Diferencial dunha función

En cálculo, o diferencial representa a parte principal do cambio nunha función $y=f(x)$ en relación a cambios na variábel independente. O diferencial $dy$ defínese como:

$dy=f'(x)\,dx,$

onde $f'(x)$ é a derivada de f en relación a $x$, e $dx$ é unha variábel real adicional (de modo que $dy$ é unha función de $x$ e $dx$).

Tamén se escribe:

$df(x)=f'(x)\,dx.$

Tradicionalmente, as variábeis $dx$ e $dy$ considéranse moi pequenas (infinitesimais), e esta interpretación faise rigorosa na análise non estándar.

Historia e uso

O diferencial foi introducido por primeira vez mediante unha definición intuitiva ou heurística por Isaac Newton e desenvolvido por Gottfried Leibniz, quen considerou o diferencial dy como un cambio infinitamente pequeno (ou infinitesimal) no valor y da función, correspondente a un cambio infinitamente pequeno dx no argumento x da función. Por esa razón, a taxa de cambio instantánea de y en relación a x, que é o valor da derivada da función, denótase como a fracción:

${\frac {dy}{dx}}$

no que se chama a notación de Leibniz para as derivadas. O cociente $dy/dx$ non é infinitamente pequeno; máis ben é un número real.

Augustin-Louis Cauchy (1823) definiu o diferencial sen recorrer ao atomismo dos infinitesimais de Leibniz. No canto diso, Cauchy, seguindo a d'Alembert, inverteu a orde lóxica de Leibniz e os seus sucesores: a derivada converteuse no obxecto fundamental, definida como un límite de cocientes de diferenzas, e os diferenciais definíronse entón en termos dela. É dicir, era libre de definir o diferencial $dy$ mediante unha expresión:

$dy=f'(x)\,dx$

na que $dy$ e $dx$ son simplemente novas variábeis que toman valores reais finitos, non infinitesimais fixos como o eran para Leibniz.

Definición

O diferencial dunha función $f(x)$ nun punto $x_{0}$.

O diferencial defínese nos tratados modernos de cálculo diferencial do seguinte xeito. O diferencial dunha función $f(x)$ dunha única variábel real $x$ é a función $df$ de dúas variábeis reais independentes $x$ e $\Delta x$ dada por:

$df(x,\Delta x)\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ f'(x)\,\Delta x.$

Un ou ambos os argumentos poden suprimirse, é dicir, pódese ver $df(x)$ ou simplemente $df$.

Se $y=f(x)$, o diferencial tamén se pode escribir como $dy$. Dado que $dx(x,\Delta x)=\Delta x$, é convencional escribir $dx=\Delta x$ de modo que se cumpra a seguinte igualdade:

$df(x)=f'(x)\,dx$

Esta noción de diferencial é amplamente aplicábel cando se busca unha aproximación linear a unha función, na que o valor do incremento $\Delta x$ é suficientemente pequeno. Máis precisamente, se $f$ é unha función diferenciábel en $x$, entón a diferenza nos valores de $y$:

$\Delta y\ {\stackrel {\rm {def}}{=}}\ f(x+\Delta x)-f(x)$

cumpre:

$\Delta y=f'(x)\,\Delta x+\varepsilon =df(x)+\varepsilon \,$

onde o erro $\varepsilon$ na aproximación cumpre $\varepsilon /\Delta x\rightarrow 0$ cando $\Delta x\rightarrow 0$. Noutras palabras, tense a identidade aproximada:

$\Delta y\approx dy$

na que o erro pode facerse tan pequeno como se desexe en relación a $\Delta x$ limitando $\Delta x$ a ser suficientemente pequeno; é dicir:

${\frac {\Delta y-dy}{\Delta x}}\to 0$

cando $\Delta x\rightarrow 0$. Por esta razón, o diferencial dunha función coñécese como a parte principal (linear) no incremento dunha función: o diferencial é unha función linear do incremento $\Delta x$, e aínda que o erro $\varepsilon$ poida ser non linear, tende a cero rapidamente cando $\Delta x$ tende a cero.

