Desigualdade AM-GM

En matemáticas, a desigualdade das medias aritmética e xeométrica, ou máis brevemente a desigualdade AM-GM, afirma que a media aritmética dunha lista de números reais non negativos é maior ou igual á media xeométrica da mesma lista; e a maiores, que as dúas medias son iguais se e só se todos os números da lista son iguais (neste caso o resultado é precisamente ese número).

O caso non trivial máis sinxelo é para dous números non negativos $x$ e $y$ , é dicir,

{\frac {x+y}{2}}\geq {\sqrt {xy}}

con igualdade se e só se $x = y$ . Isto débese ao feito de que o cadrado dun número real é sempre non negativo (maior ou igual a cero) e da identidade $(a \pm b) 2 = a 2 \pm 2 ab + b 2$ :

{\begin{aligned}0&\leq (x-y)^{2}\\&=x^{2}-2xy+y^{2}\\&=x^{2}+2xy+y^{2}-4xy\\&=(x+y)^{2}-4xy.\end{aligned}}

Polo tanto $(x + y) 2 \geq 4 xy$ , con igualdade cando $(x - y) 2 = 0$ , é dicir, $x = y$ . A desigualdade AM-GM dedúcese logo de tomar a raíz cadrada positiva de ambos os dous lados e despois dividir os dous lados por 2.

O caso máis sinxelo está implícito nos Elementos de Euclides, Libro 5, Proposición 25.^[1]

As extensións da desigualdade AM-GM tratan as medias ponderadas e as medias xeneralizadas.

Fundamentos

A media aritmética, ou menos precisamente a media, dunha lista de $n$ números $x 1, x 2, . . ., x n$ é a suma dos números divididos entre $n$ :

{\frac {x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{n}}{n}}.

A media xeométrica é similar, agás que só se define para unha lista de números reais non negativos, e usa multiplicación e raíz en lugar de suma e división:

{\sqrt[{n}]{x_{1}\cdot x_{2}\cdots x_{n}}}.

Se $x 1, x 2, . . ., x n > 0$ $x 1, x 2, . . ., x n > 0$ , isto é igual á exponencial da media aritmética dos logaritmos naturais dos números:

\exp \left({\frac {\ln {x_{1}}+\ln {x_{2}}+\cdots +\ln {x_{n}}}{n}}\right).

A desigualdade

Reformulando a desigualdade usando notación matemática, temos que para calquera lista de $n$ números reais non negativos $x 1, x 2, . . ., x n$ ,

{\frac {x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{n}}{n}}\geq {\sqrt[{n}]{x_{1}\cdot x_{2}\cdots x_{n}}}\,,

e o caso da igualdade cúmprese se e só se $x 1 = x 2 = \cdot \cdot \cdot = x n$ .

Interpretación xeométrica

En dúas dimensións, $2x_{1}+2x_{2}$ é o perímetro dun rectángulo con lados de lonxitude $x 1$ e $x 2$ . Podemos ver que, $4{\sqrt {x_{1}x_{2}}}$ é o perímetro dun cadrado coa mesma área $x_{1}x_{2}$ que ese rectángulo. Así, para $n = 2$ a desigualdade AM-GM indica que un rectángulo dunha área determinada ten o perímetro máis pequeno se ese rectángulo tamén é un cadrado.

Exemplos

Exemplo 1

Se $a,b,c>0$ , entón a desigualdade AM-GM dinos que

(1+a)(1+b)(1+c)\geq 2{\sqrt {1\cdot {a}}}\cdot 2{\sqrt {1\cdot {b}}}\cdot 2{\sqrt {1\cdot {c}}}=8{\sqrt {abc}}

Exemplo 2

Pódes atopar un límite superior simple para o factorial $n!$ . AM-GM dinos

1+2+\dots +n\geq n{\sqrt[{n}]{n!}}

{\frac {n(n+1)}{2}}\geq n{\sqrt[{n}]{n!}}

e así

\left({\frac {n+1}{2}}\right)^{n}\geq n!

con igualdade en $n=1$ .

De forma equivalente,

(n+1)^{n}\geq 2^{n}n!

