Derivada total

En matemáticas, a derivada total dunha función f nun punto é a mellor aproximación linear preto deste punto da función en relación aos seus argumentos. A diferenza das derivadas parciais, a derivada total aproxima a función en relación a todos os seus argumentos, non só a un. En moitas situacións, isto é o mesmo que considerar todas as derivadas parciais simultaneamente.

Sería a derivada dunha función de varias variábeis en relación a unha delas, sen manter constantes as demais.

O termo "derivada total" úsase principalmente cando f é unha función de varias variábeis, porque cando f é unha función dunha única variábel, a derivada total é a mesma que a derivada ordinaria da función.

A derivada total incorpora estas dependencias indirectas sobre t (é dicir, x(t) e y(t)) para describir a dependencia de f sobre t.

Operador \ Función	$f(x)$	$f(x,y,u(x,y),v(x,y))$
Diferencial	1: $\operatorname {d} \!f{\overset {\underset {\mathrm {def} }{}}{=}}f'_{x}\operatorname {d} \!x$	2: $\operatorname {d} _{x}\!f{\overset {\underset {\mathrm {def} }{}}{=}}f'_{x}\operatorname {d} \!x$ 3: $\operatorname {d} \!f{\overset {\underset {\mathrm {def} }{}}{=}}f'_{x}\operatorname {d} \!x+f'_{y}\operatorname {d} \!y+f'_{u}\operatorname {d} \!u+f'_{v}\operatorname {d} \!v$
Derivada parcial	$f'_{x}{\overset {\underset {\mathrm {(1)} }{}}{=}}{\frac {\operatorname {d} \!f}{\operatorname {d} \!x}}$	$f'_{x}{\overset {\underset {\mathrm {(2)} }{}}{=}}{\frac {\operatorname {d} _{x}\!f}{\operatorname {d} \!x}}={\partial f \over \partial x}$
Derivada total	${\frac {\operatorname {d} \!f}{\operatorname {d} \!x}}{\overset {\underset {\mathrm {(1)} }{}}{=}}f'_{x}$	${\frac {\operatorname {d} \!f}{\operatorname {d} \!x}}{\overset {\underset {\mathrm {(3)} }{}}{=}}f'_{x}+f'_{u}{\frac {\operatorname {d} \!u}{\operatorname {d} \!x}}+f'_{v}{\frac {\operatorname {d} \!v}{\operatorname {d} \!x}};(f'_{y}{\frac {\operatorname {d} \!y}{\operatorname {d} \!x}}=0)$

A derivada total como unha aplicación linear

Sexa $U\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ un subconxunto aberto. Entón, dise que unha función $f:U\to \mathbb {R} ^{m}$ é diferenciábel (totalmente) nun punto $a\in U$ se existe unha aplicación linear $df_{a}:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{m}$ tal que

$\lim _{x\to a}{\frac {\|f(x)-f(a)-df_{a}(x-a)\|}{\|x-a\|}}=0.$

A aplicación linear $df_{a}$ chámase derivada (total) ou diferencial (total) de $f$ en $a$. Outras notacións para a derivada total inclúen $D_{a}f$ e $Df(a)$. Unha función é diferenciábel (totalmente) se a súa derivada total existe en cada punto do seu dominio.

Conceptualmente, a definición da derivada total expresa a idea de que $df_{a}$ é a mellor aproximación linear a $f$ no punto $a$. Isto pódese precisar cuantificando o erro na aproximación linear determinada por $df_{a}$. Para facelo, escríbese

$f(a+h)=f(a)+df_{a}(h)+\varepsilon (h),$

onde $\varepsilon (h)$ é igual ao erro na aproximación. Dicir que a derivada de $f$ en $a$ é $df_{a}$ é equivalente á afirmación

$\varepsilon (h)=o(\lVert h\rVert ),$

onde $o$ é a notación o pequena e indica que $\varepsilon (h)$ é moito máis pequeno que $\lVert h\rVert$ cando $h\to 0$. A derivada total $df_{a}$ é a única aplicación linear para a cal o termo de erro é tan pequeno, e este é o sentido no que é a mellor aproximación linear a $f$.