Diferenciais en varias variábeis

Operador / Función	$f(x)$	$f(x,y,u(x,y),v(x,y))$
Diferencial	1: $df\,{\overset {\underset {\mathrm {def} }{}}{=}}\,f'_{x}\,dx$	2: $d_{x}f\,{\overset {\underset {\mathrm {def} }{}}{=}}\,f'_{x}\,dx$ 3: $df\,{\overset {\underset {\mathrm {def} }{}}{=}}\,f'_{x}dx+f'_{y}dy+f'_{u}du+f'_{v}dv$
Derivada parcial	$f'_{x}\,{\overset {\underset {\mathrm {(1)} }{}}{=}}\,{\frac {df}{dx}}$	$f'_{x}\,{\overset {\underset {\mathrm {(2)} }{}}{=}}\,{\frac {d_{x}f}{dx}}={\frac {\partial f}{\partial x}}$
Derivada total	${\frac {df}{dx}}\,{\overset {\underset {\mathrm {(1)} }{}}{=}}\,f'_{x}$	${\frac {df}{dx}}\,{\overset {\underset {\mathrm {(3)} }{}}{=}}\,f'_{x}+f'_{u}{\frac {du}{dx}}+f'_{v}{\frac {dv}{dx}};(f'_{y}{\frac {dy}{dx}}=0)$

Seguindo a Goursat (1904, I, §15), para funcións de máis dunha variábel independente,

$y=f(x_{1},\dots ,x_{n}),$

o diferencial parcial de y en relación a calquera unha das variábeis x₁ é a parte principal do cambio en y resultante dun cambio dx₁ nesa variábel. O diferencial parcial é, polo tanto,

${\frac {\partial y}{\partial x_{1}}}dx_{1}$

que implica a derivada parcial de y en relación a x₁. A suma dos diferenciais parciais en relación a todas as variábeis independentes é o diferencial total

$dy={\frac {\partial y}{\partial x_{1}}}dx_{1}+\cdots +{\frac {\partial y}{\partial x_{n}}}dx_{n},$

que é a parte principal do cambio en y resultante de cambios nas variábeis independentes x_i.

Máis precisamente, no contexto do cálculo multivariábel, seguindo a Courant (1937b), se f é unha función diferenciábel, entón, pola definición de diferenciabilidade, o incremento:

${\begin{aligned}\Delta y&{}~{\stackrel {\mathrm {def} }{=}}~f(x_{1}+\Delta x_{1},\dots ,x_{n}+\Delta x_{n})-f(x_{1},\dots ,x_{n})\\&{}={\frac {\partial y}{\partial x_{1}}}\Delta x_{1}+\cdots +{\frac {\partial y}{\partial x_{n}}}\Delta x_{n}+\varepsilon _{1}\Delta x_{1}+\cdots +\varepsilon _{n}\Delta x_{n}\end{aligned}}$

onde os termos de erro ε _i tenden a cero cando os incrementos Δx_i tenden conxuntamente a cero. O diferencial total defínese entón rigorosamente como:

$dy={\frac {\partial y}{\partial x_{1}}}\Delta x_{1}+\cdots +{\frac {\partial y}{\partial x_{n}}}\Delta x_{n}.$

Dado que, con esta definición, $dx_{i}(\Delta x_{1},\dots ,\Delta x_{n})=\Delta x_{i},$ tense: $dy={\frac {\partial y}{\partial x_{1}}}\,dx_{1}+\cdots +{\frac {\partial y}{\partial x_{n}}}\,dx_{n}.$

Como no caso dunha variábel, cúmprese a identidade aproximada:

$dy\approx \Delta y$

na que o erro total pode facerse tan pequeno como se desexe en relación a ${\textstyle {\sqrt {\Delta x_{1}^{2}+\cdots +\Delta x_{n}^{2}}}}$ limitando a atención a incrementos suficientemente pequenos.

