Derivada total

Derivada total
Instancia de concepto matemático  Subclase de derivada
Códigos e identificadores Freebase /m/043bn0 MathWorld TotalDerivative
Wikidata

En matemáticas, a derivada total dunha función f nun punto é a mellor aproximación linear preto deste punto da función en relación aos seus argumentos. A diferenza das derivadas parciais, a derivada total aproxima a función en relación a todos os seus argumentos, non só a un. En moitas situacións, isto é o mesmo que considerar todas as derivadas parciais simultaneamente.

Sería a derivada dunha función de varias variábeis en relación a unha delas, sen manter constantes as demais.

O termo "derivada total" úsase principalmente cando f é unha función de varias variábeis, porque cando f é unha función dunha única variábel, a derivada total é a mesma que a derivada ordinaria da función.

A derivada total incorpora estas dependencias indirectas sobre t (é dicir, x(t) e y(t)) para describir a dependencia de f sobre t.

Operador \ Función	$f(x)$	$f(x,y,u(x,y),v(x,y))$
Diferencial	1: $\operatorname {d} \!f{\overset {\underset {\mathrm {def} }{}}{=}}f'_{x}\operatorname {d} \!x$	2: $\operatorname {d} _{x}\!f{\overset {\underset {\mathrm {def} }{}}{=}}f'_{x}\operatorname {d} \!x$ 3: $\operatorname {d} \!f{\overset {\underset {\mathrm {def} }{}}{=}}f'_{x}\operatorname {d} \!x+f'_{y}\operatorname {d} \!y+f'_{u}\operatorname {d} \!u+f'_{v}\operatorname {d} \!v$
Derivada parcial	$f'_{x}{\overset {\underset {\mathrm {(1)} }{}}{=}}{\frac {\operatorname {d} \!f}{\operatorname {d} \!x}}$	$f'_{x}{\overset {\underset {\mathrm {(2)} }{}}{=}}{\frac {\operatorname {d} _{x}\!f}{\operatorname {d} \!x}}={\partial f \over \partial x}$
Derivada total	${\frac {\operatorname {d} \!f}{\operatorname {d} \!x}}{\overset {\underset {\mathrm {(1)} }{}}{=}}f'_{x}$	${\frac {\operatorname {d} \!f}{\operatorname {d} \!x}}{\overset {\underset {\mathrm {(3)} }{}}{=}}f'_{x}+f'_{u}{\frac {\operatorname {d} \!u}{\operatorname {d} \!x}}+f'_{v}{\frac {\operatorname {d} \!v}{\operatorname {d} \!x}};(f'_{y}{\frac {\operatorname {d} \!y}{\operatorname {d} \!x}}=0)$

A derivada total como unha aplicación linear

Sexa $U\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ un subconxunto aberto. Entón, dise que unha función $f:U\to \mathbb {R} ^{m}$ é diferenciábel (totalmente) nun punto $a\in U$ se existe unha aplicación linear $df_{a}:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{m}$ tal que

$\lim _{x\to a}{\frac {\|f(x)-f(a)-df_{a}(x-a)\|}{\|x-a\|}}=0.$

A aplicación linear $df_{a}$ chámase derivada (total) ou diferencial (total) de $f$ en $a$. Outras notacións para a derivada total inclúen $D_{a}f$ e $Df(a)$. Unha función é diferenciábel (totalmente) se a súa derivada total existe en cada punto do seu dominio.

Conceptualmente, a definición da derivada total expresa a idea de que $df_{a}$ é a mellor aproximación linear a $f$ no punto $a$. Isto pódese precisar cuantificando o erro na aproximación linear determinada por $df_{a}$. Para facelo, escríbese

$f(a+h)=f(a)+df_{a}(h)+\varepsilon (h),$

onde $\varepsilon (h)$ é igual ao erro na aproximación. Dicir que a derivada de $f$ en $a$ é $df_{a}$ é equivalente á afirmación

$\varepsilon (h)=o(\lVert h\rVert ),$

onde $o$ é a notación o pequena e indica que $\varepsilon (h)$ é moito máis pequeno que $\lVert h\rVert$ cando $h\to 0$. A derivada total $df_{a}$ é a única aplicación linear para a cal o termo de erro é tan pequeno, e este é o sentido no que é a mellor aproximación linear a $f$.