A función $f$ é diferenciábel se e só se cada unha das súas compoñentes $f_{i}\colon U\to \mathbb {R}$ é diferenciábel, polo que, ao estudar derivadas totais, a miúdo é posíbel traballar unha coordenada de cada vez no codominio. Se todas as derivadas parciais de $f$ en $a$ existen e son continuas nunha veciñanza de $a$, entón $f$ é diferenciábel en $a$. Cando isto ocorre, ademais, a derivada total de $f$ é a aplicación linear correspondente á matriz jacobiana de derivadas parciais nese punto.

A derivada total como unha forma diferencial

Cando a función en cuestión é de valor real, a derivada total pode reformularse usando formas diferenciais.

Por exemplo, supoña que $f\colon \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R}$ é unha función diferenciábel de variábeis $x_{1},\ldots ,x_{n}$. A derivada total de $f$ en $a$ pódese escribir en termos da súa matriz jacobiana, que neste caso é unha matriz fila:

$Df_{a}={\begin{bmatrix}{\frac {\partial f}{\partial x_{1}}}(a)&\cdots &{\frac {\partial f}{\partial x_{n}}}(a)\end{bmatrix}}.$

A propiedade de aproximación linear da derivada total implica que se

$\Delta x={\begin{bmatrix}\Delta x_{1}&\cdots &\Delta x_{n}\end{bmatrix}}^{\mathsf {T}}$

é un vector pequeno (onde o ${\mathsf {T}}$ denota a transposta, de xeito que este vector é un vector columna), entón

$f(a+\Delta x)-f(a)\approx Df_{a}\cdot \Delta x=\sum _{i=1}^{n}{\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}(a)\cdot \Delta x_{i}.$

Heuristicamente, isto suxire que se $dx_{1},\ldots ,dx_{n}$ son incrementos infinitesimals nas direccións das coordenadas, entón

$df_{a}=\sum _{i=1}^{n}{\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}(a)\cdot dx_{i}.$

Supoña agora que $f$ é unha función vectorial, é dicir, $f\colon \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{m}$. Neste caso, as compoñentes $f_{i}$ de $f$ son funcións de valor real, polo que teñen formas diferenciais asociadas $df_{i}$. A derivada total $df$ combina estas formas nun único obxecto e, polo tanto, é un exemplo dunha forma diferencial vectorial.

A regra da cadea para derivadas totais

Artigo principal: Regra da cadea.

A regra da cadea ten unha formulación particularmente elegante en termos de derivadas totais. Di que, para dúas funcións $f$ e $g$, a derivada total da composición de funcións $f\circ g$ en $a$ satisfai

$d(f\circ g)_{a}=df_{g(a)}\cdot dg_{a}.$

Se as derivadas totais de $f$ e $g$ se identifican coas súas matrices xacobianas, entón a composición do lado dereito é simplemente a multiplicación de matrices. Isto é enormemente útil en aplicacións, xa que permite ter en conta dependencias esencialmente arbitrarias entre os argumentos dunha función composta.

Exemplo: Diferenciación con dependencias directas

Supoña que f é unha función de dúas variábeis, x e y. Se estas dúas variábeis son independentes, de xeito que o dominio de f é $\mathbb {R} ^{2}$, entón o comportamento de f pódese entender en termos das súas derivadas parciais nas direccións x e y.

No entanto, nalgúns casos, x e y poden ser dependentes. Por exemplo, pode ocorrer que f estea restrinxida a unha curva $y=y(x)$. Neste caso, estamos realmente interesados no comportamento da función composta $f(x,y(x))$. A derivada parcial de f en relación a x non dá a verdadeira taxa de cambio de f en relación ao cambio de x, porque mudar x necesariamente muda y. Porén, a regra da cadea para a derivada total ten en conta estas dependencias.

