntos

En lóxica, as funcións ou relacións $A$ e $B$ considéranse duais se $A (\neg x) = \neg B (x)$ , onde ¬ é a negación lóxica. A dualidade básica deste tipo é a dualidade dos cuantificadores ∃ e ∀ na lóxica clásica. Estes son duais porque $\exists x .\neg P (x)$ $\exists x .\neg P (x)$ e $\neg\forall x . P (x)$ $\neg\forall x . P (x)$ son equivalentes para todos os predicados P na lóxica clásica: se existe un x para o que P non se cumpre, entón é falso que P se cumpra para todo x (aínda que a inversa non se cumpre construtivamente). Desta dualidade lóxica fundamental dedúcense outras como as Leis de De Morgan.

Bidual

O dual do dual, chamado bidual ou duplo dual, dependendo do contexto, adoita ser idéntico ao orixinal (tamén chamado primal), e así a dualidade sería unha involución. Neste caso non se adoita distinguir o bidual, e en cambio só se refire ao primal e ao dual. Por exemplo, o poset dual do poset dual é exactamente o poset orixinal, xa que a relación inversa está definida por unha involución.

Noutros casos, o bidual non é idéntico ao primal, aínda que moitas veces hai unha estreita conexión. Por exemplo, o cono dual do cono dual dun conxunto contén o conxunto primario (é o cono máis pequeno que contén o conxunto primario), e é igual se e só se o conxunto primario é un cono.

Obxectos duais

Pódese describir un grupo de dualidades dotando, para calquera obxecto matemático $X$ , o conxunto de morfismos $Hom (X, D)$ nalgún obxecto fixo $D$ , cunha estrutura similar á de $X$ . Isto ás veces chámase Hom interno.

En xeral, isto produce unha verdadeira dualidade só para opcións específicas de $D$ , nese caso $X * = Hom (X, D)$ denomínase dual de $X$ .

Sempre hai un mapa de $X$ ao bidual, é dicir, o dual do dual, $X\to X^{**}:=(X^{*})^{*}=\operatorname {Hom} (\operatorname {Hom} (X,D),D).$ Este bidual asigna a algún $x \in X$ o mapa que se asocia a calquera mapa $f : X \to D$ (é dicir, un elemento en $Hom(X, D)$ ) o valor $f (x)$ . Dependendo da dualidade concreta considerada e tamén dependendo do obxecto $X$ , este mapa pode ser ou non un isomorfismo.

Categorías duais

Functores de categoría oposta e adxuntos

Noutro grupo de dualidades, os obxectos dunha teoría tradúcense en obxectos doutra teoría e os mapas entre obxectos na primeira teoría tradúcense en morfismos na segunda teoría, pero coa dirección invertida. Usando a linguaxe da teoría de categorías, isto equivale a un functor contravariante entre dúas categorías $C$ e $D$ :

F : C \to D

que para dous obxectos calquera X e Y de C dá un mapa

Hom C (X, Y) \to Hom D (F (Y), F (X))

Ese functor pode ser ou non unha equivalencia de categorías. Hai varias situacións nas que tal functor é unha equivalencia entre a categoría oposta $C op$ de $C$ e $D$ .

Usando unha dualidade deste tipo, cada afirmación da primeira teoría pódese traducir nunha afirmación "dual" na segunda teoría, onde a dirección de todas as frechas ten que ser invertida.^[3] Polo tanto, calquera dualidade entre as categorías $C$ e $D$ é formalmente o mesmo que unha equivalencia entre $C$ e $D op$ ( $C op$ e $D$ ). No entanto, en moitas circunstancias as categorías opostas non teñen un significado inherente, o que converte a dualidade nun concepto adicional e separado.

Unha categoría que é equivalente ao seu dual chámase auto-dual. Un exemplo de categoría auto-dual é a categoría de espazos de Hilbert.^[4]

Espazos e funcións

A dualidade de Gelfand é unha dualidade entre as álxebras C* conmutativas A e os espazos compactos de Hausdorff X: asigna a X o espazo de funcións continuas (que desaparecen no infinito) de X a C, os números complexos. E viceversa, o espazo X pódese reconstruír a partir de A como o espectro de A. Tanto a dualidade de Gelfand como a de Pontryagin pódense deducir dunha forma en gran parte formal da teoría de categorías.^[5]

Dualidade de Pontryagin

A dualidade de Pontryagin dá unha dualidade na categoría dos grupos abelianos localmente compactos : dado calquera grupo G, o grupo de caracteres

χ(G) = Hom (G, S¹)

dado por homomorfismos de grupos continuos de G no grupo circular S¹ poden estar dotados coa topoloxía compacta-aberta. A dualidade de Pontryagin afirma que o grupo de caracteres é tamén abeliano localmente compacto e que

G ≅ χ (χ(G)).^[6]

A maiores, os grupos discretos correspóndense con grupos abelianos compactos; grupos finitos correspóndense con grupos finitos. Por unha banda, a dualidade de Pontryagin é un caso especial da dualidade de Gelfand. Por outra banda, é a razón conceptual da análise de Fourier, ver máis abaixo.

