Dominio euclidiano

En matemáticas, máis concretamente en álxebra abstracta e teoría de aneis, un dominio euclidiano ou anel euclidiano (normalmente abreviado DE ) é un anel conmutativo no que se pode definir unha función euclidiana que permite xeneralizar a noción de división euclidiana habitual nos enteiros. Este algoritmo euclidiano xeneralizado pode usarse para os mesmos propósitos que o algoritmo euclidiano orixinal sobre o anel de enteiros: nun dominio euclidiano este algoritmo pódese usar para calcular o máximo común divisor de dous elementos calquera. En particular, o máximo común divisor de dous elementos sempre existe -o que xeralmente non é certo para un anel arbitrario- e pódese expresar como unha combinación linear deles (identidade de Bezout). Ademais, todo ideal dun dominio euclidiano é principal, o que implica que o teorema fundamental da aritmética pode ser xeneralizado: cada dominio euclidiano é un dominio de factorización única .

Definición

Un dominio euclidiano é un par $(A,\phi )$ onde $A$ É un dominio de integridade e $\phi$ é unha aplicación $\phi :A\setminus \{0\}\longrightarrow \mathbb {N} \cup \{0\}$ que reúne as dúas condicións seguintes:

1. Para calquera $a,b\in A$ tal que $b\neq 0$ é certo que existen $q,r\in A$ para que

(1)

$a=bq+r$; \ tal que $r=0$, ou ben $\ \phi (r)<\phi (b)$

2 Para dous elementos calquera $a,b\in A\setminus \{0\}$ :

(2)

$\phi (a)\leq \phi (a\cdot b)$

os elementos $q$ e $r$ chámanse respectivamente cociente e resto, como na división habitual.

Algúns autores consideran que a segunda condición é redundante e pode omitirse da definición.

Terminoloxía

Varios autores fan referencia á función $\phi$, (que define un dominio euclidiano), con diferentes nomes: “aplicación (ou función) euclidiana”, “función de medida” (ou tamaño), “grao” ou “función norma”. Nalgúns contextos fálase da "norma euclidiana", aínda que este nome pode levar a confusión coa norma vectorial que define a distancia usual.

É importante ter en conta que a función norma só toma valores enteiros, aínda que nalgún caso particular pode ampliarse $\phi$ ao conxunto completo de números reais.

Exemplos

Os seguintes son exemplos de aneis que son dominios euclidianos:

• Se tomamos o conxunto de números enteiros $\mathbb {Z}$ e como norma euclidiana tomamos o valor absoluto $|\cdot |$, temos un dominio euclidiano, xa que $|a|\leq |ab|$ para todo $a,b\in \mathbb {Z}$ con $b\neq 0$. Usando esta definición, a propiedade (1) é equivalente ao algoritmo de división habitual entre números enteiros.

• En todo corpo $\mathbb {K}$ pódese definir unha norma euclidiana, tomando esta como a función constante $1$, xa que, para calquera elemento $a$ e $b$ de $\mathbb {K}$, as dúas propiedades son satisfeitas dun xeito trivial, a saber:

1. tomando $q=a/b$ temos que $r=0$.
2. $1=\phi (a)\leq \phi (a\cdot b)=1$.

• Considerando o anel de polinomios nunha variable $\mathbb {K} [x]$ con coeficientes nun corpo $\mathbb {K}$ e como norma euclidiana a función

$\mathrm {grad} :\mathbb {K} [x]-\{0\}\longrightarrow \mathbb {N} \cup \{0\}$

que a todo polinomio distinto de cero de $\mathbb {K} [x]$ asigna o seu grao, o resultado é un dominio euclidiano.

• no anel de enteiros gaussianos, se para cada elemento $\alpha =a+bi$, onde $a,b\in \mathbb {Z}$, definimos a súa norma como $N(\alpha )=a^{2}+b^{2}$, temos un dominio euclidiano.

Os seguintes son exemplos de aneis que non son dominios euclidianos:

• En xeral, o anel de polinomios con coeficientes nun anel $A$ aínda que o propio $A$ é un dominio euclidiano. Por exemplo $\mathbb {Z} [X]$ non é un dominio euclidiano aínda que $\mathbb {Z}$ si o é. (A diferenza do caso xeral co exemplo no que o anel de polinomios si que é dominio euclidiano é que non temos definida unha norma que cumpra a condición requirida, que si cumpre a norma definida polo grao do polinomio).

Propiedades

Nun dominio euclidiano, a identidade multiplicativa, o elemento $1_{A}$, sempre ten a menor norma posíbel, é dicir. $\phi (1_{A})=1$. Todas as unidades do anel teñen a mesma propiedade: $\forall u\in A:u\ {\text{ é unidade }}\implies \phi (u)=1$.

Todo dominio euclidiano $A$ cumpre as seguintes propiedades:

• Cada par de elementos $a,b\in A$ teñen o mínimo común múltiplo e o máximo común divisor, e verifícase a identidade de Bezout.
• Todo ideal $A$ é principal, é dicir, $A$ é un dominio de ideais principais.
• Todo elemento $a\in A$ ten unha descomposición única en factores irredutíbeis, é dicir, $A$ é un domino de factorización única .
• Nun dominio euclidiano todo elemento irredutíbel é primo.

Véxase tamén

Bibliografía

• Fraleigh, John B.; Katz, Victor J. (1967). A first course in abstract algebra (5th ed.). Addison-Wesley. ISBN 0-201-53467-3. 
• Clark, David A. (1996). "Non-galois cubic fields which are euclidean but not norm-euclidean" 65. Math. Comp.: 1675-1679. 
• Bourbaki, N. (1973). "7, § 1". Algèbre. p. 125. , exercice. 7

Outros artigos

• División euclidiana.
• Dominio de integridade.

Ligazóns externas

• Anel Euclidiano MathWorld .