Se temos $\gamma (x)=(x,y(x))$. Entón, a regra da cadea di

$d(f\circ \gamma )_{x_{0}}=df_{(x_{0},y(x_{0}))}\cdot d\gamma _{x_{0}}.$

Expresando a derivada total usando matrices xacobianas, isto convértese en:

${\frac {df(x,y(x))}{dx}}(x_{0})={\frac {\partial f}{\partial x}}(x_{0},y(x_{0}))\cdot {\frac {dx}{dx}}(x_{0})+{\frac {\partial f}{\partial y}}(x_{0},y(x_{0}))\cdot {\frac {dy}{dx}}(x_{0}).$

Suprimindo a avaliación en $x_{0}$ para maior claridade, tamén podemos escribir isto como

${\frac {df(x,y(x))}{dx}}={\frac {\partial f}{\partial x}}{\frac {dx}{dx}}+{\frac {\partial f}{\partial y}}{\frac {dy}{dx}}.$

Isto dá unha fórmula directa para a derivada de $f(x,y(x))$ en termos das derivadas parciais de $f$ e da derivada de $y(x)$.

Por exemplo, supoña

$f(x,y)=xy.$

A taxa de cambio de f en relación a x é normalmente a derivada parcial de f en relación a x; neste caso,

${\frac {\partial f}{\partial x}}=y.$

No entanto, se y depende de x, a derivada parcial non dá a verdadeira taxa de cambio de f a medida que x cambia, porque a derivada parcial asume que y é fixo. Supoña que estamos restrinxidos á liña

$y=x.$

Entón

$f(x,y)=f(x,x)=x^{2},$

e a derivada total de f respecto a $x$ é

${\frac {df}{dx}}=2x,$

que vemos que non é igual á derivada parcial $\partial f/\partial x$ que era $y$. En vez de substituír inmediatamente $y$ en termos de $x$, tamén podemos usar a regra da cadea como antes:

${\frac {df}{dx}}={\frac {\partial f}{\partial x}}+{\frac {\partial f}{\partial y}}{\frac {dy}{dx}}=y+x\cdot 1=x+y=2x.$

Exemplo: Diferenciación con dependencias indirectas

Aínda que a miúdo se poden realizar substitucións para eliminar dependencias indirectas, a regra da cadea proporciona unha técnica máis eficiente e xeral.

Supoña que $L(t,x_{1},\dots ,x_{n})$ é unha función do tempo $t$ e $n$ variábeis $x_{i}$ que dependen do tempo. Entón, a derivada temporal de $L$ é

${\frac {dL}{dt}}={\frac {d}{dt}}L{\bigl (}t,x_{1}(t),\ldots ,x_{n}(t){\bigr )}.$

A regra da cadea expresa esta derivada en termos das derivadas parciais de $L$ e as derivadas temporais das funcións $x_{i}$:

${\frac {dL}{dt}}={\frac {\partial L}{\partial t}}+\sum _{i=1}^{n}{\frac {\partial L}{\partial x_{i}}}{\frac {dx_{i}}{dt}}={\biggl (}{\frac {\partial }{\partial t}}+\sum _{i=1}^{n}{\frac {dx_{i}}{dt}}{\frac {\partial }{\partial x_{i}}}{\biggr )}(L).$

Esta expresión úsase a miúdo en física para unha transformación de escala do lagrangiano, xa que dous lagrangianos que difiren só pola derivada temporal total dunha función do tempo e as $n$ coordenadas xeneralizadas levan ás mesmas ecuacións de movemento. Un exemplo interesante refírese á resolución da causalidade na teoría simétrica no tempo de Wheeler-Feynman.

O operador entre parénteses (na expresión final anterior) tamén se chama operador de derivada total (en relación a $t$).

Por exemplo, a derivada total de $f(x(t),y(t))$ é

${\frac {df}{dt}}={\partial f \over \partial x}{dx \over dt}+{\partial f \over \partial y}{dy \over dt}.$

Aquí non hai un termo $\partial f/\partial t$ xa que $f$ non depende directamente de $t.$

Véxase tamén

Bibliografía

• A. D. Polyanin and V. F. Zaitsev, Handbook of Exact Solutions for Ordinary Differential Equations (2nd edition), Chapman & Hall/CRC Press, Boca Raton, 2003. ISBN 1-58488-297-2
• De thesaurus.maths.org total derivative

Outros artigos

• Derivada de Fréchet, xeneralización de derivada total
• Gradiente – xeralización multivariable dunha derivada

Ligazóns externas

• Weisstein, Eric W. "Total Derivative". MathWorld. 
• Ronald D. Kriz (2007) Envisioning total derivatives of scalar functions of two dimensions using raised surfaces and tangent planes de Virginia Tech