D. H. Lehmer

D. H. Lehmer
	;
Biografía
Nacemento	23 de febreiro de 1905 ; Berkeley, Estados Unidos de América
Morte	22 de maio de 1991 (86 anos); Berkeley, Estados Unidos de América
Educación	Universidade Brown (1928–1930); Universidade de Chicago (1927–1928); Universidade de California, Berkeley (–1927)
Tese académica	An Extended Theory of Lucas' Functions (en) (1930 )
Director de tese	Jacob Tamarkin (pt)
Actividade
Campo de traballo	Teoría de números
Ocupación	matemático, profesor universitario
Empregador	Universidade de California, Berkeley (1940–1972) ; Universidade Lehigh (pt) (1932–1940) ; Universidade Stanford (1931–1932)
Alumnos	Tom Mike Apostol (pt)
Obra
	Obras destacables Lucas–Lehmer–Riesel test (en) ; código de Lehmer (pt) ; Lehmer sieve (en) ; Lehmer's conjecture (en) ; número de Lehmer (pt) ; média de Lehmer (pt) ; matriz de Lehmer (pt) ; algoritmo de Lehmer–Schur (pt) ; Lucas primality test (en) ; Lehmer's GCD algorithm (en) ; Lucas–Lehmer primality test (en) ; Meissel–Lehmer algorithm (en) ; gerador de números aleatórios de Lehmer (pt) ;
Doutorando	Peter J. Weinberger (pt) , Tom Mike Apostol (pt) , Ronald Graham, Harold Stark (pt) , Donald Dines Wall, John Brillhart (pt) , David Singmaster (pt) , Jayanthi Chidambaraswamy (en) , Donald Marvin Adelman (en) , Henry Ludwig Alder (en) , William Haddock Simons (en) , Nand Kishore (en) , Mark Brimhall Wells (en) , Robert Samuel Spira (en) , Jonathan David Young (en) , Alan Zame (en) , David Friedman (en) , James Brown Herreschoff (en) e Richard Paul Stauduhar (en)
Arquivos en	Bancroft Library (en) MSS 2000/71 ;
Familia
Cónxuxe	Emma Lehmer
Pai	Derrick Norman Lehmer
Premios
	(1965) Conferenciante Josiah Willard Gibbs; (1938) Bolsa de estudos Guggenheim ;

Derrick Henry Lehmer é un matemático estadounidense, especialista en teoría dos números coñecido polas súas probas de primalidade, nado o 23 de febreiro de 1905 en Berkeley (California) onde morreu o 22 de maio de 1991. Tamén expuxo o problema que leva o seu nome (problema de Lehmer ): se n ≡ 1 mod φ(n), é n necesariamente primo?

Biografía

O seu pai Derrick Norman Lehmer (1867–1938) creou táboas de números primos e táboas de factorización usando calculadoras mecánicas. El mesmo estudou física na Universidade de California, Berkeley, onde o seu pai era profesor de matemáticas. Como estudante, traballou na implementación de algoritmos de factorización para o seu pai mediante calculadoras de tarxetas perforadas, coa axuda da súa futura esposa, Emma Markovna Trotskaya, que tamén estudaba en Berkeley. En 1927, recibiu a súa licenciatura en física e comezou a traballar nun doutoramento con Leonard Eugene Dickson en Chicago, pero cambiou de supervisor de investigación para Jacob David Tamarkin na Universidade de Brown en Rhode Island, onde se doutorou en 1930.

Logo foi ao Instituto de Tecnoloxía de California cunha bolsa estatal en 1930/31, despois á Universidade de Stanford e ao Instituto de Estudos Avanzados de Princeton (Nova Xersei) durante un ano antes de obter unha cátedra asociada á Universidade de Lehigh. Salvo unha visita a Inglaterra en 1938/39, onde visitou a Godfrey Harold Hardy, John Edensor Littlewood, Harold Davenport, Kurt Mahler, Louis Mordell e Paul Erdős, el e a súa esposa permaneceron en Lehigh ata 1940, cando obtivo un posto na súa Universidade de orixe, Berkeley. Durante os anos da guerra, el e a súa muller traballaron como operadores de ENIAC no campo de probas de Aberdeen do exército dos Estados Unidos: o día para cálculos balísticos, a noite para cálculos de teoría de números. Cando rexeitou o xuramento de lealdade imposto por Joseph McCarthy en Berkeley en 1950, perdeu brevemente o seu traballo, que substituíu por traballar para o National Institute of Standards and Technology. Despois da súa reincorporación, recibiu diversas distincións: é vicepresidente da American Mathematical Society e "gobernador en xeral» da Association for Computing Machinery 1953-1954.