Diferenciais de orde superior

Os diferenciais de orde superior dunha función y = f(x) dunha única variábel x pódense definir mediante:

$d^{2}y=d(dy)=d(f'(x)dx)=(df'(x))dx=f''(x)\,(dx)^{2},$

e, en xeral,

$d^{n}y=f^{(n)}(x)\,(dx)^{n}.$

Informalmente, isto motiva a notación de Leibniz para as derivadas de orde superior:

$f^{(n)}(x)={\frac {d^{n}f}{dx^{n}}}.$

Cando a variábel independente x permítese que dependa doutras variábeis, a expresión faise máis complicada, xa que debe incluír tamén diferenciais de orde superior en x mesma. Así, por exemplo,

${\begin{aligned}d^{2}y&=f''(x)\,(dx)^{2}+f'(x)d^{2}x\\[1ex]d^{3}y&=f'''(x)\,(dx)^{3}+3f''(x)dx\,d^{2}x+f'(x)d^{3}x\end{aligned}}$

e así sucesivamente.

Consideracións similares aplícanse á definición de diferenciais de orde superior para funcións de varias variábeis. Por exemplo, se f é unha función de dúas variábeis x e y, entón

$d^{n}f=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}{\frac {\partial ^{n}f}{\partial x^{k}\partial y^{n-k}}}(dx)^{k}(dy)^{n-k},$

onde ${\textstyle {\binom {n}{k}}}$ é un coeficiente binomial. En máis variábeis, mantense unha expresión análoga, pero cunha expansión multinomial apropiada no canto dunha expansión binomial.

Os diferenciais de orde superior en varias variábeis tamén se volven máis complicados cando as variábeis independentes poden depender doutras variábeis. Por exemplo, para unha función f de x e y que poden depender de variábeis auxiliares, temos:

$d^{2}f=\left({\frac {\partial ^{2}f}{\partial x^{2}}}(dx)^{2}+2{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x\partial y}}dx\,dy+{\frac {\partial ^{2}f}{\partial y^{2}}}(dy)^{2}\right)+{\frac {\partial f}{\partial x}}d^{2}x+{\frac {\partial f}{\partial y}}d^{2}y.$

Propiedades

Unha serie de propiedades do diferencial dedúcense de maneira directa das propiedades correspondentes da derivada, a derivada parcial e a derivada total. Estas inclúen:

• Linearidade: Para constantes a e b e funcións diferenciábeis f e g,

$d(af+bg)=a\,df+b\,dg.$

• Regra do produto: Para dúas funcións diferenciábeis f e g,

$d(fg)=f\,dg+g\,df.$

Unha operación d con estas dúas propiedades coñécese en álxebra abstracta como unha derivación. Estas implican a regra da potencia:

$d(f^{n})=nf^{n-1}df$

A maiores, cúmprense varias formas da regra da cadea, con niveis crecentes de xeneralidade:

• Se y = f(u) é unha función diferenciábel da variábel u e u = g(x) é unha función diferenciábel de x, logo:

$dy=f'(u)\,du=f'(g(x))g'(x)\,dx.$

• Se y = f(x₁, ..., x_n) e todas as variábeis x₁, ..., x_n dependen doutra variábel t, entón, pola regra da cadea para varias variábeis, temos:

${\begin{aligned}dy={\frac {dy}{dt}}dt&={\frac {\partial y}{\partial x_{1}}}dx_{1}+\cdots +{\frac {\partial y}{\partial x_{n}}}dx_{n}\\[1ex]&={\frac {\partial y}{\partial x_{1}}}{\frac {dx_{1}}{dt}}\,dt+\cdots +{\frac {\partial y}{\partial x_{n}}}{\frac {dx_{n}}{dt}}\,dt.\end{aligned}}$

Heuristicamente, a regra da cadea para varias variábeis pode entenderse dividindo ambos os lados desta ecuación pola cantidade infinitamente pequena dt.

• Expresións análogas máis xerais cúmprense, nas que as variábeis intermedias x_i dependen de máis dunha variábel.