A función $f$ é diferenciábel se e só se cada unha das súas compoñentes $f_{i}\colon U\to \mathbb {R}$ é diferenciábel, polo que, ao estudar derivadas totais, a miúdo é posíbel traballar unha coordenada de cada vez no codominio. Se todas as derivadas parciais de $f$ en $a$ existen e son continuas nunha veciñanza de $a$, entón $f$ é diferenciábel en $a$. Cando isto ocorre, ademais, a derivada total de $f$ é a aplicación linear correspondente á matriz jacobiana de derivadas parciais nese punto.

A derivada total como unha forma diferencial

Cando a función en cuestión é de valor real, a derivada total pode reformularse usando formas diferenciais.

Por exemplo, supoña que $f\colon \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R}$ é unha función diferenciábel de variábeis $x_{1},\ldots ,x_{n}$. A derivada total de $f$ en $a$ pódese escribir en termos da súa matriz jacobiana, que neste caso é unha matriz fila:

$Df_{a}={\begin{bmatrix}{\frac {\partial f}{\partial x_{1}}}(a)&\cdots &{\frac {\partial f}{\partial x_{n}}}(a)\end{bmatrix}}.$

A propiedade de aproximación linear da derivada total implica que se

$\Delta x={\begin{bmatrix}\Delta x_{1}&\cdots &\Delta x_{n}\end{bmatrix}}^{\mathsf {T}}$

é un vector pequeno (onde o ${\mathsf {T}}$ denota a transposta, de xeito que este vector é un vector columna), entón

$f(a+\Delta x)-f(a)\approx Df_{a}\cdot \Delta x=\sum _{i=1}^{n}{\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}(a)\cdot \Delta x_{i}.$

Heuristicamente, isto suxire que se $dx_{1},\ldots ,dx_{n}$ son incrementos infinitesimals nas direccións das coordenadas, entón

$df_{a}=\sum _{i=1}^{n}{\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}(a)\cdot dx_{i}.$

Supoña agora que $f$ é unha función vectorial, é dicir, $f\colon \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{m}$. Neste caso, as compoñentes $f_{i}$ de $f$ son funcións de valor real, polo que teñen formas diferenciais asociadas $df_{i}$. A derivada total $df$ combina estas formas nun único obxecto e, polo tanto, é un exemplo dunha forma diferencial vectorial.

A regra da cadea para derivadas totais

Artigo principal: Regra da cadea.

A regra da cadea ten unha formulación particularmente elegante en termos de derivadas totais. Di que, para dúas funcións $f$ e $g$, a derivada total da composición de funcións $f\circ g$ en $a$ satisfai

$d(f\circ g)_{a}=df_{g(a)}\cdot dg_{a}.$

Se as derivadas totais de $f$ e $g$ se identifican coas súas matrices xacobianas, entón a composición do lado dereito é simplemente a multiplicación de matrices. Isto é enormemente útil en aplicacións, xa que permite ter en conta dependencias esencialmente arbitrarias entre os argumentos dunha función composta.

Exemplo: diferenciación con dependencias directas

Supoña que f é unha función de dúas variábeis, x e y. Se estas dúas variábeis son independentes, de xeito que o dominio de f é $\mathbb {R} ^{2}$, entón o comportamento de f pódese entender en termos das súas derivadas parciais nas direccións x e y.

No entanto, nalgúns casos, x e y poden ser dependentes. Por exemplo, pode ocorrer que f estea restrinxida a unha curva $y=y(x)$. Neste caso, estamos realmente interesados no comportamento da función composta $f(x,y(x))$. A derivada parcial de f en relación a x non dá a verdadeira taxa de cambio de f en relación ao cambio de x, porque mudar x necesariamente muda y. Porén, a regra da cadea para a derivada total ten en conta estas dependencias.

