División polinomial

Na álxebra, a división longa polinomial é un algoritmo para dividir un polinomio por outro polinomio de igual ou menor grao, unha versión xeralizada da técnica aritmética familiar chamada división longa. Pódese facer facilmente a man, porque separa un problema de división complexo noutros máis pequenos. Existen outro métodos abreviados.

A división polinomial longa é un algoritmo que implementa a división euclidiana de polinomios, que partindo de dous polinomios A (o dividendo) e B (o divisor) produce, se B non é cero, un cociente Q e un resto R tal que

A = BQ + R ,

e R = 0 ou o grao de R é menor que o grao de B. Estas condicións definen de forma única Q e R, o que significa que Q e R non dependen do método empregado para calculalos.

O resultado R = 0 ocorre se e só se o polinomio A ten B como factor. Así, a división longa é un medio para comprobar se un polinomio ten outro como factor e, se o ten, para factorizar. Por exemplo, se se coñece unha raíz r de A, pódese factorizar dividindo A por (x – r).

Exemplo

Encontre o cociente e o resto da división de $x^{3}-2x^{2}-4$ (dividendo) polo divisor $x-3$ .

No dividendo, todos os termos con expoñentes inferiores ao maior deben ser escritos explicitamente, mesmo que os seus coeficientes sexan cero:

x^{3}-2x^{2}+0x-4.

O cociente e o resto poden ser determinados como segue:

1. Divídese o primeiro termo do dividendo pelo termo de maior grao do divisor (aquel coa maior potencia de $x$ ) e insírese o resultado ( $x^{3}\div x=x^{2}$ ) abaixo do divisor:

{\begin{matrix}x^{3}-2x^{2}+0x-4&{\underline {\left|x-3\right.}}\\\,&x^{2}\end{matrix}}.

2. Multiplícase o divisor polo resultado obtido (o primeiro termo de eventual cociente) e escríbese o resultado ( $x^{2}(x-3)=x^{3}-3x^{2}$ ) baixo o dividendo:

{\begin{array}{lc}x^{3}-2x^{2}+0x-4&{\underline {\left|x-3\right.}}\\x^{3}-3x^{2}&x^{2}\end{array}}

3. Réstase o produto recén obtido do dividendo e escríbese o resultado ( $x^{3}-2x^{2}-4-(x^{3}-3x^{2})=x^{2}-4$ ) embaixo:

{\begin{array}{lc}x^{3}-2x^{2}+0x-4&{\underline {\left|x-3\right.}}\\{\underline {x^{3}-3x^{2}{\color {White}{00000000}}}}&x^{2}\\{\color {White}{00000}}x^{2}+0x-4&\,\end{array}}

4. Repítense as tres etapas anteriores, coa observación que desta vez o polinomio que acaba de ser escrito é usado como dividendo:

{\begin{array}{lc}x^{3}-2x^{2}+0x-4&{\underline {\left|x-3\right.}}\\{\underline {x^{3}-3x^{2}{\color {White}{00000000}}}}&x^{2}+x\\{\color {White}{00000}}x^{2}+0x-4&\,\\{\color {White}{00000}}{\underline {x^{2}-3x{\color {White}{0000}}}}&\,\\{\color {White}{00000000-}}3x-4&\,\end{array}}

5. Repítense a etapa 4 até que o polinomio resultado da resta fique con grao menor do que o grao do divisor. Tal polinomio é o resto da división, sendo neste exemplo obtido no paso seguinte:

{\begin{array}{lc}x^{3}-2x^{2}+0x-4&{\underline {\left|x-3\right.}}\\{\underline {x^{3}-3x^{2}{\color {White}{00000000}}}}&x^{2}+x+3\\{\color {White}{00000}}x^{2}+0x-4&\,\\{\color {White}{00000}}{\underline {x^{2}-3x{\color {White}{0000}}}}&\,\\{\color {White}{00000000-}}3x-4&\,\\{\color {White}{00000000-}}{\underline {3x-9}}&\,\\{\color {White}{00000000000000}}5&\,\end{array}}

Finalizado o proceso, pódese escribir:

{x^{3}-2x^{2}-4}=(x-3)\,\underbrace {(x^{2}+x+3)} _{q(x)}+\underbrace {5} _{r(x)}

.

División euclidiana

Para cada par de polinomios (A, B) tal que B ≠ 0, a división polinómica proporciona un cociente Q e un resto R tal que

A=BQ+R,

e R =0 ou grao(R) < grao(B). A maiores (Q, R) é o único par de polinomios que teñen esta propiedade.

O proceso de obter os polinomios definidos de forma única Q e R de A e B chámase división euclidiana. A división polinomial longa é polo tanto un algoritmo para a división euclidiana.^[1]

Aplicacións

Factorización de polinomios

Ás veces coñécense unha ou máis raíces dun polinomio, quizais se atoparon usando o teorema das raíces racionalis. Se se coñece unha raíz r dun polinomio P(x) de grao n, pódese usar a división polinómica longa para factorizar P(x) na forma (x − r)Q(x) onde Q(x) é un polinomio de grao n - 1. Q(x) é simplemente o cociente obtido do proceso de división; xa que se sabe que r é unha raíz de P(x), sábese que o resto debe ser cero.

Así mesmo, se coñecemos varias raíces r, s , . . . de P(x), pódese dividir por un factor linear (x − r) para obter Q(x), e entón (x − s) pódese dividir entre Q (x), etc. Alternativamente, o factor cadrático $(x-r)(x-s)=x^{2}-(r{+}s)x+rs$ pódese dividir entre P(x) para obter un cociente de grao n − 2.

Este método é especialmente útil para polinomios cúbicos, e ás veces pódense obter todas as raíces dun polinomio de grao superior. Por exemplo, se o teorema das raíces racionais produce unha única raíz (racional) dun polinomio quíntico, pódese factorizar para obter un cociente cuártico (cuarto grao); daquela a fórmula explícita para as raíces dun polinomio de cuarto grao pódese usar para atopar as outras catro raíces do quíntico. Non hai, porén, un xeito xeral de resolver un quintico por métodos puramente alxébricos, vexa o teorema de Abel-Ruffini .

Atopar tanxentes a funcións polinomiais

A división polinomial longa pódese usar para atopar a ecuación da recta que é tanxente á gráfica da función definida polo polinomio P(x) nun punto determinado x = r. Se R(x) é o resto da división de P(x) por (x – r)², entón a ecuación da recta tanxente en x = r á gráfica da función y = P(x) é y = R(x), independentemente de que r sexa ou non unha raíz do polinomio.