Exemplo 3

Considere a función

f(x,y,z)={\frac {x}{y}}+{\sqrt {\frac {y}{z}}}+{\sqrt[{3}]{\frac {z}{x}}}

para todos os números reais positivos $x$ , $y$ e $z$ . Supoñamos que queremos atopar o valor mínimo desta función. Pódese reescribir como:

{\begin{aligned}f(x,y,z)&=6\cdot {\frac {{\frac {x}{y}}+{\frac {1}{2}}{\sqrt {\frac {y}{z}}}+{\frac {1}{2}}{\sqrt {\frac {y}{z}}}+{\frac {1}{3}}{\sqrt[{3}]{\frac {z}{x}}}+{\frac {1}{3}}{\sqrt[{3}]{\frac {z}{x}}}+{\frac {1}{3}}{\sqrt[{3}]{\frac {z}{x}}}}{6}}\\&=6\cdot {\frac {x_{1}+x_{2}+x_{3}+x_{4}+x_{5}+x_{6}}{6}}\end{aligned}}

con

$x_{1}={\frac {x}{y}},\qquad x_{2}=x_{3}={\frac {1}{2}}{\sqrt {\frac {y}{z}}},\qquad x_{4}=x_{5}=x_{6}={\frac {1}{3}}{\sqrt[{3}]{\frac {z}{x}}}.$

Aplicando a desigualdade AM-GM para $n = 6$ , obtemos

{\begin{aligned}f(x,y,z)&\geq 6\cdot {\sqrt[{6}]{{\frac {x}{y}}\cdot {\frac {1}{2}}{\sqrt {\frac {y}{z}}}\cdot {\frac {1}{2}}{\sqrt {\frac {y}{z}}}\cdot {\frac {1}{3}}{\sqrt[{3}]{\frac {z}{x}}}\cdot {\frac {1}{3}}{\sqrt[{3}]{\frac {z}{x}}}\cdot {\frac {1}{3}}{\sqrt[{3}]{\frac {z}{x}}}}}\\&=6\cdot {\sqrt[{6}]{{\frac {1}{2\cdot 2\cdot 3\cdot 3\cdot 3}}{\frac {x}{y}}{\frac {y}{z}}{\frac {z}{x}}}}\\&=2^{2/3}\cdot 3^{1/2}.\end{aligned}}

A maiores, sabemos que os dous lados son iguais exactamente cando todos os termos da media son iguais:

f(x,y,z)=2^{2/3}\cdot 3^{1/2}\quad {\mbox{cando}}\quad {\frac {x}{y}}={\frac {1}{2}}{\sqrt {\frac {y}{z}}}={\frac {1}{3}}{\sqrt[{3}]{\frac {z}{x}}}.

Todos os puntos $(x, y, z)$ que cumpren estas condicións atópanse nunha media recta que comeza na orixe e están dados por

(x,y,z)={\biggr (}t,{\sqrt[{3}]{2}}{\sqrt {3}}\,t,{\frac {3{\sqrt {3}}}{2}}\,t{\biggr )}\quad {\mbox{con}}\quad t>0.

Aplicacións

Rendibilidades anualizadas

En matemáticas financeiras, a desigualdade AM-GM mostra que o rendemento anualizado, a media xeométrica, é menor que o rendemento anual medio, a media aritmética.

Polinomios non negativos

O polinomio de Motzkin $x^{4}y^{2}+x^{2}y^{4}-3x^{2}y^{2}+1$ é un polinomio non negativo que non é unha suma de polinomios cadrados. Pódese demostrar que é non negativo usando a desigualdade AM-GM con $x_{1}=x^{4}y^{2}$ , $x_{2}=x^{2}y^{4}$ , e $x_{3}=1$ , ^[2] é dicir,

{\sqrt[{3}]{(x^{4}y^{2})\cdot (x^{2}y^{4})\cdot (1)}}\leq {{(x^{4}y^{2})+(x^{2}y^{4})+(1)} \over {3}}.

Simplificando e multiplicando ambos os lados por 3 dá:

{3x^{2}y^{2}}\leq {x^{4}y^{2}+x^{2}y^{4}+1},

así

{0\leq x^{4}y^{2}+x^{2}y^{4}-3x^{2}y^{2}+1}.

Notas

↑ "Euclid's Elements, Book V, Proposition 25".
↑ Motzkin, T. S. (1967). "The arithmetic-geometric inequality". Inequalities (Proc. Sympos. Wright-Patterson Air Force Base, Ohio, 1965). New york: Academic Press. pp. 205–224. MR 0223521.

Véxase tamén

Outros artigos

Ligazóns externas

Arthur Lohwater (1982). "Introduction to Inequalities". e-libro en formato PDF

[1] "Euclid's Elements, Book V, Proposition 25".

[2] Motzkin, T. S. (1967). "The arithmetic-geometric inequality". Inequalities (Proc. Sympos. Wright-Patterson Air Force Base, Ohio, 1965). New york: Academic Press. pp. 205–224. MR 0223521.

[1]

[2]