Se temos $\gamma (x)=(x,y(x))$. Entón, a regra da cadea di

$d(f\circ \gamma )_{x_{0}}=df_{(x_{0},y(x_{0}))}\cdot d\gamma _{x_{0}}.$

Expresando a derivada total usando matrices xacobianas, isto convértese en:

${\frac {df(x,y(x))}{dx}}(x_{0})={\frac {\partial f}{\partial x}}(x_{0},y(x_{0}))\cdot {\frac {dx}{dx}}(x_{0})+{\frac {\partial f}{\partial y}}(x_{0},y(x_{0}))\cdot {\frac {dy}{dx}}(x_{0}).$

Suprimindo a avaliación en $x_{0}$ para maior claridade, tamén podemos escribir isto como

${\frac {df(x,y(x))}{dx}}={\frac {\partial f}{\partial x}}{\frac {dx}{dx}}+{\frac {\partial f}{\partial y}}{\frac {dy}{dx}}.$

Isto dá unha fórmula directa para a derivada de $f(x,y(x))$ en termos das derivadas parciais de $f$ e da derivada de $y(x)$.

Por exemplo, supoña

$f(x,y)=xy.$

A taxa de cambio de f en relación a x é normalmente a derivada parcial de f en relación a x; neste caso,

${\frac {\partial f}{\partial x}}=y.$

No entanto, se y depende de x, a derivada parcial non dá a verdadeira taxa de cambio de f a medida que x cambia, porque a derivada parcial asume que y é fixo. Supoña que estamos restrinxidos á liña

$y=x.$

Entón

$f(x,y)=f(x,x)=x^{2},$

e a derivada total de f respecto a $x$ é

${\frac {df}{dx}}=2x,$

que vemos que non é igual á derivada parcial $\partial f/\partial x$ que era $y$. En vez de substituír inmediatamente $y$ en termos de $x$, tamén podemos usar a regra da cadea como antes:

${\frac {df}{dx}}={\frac {\partial f}{\partial x}}+{\frac {\partial f}{\partial y}}{\frac {dy}{dx}}=y+x\cdot 1=x+y=2x.$

Exemplo: Diferenciación con dependencias indirectas

Aínda que a miúdo se poden realizar substitucións para eliminar dependencias indirectas, a regra da cadea proporciona unha técnica máis eficiente e xeral.

Supoña que $L(t,x_{1},\dots ,x_{n})$ é unha función do tempo $t$ e $n$ variábeis $x_{i}$ que dependen do tempo. Entón, a derivada temporal de $L$ é

${\frac {dL}{dt}}={\frac {d}{dt}}L{\bigl (}t,x_{1}(t),\ldots ,x_{n}(t){\bigr )}.$

A regra da cadea expresa esta derivada en termos das derivadas parciais de $L$ e as derivadas temporais das funcións $x_{i}$:

${\frac {dL}{dt}}={\frac {\partial L}{\partial t}}+\sum _{i=1}^{n}{\frac {\partial L}{\partial x_{i}}}{\frac {dx_{i}}{dt}}={\biggl (}{\frac {\partial }{\partial t}}+\sum _{i=1}^{n}{\frac {dx_{i}}{dt}}{\frac {\partial }{\partial x_{i}}}{\biggr )}(L).$

Esta expresión úsase a miúdo en física para unha transformación de escala do lagrangiano, xa que dous lagrangianos que difiren só pola derivada temporal total dunha función do tempo e as $n$ coordenadas xeneralizadas levan ás mesmas ecuacións de movemento. Un exemplo interesante refírese á resolución da causalidade na teoría simétrica no tempo de Wheeler-Feynman.

O operador entre parénteses (na expresión final anterior) tamén se chama operador de derivada total (en relación a $t$).

Por exemplo, a derivada total de $f(x(t),y(t))$ é

${\frac {df}{dt}}={\partial f \over \partial x}{dx \over dt}+{\partial f \over \partial y}{dy \over dt}.$

Aquí non hai un termo $\partial f/\partial t$ xa que $f$ non depende directamente de $t.$

Véxase tamén

Bibliografía

• A. D. Polyanin and V. F. Zaitsev, Handbook of Exact Solutions for Ordinary Differential Equations (2nd edition), Chapman & Hall/CRC Press, Boca Raton, 2003. ISBN 1-58488-297-2
• De thesaurus.maths.org total derivative

Outros artigos

• Derivada de Fréchet, xeneralización de derivada total
• Gradiente

Ligazóns externas

• Weisstein, Eric W. "Total Derivative". MathWorld. 
• Ronald D. Kriz (2007) Envisioning total derivatives of scalar functions of two dimensions using raised surfaces and tangent planes Arquivado 10 de maio de 2021 en Wayback Machine. de Virginia Tech