Formulación xeral

Véxase tamén: Derivada de Fréchet e Derivada de Gateaux.

Pode desenvolverse unha noción consistente de diferencial para unha función f : Rⁿ → R^m entre dous espazos euclidianos. Sexan x, Δx ∈ Rⁿ un par de vectores euclidianos. O incremento na función f é:

$\Delta f=f(\mathbf {x} +\Delta \mathbf {x} )-f(\mathbf {x} ).$

Se existe unha matriz m × n A tal que:

$\Delta f=A\Delta \mathbf {x} +\|\Delta \mathbf {x} \|{\boldsymbol {\varepsilon }}$

na que o vector ε → 0 cando Δx → 0, entón f é, por definición, diferenciábel no punto x.

A matriz A ás veces coñécese como a matriz jacobiana, e a transformación linear que asocia ao incremento Δx ∈ Rⁿ o vector AΔx ∈ R^m é, neste contexto xeral, coñecida como o diferencial df(x) de f no punto x. Esta é precisamente a derivada de Fréchet, e a mesma construción pode facerse funcionar para unha función entre calquera espazo de Banach.

Outro punto de vista fructífero é definir o diferencial directamente como un tipo de derivada direccional:

$df(\mathbf {x} ,\mathbf {h} )=\lim _{t\to 0}{\frac {f(\mathbf {x} +t\mathbf {h} )-f(\mathbf {x} )}{t}}=\left.{\frac {d}{dt}}f(\mathbf {x} +t\mathbf {h} )\right|_{t=0},$

que é o enfoque xa tomado para definir diferenciais de orde superior (e é o máis próximo á definición estabelecida por Cauchy).

Se t representa o tempo e x a posición, entón h representa unha velocidade no canto dun desprazamento, como o consideramos ata agora. Isto ofrece outra refinación da noción de diferencial: que debe ser unha función linear dunha velocidade cinemática. O conxunto de todas as velocidades a través dun punto dado do espazo coñécese como o espazo tanxente, e así df ofrece unha función linear no espazo tanxente: unha forma diferencial. Con esta interpretación, o diferencial de f coñécese como a derivada exterior, e ten unha ampla aplicación en xeometría diferencial, xa que a noción de velocidade e o espazo tanxente ten sentido en calquera variedade diferenciábel. Se, a maiores, o valor de saída de f tamén representa unha posición (nun espazo euclidiano), entón unha análise dimensional confirma que o valor de saída de df debe ser unha velocidade. Se se trata o diferencial deste xeito, entón coñécese como o pulo (diferencial), xa que "empurra" velocidades dun espazo fonte a velocidades nun espazo destino.

Exemplos e aplicacións

Os diferenciais poden usarse efectivamente na análise numérica para estudar a propagación de erros experimentais nun cálculo e, polo tanto, a estabilidade numérica global dun problema (Courant 1937a). Supóñase que a variábel x representa o resultado dun experimento e y é o resultado dun cálculo numérico aplicado a x. A cuestión é ata que punto os erros na medida de x inflúen no resultado do cálculo de y. Se x se coñece dentro dun intervalo Δx do seu valor real, entón o teorema de Taylor ofrece a seguinte estimación do erro Δy no cálculo de y:

$\Delta y=f'(x)\Delta x+{\frac {(\Delta x)^{2}}{2}}f''(\xi )$

onde ξ = x + θΔx para algún 0 < θ < 1. Se Δx é pequeno, entón o termo de segunda orde é desprezábel, de modo que Δy está, para efectos prácticos, ben aproximado por dy = f'(x) Δx.

O diferencial é a miúdo útil para reescribir unha ecuación diferencial:

${\frac {dy}{dx}}=g(x)$

na forma:

$dy=g(x)\,dx,$

en particular cando se queren separar as variábeis.

Véxase tamén

Bibliografía

• Kock, Anders (2006). Synthetic Differential Geometry (PDF) (2nd ed.). Cambridge University Press. .
• derivada total
• derivada

Ligazóns externas

• Differential Of A Function en Wolfram Demonstrations Project