De 1954 a 1957, Lehmer dirixiu o departamento de matemáticas da Universidade de California, Berkeley. En 1958, foi un orador invitado no Congreso Internacional de Matemáticos de Edimburgo (Discrete variable methods in numerical analysis). En 1972, xubilouse. Recibiu un doutoramento honoris causa da Brown University en 1980.

Investigación

Lehmer é un pioneiro no uso de ordenadores e métodos numéricos xerais na teoría de números. Algunhas das súas contribucións están listadas a continuación.

Test de primalidade

Mellorou o test de primalidade de Lucas de Édouard Lucas e outros métodos para demostrar a primalidade dos números naturais: é o "Test de primalidade de Lucas-Lehmer para os números de Mersenne», que leva o seu nome.^[1]^[2]

Pares de Lehmer

Tamén foi un dos primeiros en probar computacinal mente a hipótese de Riemann. Ao facelo, descubriu ceros moi próximos na función zeta de Riemann, que agora se chaman pares de Lehmer.^[3]

Algoritmo de Euclides

En 1938, desenvolveu unha versión acelerada do algoritmo de Euclides para enteiros moi grandes.^[4] En 1959, mellorou a fórmula do astrónomo Ernst Meissel para o número de números primos $\pi (x)$ menores de $x$ e calcula co seu método o número $\pi (10^{10})$ .^[5].

Expansión cotanxente e constante de Lehmer

Lehmer estableceu en 1938 que para todo número real positivo $x$ , existe unha única secuencia de números enteiros positivos $(b_{k})_{k}$ que satisfán^[6]^[7]

b_{k}\geqslant b_{k-1}^{2}+b_{k-1}+1

tal que:

x=\cot \left(\sum _{k=0}^{+\infty }(-1)^{k}\operatorname {arccot}(b_{k})\right).

Esta serie chámase expansión cotanxente continua de Lehmer.

A constante de Lehmer $0{,}5926327182...$ é o número real cuxa expansión continua cotanxente de Lehmer converxe máis lentamente; correspóndese co caso $b_{0}=0$ e onde a condición dos enteiros é no caso de igualdade.

Función tau de Ramanujan

Lehmer estudou a función tau de Ramanujan que é a función $\tau$ de Srinivasa Ramanujan definida por

\sum _{n=1}^{\infty }\tau (n)x^{n}=x((1-x)(1-x^{2})(1-x^{3})...)^{24}

e formulou en 1947 a conxectura de Lehmer segundo a cal $\tau (n)$ non se anula para ningún número natural $n$ .^[8]

Algoritmo de Lehmer-Schur

O algoritmo de Lehmer-Schur é un método para illar os ceros dun polinomio no plano complexo.^[9] Baséase nun criterio para determinar o número de ceros do polinomio nun disco cun centro e raio determinados e nunha xeneralización sistemática da aniñación de intervalos.^[10]

Media de Lehmer

Un método paramétrico de promediar números non negativos que proporciona algunhas das medias máis comúns en casos particulares chámase media de Lehmer.

Problema de Lehmer

O problema de Lehmer é un problema aínda sen resolver que se refire aos ceros dun polinomio. Formúlase do seguinte xeito: para calquera polinomio con coeficientes enteiros, cuxos ceros están fóra do circunferencia unitaria, existe un límite inferior $C>1$ onde $C$ é a medida de Mahler?