Dualidades analíticas

Na análise, os problemas son frecuentemente resolvidos pasando á descrición dual de funcións e operadores.

A transformada de Fourier muda entre funcións nun espazo vectorial e o seu dual: ${\widehat {f}}(\xi ):=\int _{-\infty }^{\infty }f(x)\ e^{-2\pi ix\xi }\,dx,$ e viceversa $f(x)=\int _{-\infty }^{\infty }{\widehat {f}}(\xi )\ e^{2\pi ix\xi }\,d\xi .$ Se f é unha función L² en R ou R ^N, digamos, entón tamén o é ${\widehat {f}}$ e $f(-x)={\widehat {\widehat {f}}}(x)$ .

A maiores, a transformada troa operacións de multiplicación e convolución nos espazos de funcións correspondentes.

Unha explicación conceptual da transformada de Fourier obtense mediante a mencionada dualidade de Pontryagin, aplicada aos grupos localmente compactos R (ou R^N etc.): calquera carácter de R vén dado por ξ ↦ e ^{−2 πixξ}. O carácter dualizador da transformada de Fourier ten moitas outras manifestacións, por exemplo, nas descricións alternativas de sistemas mecánicos cuánticos en termos de representacións de coordenadas e momentos.

Homoloxía e cohomoloxía

Os teoremas que mostran que certos obxectos de interese son os espazos duais (no sentido de álxebra linear) doutros obxectos de interese son a miúdo chamados dualidades. Moitas destas dualidades veñen dadas por un emparellamento bilinear de dous espazos K-vectoriais

A ⊗ B → K .

Para emparellamentos perfectos, hai, polo tanto, un isomorfismo de A ao dual de B.

Dualidade de Poincaré

A dualidade de Poincaré dunha variedade complexa compacta suave X vén dada por un emparellamento de cohomoloxía singular con coeficientes C (equivalentemente, cohomoloxía de feixe do feixe constante C)

Hⁱ (X) ⊗ H^{2n − i}(X) → C ,

onde n é a dimensión (complexa) de X.^[7]

A dualidade de Poincaré tamén se pode expresar como unha relación de homoloxía singular e de cohomoloxía de Rham, ao afirmar que o mapa

(\gamma ,\omega )\mapsto \int _{\gamma }\omega

(integrando unha k-forma diferencial sobre un (2n − k )-dimensional ciclo (real)) é un emparellamento perfecto.

Dualidade en xeometría alxébrica e aritmética

O mesmo padrón de dualidade cúmprese para unha variedade proxectiva suave sobre un corpo pechado separábel, usando no seu lugar a cohomoloxía l-ádica con coeficientes Q_ℓ.^[8] Isto xeneralízase aínda máis a variedades posibelmente singulares, usando no seu lugar a cohomoloxía de intersección, unha dualidade chamada dualidade de Verdier.^[9]

A dualidade de Serre ou a dualidade coherente son semellantes ás afirmacións anteriores, mais aplícanse á cohomoloxía de feixes coherentes.^[10]

Notas

↑ The complement is also denoted as $S \ A$ .
↑ Rudin (1976)
↑ Mac Lane 1998.
↑ Jiří Adámek; J. Rosicky (1994). Locally Presentable and Accessible Categories. Cambridge University Press. p. 62. ISBN 978-0-521-42261-1.
↑ Negrepontis 1971.
↑ (Loomis 1953, p. 151, section 37D)
↑ Griffiths & Harris 1994, p. 56
↑ Milne 1980, Ch. VI.11
↑ Iversen 1986, Ch. VII.3, VII.5
↑ Hartshorne 1966, Ch. III.7

Véxase tamén

Bibliografía

Atiyah, Michael (2007). "Duality in Mathematics and Physics lecture notes from the Institut de Matematica de la Universitat de Barcelona (IMUB)" (PDF).
Kostrikin, A. I. (2001) [1994]. "Duality". Encyclopedia of Mathematics. EMS Press. .
Gowers, Timothy (2008). "III.19 Duality". The Princeton Companion to Mathematics. Princeton University Press. pp. 187–190. .
Cartier, Pierre (2001). A mad day's work: from Grothendieck to Connes and Kontsevich. The evolution of concepts of space and symmetry. Bulletin of the American Mathematical Society. New Series 38. pp. 389–408. ISSN 0002-9904. MR 1848254. doi:10.1090/S0273-0979-01-00913-2. (a non-technical overview about several aspects of geometry, including dualities)

