Derivada formal

En matemáticas, a derivada formal é unha operación sobre elementos dun anel polinómico ou dun anel de series formais de potencias que imita a forma da derivada do cálculo.

Aínda que parecen similares, a vantaxe alxébrica dunha derivada formal é que non se basea na noción de límite, que en xeral é imposíbel de definir para un anel.

Moitas das propiedades da derivada son certas para a derivada formal, mais algunhas, especialmente as que fan enunciados numéricos, non o son.

A diferenciación formal úsase en álxebra para comprobar as raíces múltiples dun polinomio.

Definición

Dado un anel $R$ (non necesariamente conmutativo) e sexa $A=R[x]$ o anel de polinomios sobre $R$. (Se $R$ non é conmutativa, esta é a álxebra libre sobre unha única variábel indeterminada.)

Entón a derivada formal é unha operación sobre elementos de $A$, onde se

$f(x)\,=\,a_{n}x^{n}+\cdots +a_{1}x+a_{0},$

entón a súa derivada formal é

$f'(x)\,=\,Df(x)=na_{n}x^{n-1}+\cdots +ia_{i}x^{i-1}+\cdots +a_{1}.$

Na definición anterior, para calquera número enteiro non negativo $i$ e $r\in R$, $ir$ defínese como de costume nun anel: $ir=\underbrace {r+r+\cdots +r} _{i{\text{ veces}}}$ (con $ir=0$ se $i=0$ ).

Esta definición tamén funciona aínda que $R$ non teña unha identidade multiplicativa (é dicir, $R$ é un rng).

Propiedades

Pódese comprobar que:

• A diferenciación formal é linear: para dous polinomios calquera f(x), g(x) en R[x] e elementos r, s de R temos

$(r\cdot f+s\cdot g)'(x)=r\cdot f'(x)+s\cdot g'(x).$

• A derivada formal cumpre a regra do produto:

$(f\cdot g)'(x)=f'(x)\cdot g(x)+f(x)\cdot g'(x).$

Observe a orde dos factores; cando R non é conmutativo isto é importante.

Teña en conta que a derivada formal non é un homomorfismo de aneis, porque a regra do produto é diferente de dicir (e non é o caso) que $(f\cdot g)'=f'\cdot g'$. No entanto, trátase dun homomorfismo (mapa linear) de R-módulos, segundo as regras anteriores.

Véxase tamén

Bibliografía

• Lang, Serge (2002). Algebra. Graduate Texts in Mathematics 211 (Revised third ed.). New York: Springer-Verlag. ISBN 978-0-387-95385-4. MR 1878556. Zbl 0984.00001. 

Outros artigos

• Derivada
• Dominio euclidiano
• Serie formal de potencias

Ligazóns externas

• Michael Livshits, You could simplify calculus, arXiv:0905.3611v1