A medida máis pequena atopada ata o momento refírese a un polinomio de grao 10 e vale $1{,}17628$ . Este número chámase número de Lehmer.^[11]

Problema do totiente

O problema do totiente de Lehmer^[12] tamén é unha das preguntas fáciles de formular mais difíciles de solucionar e aínda está aberta: Existe un número natural composto $n$ tal que o totiente de Euler $\varphi$ verifica $\varphi (n)|(n-1)$ ? Tal número enteiro $n$ sería un número pseudo-primo notábel, por outra banda a inexistencia de tal número enteiro daría lugar á validez do criterio $\,n\equiv 1\mod \varphi (n)\,$ para números primos.

Matrices de Lehmer

As matrices simétricas con elementos racionais, chamadas matrices de Lehmer,^[13] son matrices cuxos inversos son matrices tridiagonais con elementos estritamente negativos nas dúas diagonais non principais. Pódense especificar analiticamente e poden usarse para probar programas de inversión numérica.

Código de Lehmer

Unha bixección entre unha permutación e un enteiro positivo nun sistema de números factoriais chámase código de Lehmer.^[14]

"Os cinco de Lehmer"

Os cinco de Lehmer son os cinco números naturais 276, 552, 564, 660, 966 inferiores a 1000 para os que aínda non está determinado o comportamento asintótico da súa secuencia alícuota (a secuencia da suma iterada de todos os seus divisores propios) .

Cadenas de Cunningham

A procura de cadeas de Cunningham tamén se remonta a Lehmer. Son secuencias de números primos nos que se satisfán elementos consecutivos $p_{i}=2\cdot p_{i-1}+1$ . A motivación vén das probas de primalidade tipo Lucas, onde para probar se $p$ é primo, debemos factorizar $(p-1)$ . Lehmer atopou tres desas cadeas de sete primos onde o primo máis pequeno é menor que $10^{7}$ .^[15]

Dirección de teses

Lehmer exerceu como director de tese de Tom Apostol, John Brillhart, Ronald Graham, David Singmaster, Harold Stark e Peter Weinberger, entre outros.

Publicacións adicionais

Guide to Tables in the Theory of Numbers Washington. 1941, reimpresión de 1961.
Selected papers of D. H. Lehmer, 1981.
con John Brillhart, John L. Selfridge, Bryant Tuckerman, S. S. Wagstaff Jr., « Factorizations of $b^{n}$ ± 1, b = 2, 3, 5, 6, 7, 10, 11, 12 up to high powers », American Mathematical Society 1983, 3 edición, 2002^[16].
« An extended theory of Lucas’ functions », Annals of Mathematics, vol. 31 (1930), p. 419–448
« A machine for combining sets of linear congruences », Mathematische Annalen, vol. 109 (1934), p. 661–667.
« The Vanishing of Ramanujan’s Function tau(n) », Duke Math. J., vol. 14 (1947), p. 429–433
« Mechanized mathematics », Bulletin of the American Mathematical Society, 1966.