James C. Becker and Daniel Henry Gottlieb, A History of Duality in Algebraic Topology

Artstein-Avidan, Shiri; Milman, Vitali (2008). The concept of duality for measure projections of convex bodies. Journal of Functional Analysis 254. pp. 2648–66. doi:10.1016/j.jfa.2007.11.008. . Also author's site.
Artstein-Avidan, Shiri; Milman, Vitali (2007). A characterization of the concept of duality. Electronic Research Announcements in Mathematical Sciences 14. pp. 42–59. Arquivado dende o orixinal o 2011-07-24. Consultado o 2009-05-30. . Also author's site.
Dwyer, William G.; Spaliński, Jan (1995). "Homotopy theories and model categories". Handbook of algebraic topology. Amsterdam: North-Holland. pp. 73–126. MR 1361887. Arquivado dende o orixinal o 2021-02-09. Consultado o 2009-03-11.
Fulton, William (1993). Introduction to toric varieties. Princeton University Press. ISBN 978-0-691-00049-7.
Griffiths, Phillip; Harris, Joseph (1994). Principles of algebraic geometry. Wiley Classics Library. New York: John Wiley & Sons. ISBN 978-0-471-05059-9. MR 1288523.
Hartshorne, Robin (1966). Residues and Duality. Lecture Notes in Mathematics 20. Springer-Verlag. pp. 20–48. ISBN 978-3-540-34794-1.
Hartshorne, Robin (1977). Algebraic Geometry. Springer-Verlag. ISBN 978-0-387-90244-9. MR 0463157. OCLC 13348052.
Iversen, Birger (1986). Cohomology of sheaves. Universitext. Springer-Verlag. ISBN 978-3-540-16389-3. MR 842190.
Joyal, André; Street, Ross (1991). "An introduction to Tannaka duality and quantum groups" (PDF). Category theory. Lecture Notes in Mathematics 1488. Springer-Verlag. pp. 413–492. ISBN 978-3-540-46435-8. MR 1173027. doi:10.1007/BFb0084235. Arquivado dende o orixinal (PDF) o 10 de agosto de 2017. Consultado o 25 de abril de 2025.
Lam, Tsit-Yuen (1999). Lectures on modules and rings. Graduate Texts in Mathematics 189. Springer-Verlag. ISBN 978-0-387-98428-5. MR 1653294.
Lang, Serge (2002). Algebra. Graduate Texts in Mathematics 211. Springer-Verlag. ISBN 978-0-387-95385-4. MR 1878556.
Loomis, Lynn H. (1953). An introduction to abstract harmonic analysis. D. Van Nostrand. pp. x+190. hdl:2027/uc1.b4250788.
Mac Lane, Saunders (1998). Categories for the Working Mathematician (2nd ed.). Springer-Verlag. ISBN 978-0-387-98403-2.
Mazur, Barry (1973). Notes on étale cohomology of number fields. Annales Scientifiques de l'École Normale Supérieure. Série 4 6. pp. 521–552. ISSN 0012-9593. MR 0344254. doi:10.24033/asens.1257.
Milne, James S. (1980). Étale cohomology. Princeton University Press. ISBN 978-0-691-08238-7.
Milne, James S. (2006). Arithmetic duality theorems (2nd ed.). Charleston, South Carolina: BookSurge, LLC. ISBN 978-1-4196-4274-6. MR 2261462.
Negrepontis, Joan W. (1971). Duality in analysis from the point of view of triples. Journal of Algebra 19. pp. 228–253. ISSN 0021-8693. MR 0280571. doi:10.1016/0021-8693(71)90105-0.
Rudin, Walter (1976). Principles Of Mathematical Analysis (3rd ed.). New York: McGraw-Hill. ISBN 0-07-054235-X.
Veblen, Oswald; Young, John Wesley (1965). Projective geometry. Vols. 1, 2. Blaisdell Publishing Co. Ginn and Co. MR 0179666.
Weibel, Charles A. (1994). An introduction to homological algebra. Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-55987-4. MR 1269324.
Edwards, R. E. (1965). Functional analysis. Theory and applications. New York: Holt, Rinehart and Winston. ISBN 0030505356.

Outros artigos

[1] The complement is also denoted as $S \ A$ .

[2] Rudin (1976)

[3] Mac Lane 1998.

[AdamekRosicky1994-4] Jiří Adámek; J. Rosicky (1994). Locally Presentable and Accessible Categories. Cambridge University Press. p. 62. ISBN 978-0-521-42261-1.

[5] Negrepontis 1971.

[6] (Loomis 1953, p. 151, section 37D)

[7] Griffiths & Harris 1994, p. 56

[8] Milne 1980, Ch. VI.11

[9] Iversen 1986, Ch. VII.3, VII.5

[10] Hartshorne 1966, Ch. III.7

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]