Notas

↑ Derrick H. Lehmer (1930). "An extended theory of Lucas' functions". 2 31. Ann. Math.: 419-448. JSTOR 1968235. .
↑ Derrick H. Lehmer (1935). "On Lucas' test for the primality of Mersenne numbers" 10. J. London Math. Soc.: 162-165. .
↑ George Csordas; Wayne Smith; Richard S. Varga (1994). "Lehmer pairs of zeroes and the Riemann zeta-function" 48. American Mathematical Society: 553-556. .
↑ Derrick H. Lehmer (1938). "Euclid’s algorithm for large numbers" 45. Amer. Math. Monthly: 227–233. .
↑ Eric Bach; Jeffrey Shallit (1996). Algorithmic Number Theory, Vol. I. MIT Press. p. 300.
↑ Derrick H. Lehmer (juin 1938). "A cotangent analogue of continued fractions" 4 (2). Duke Mathematical Journal: 323-340. doi:10.1215/S0012-7094-38-00424-7.
↑ T. Rivoal (2007). "Propriétés diophantiennes du développement en cotangente continue de Lehmer" (PDF) 150. Monatshefte für Mathematik: 49–71.
↑ Derrick H.Lehmer (1947). "The vanishing of Ramanujan's function τ(n)". Duke Math. J. 14 (2): 429–433. Zbl 0029.34502. doi:10.1215/s0012-7094-47-01436-1.
↑ Derrick H.Lehmer (1961). "A machine method for solving polynomial equations". Journal of the ACM 8: 151-162.
↑ Issai Schur (1918). "Über Potenzreihen, die im Innern des Einheitskreises beschränkt sind" 148. Journal Reine Angew. Math.: 122–145 (notamment p. 134).
↑ Eriko Hironaka (2009). "What is Lehmer’s number?" (PDF). Notices of the AMS. p. 374-375.
↑ William D. Banks; C. Wesley Nevans; Carl Pomerance (2009). "A remark on Giuga’s conjecture and Lehmer’s totient problem" (PDF) 3 (2). Albanian J. Math.: 81-85. Zbl 1219.11003.
↑ Derrick H. Lehmer (1991). "Matrix paraphrases" 28 (4). Linear and Multilinear Algebra: 251–264.
↑ Roberto Mantaci; Fanja Rakotondrajao (2001). "A permutation representation that knows what “Eulerian” means" (PDF) 4. Discrete Mathematics and Theoretical Computer Science: 101–108.
↑ Richard K. Guy (1994). Unsolved Problems in Number Theory. Springer. p. 18.
↑ préesentación en liña.

Véxase tamén

Bibliografía

Outros artigos

Ligazóns externas

outras fotos

[1] Derrick H. Lehmer (1930). "An extended theory of Lucas' functions". 2 31. Ann. Math.: 419-448. JSTOR 1968235. .

[2] Derrick H. Lehmer (1935). "On Lucas' test for the primality of Mersenne numbers" 10. J. London Math. Soc.: 162-165. .

[3] George Csordas; Wayne Smith; Richard S. Varga (1994). "Lehmer pairs of zeroes and the Riemann zeta-function" 48. American Mathematical Society: 553-556. .

[4] Derrick H. Lehmer (1938). "Euclid’s algorithm for large numbers" 45. Amer. Math. Monthly: 227–233. .

[5] Eric Bach; Jeffrey Shallit (1996). Algorithmic Number Theory, Vol. I. MIT Press. p. 300.

[6] Derrick H. Lehmer (juin 1938). "A cotangent analogue of continued fractions" 4 (2). Duke Mathematical Journal: 323-340. doi:10.1215/S0012-7094-38-00424-7.

[7] T. Rivoal (2007). "Propriétés diophantiennes du développement en cotangente continue de Lehmer" (PDF) 150. Monatshefte für Mathematik: 49–71.

[8] Derrick H.Lehmer (1947). "The vanishing of Ramanujan's function τ(n)". Duke Math. J. 14 (2): 429–433. Zbl 0029.34502. doi:10.1215/s0012-7094-47-01436-1.

[9] Derrick H.Lehmer (1961). "A machine method for solving polynomial equations". Journal of the ACM 8: 151-162.

[10] Issai Schur (1918). "Über Potenzreihen, die im Innern des Einheitskreises beschränkt sind" 148. Journal Reine Angew. Math.: 122–145 (notamment p. 134).

[11] Eriko Hironaka (2009). "What is Lehmer’s number?" (PDF). Notices of the AMS. p. 374-375.

[12] William D. Banks; C. Wesley Nevans; Carl Pomerance (2009). "A remark on Giuga’s conjecture and Lehmer’s totient problem" (PDF) 3 (2). Albanian J. Math.: 81-85. Zbl 1219.11003.

[13] Derrick H. Lehmer (1991). "Matrix paraphrases" 28 (4). Linear and Multilinear Algebra: 251–264.

[14] Roberto Mantaci; Fanja Rakotondrajao (2001). "A permutation representation that knows what “Eulerian” means" (PDF) 4. Discrete Mathematics and Theoretical Computer Science: 101–108.

[15] Richard K. Guy (1994). Unsolved Problems in Number Theory. Springer. p. 18.

[16] réesentación en liña.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]

[15]

[16]