Cuantificador (lóxica)

En lóxica formal, un cuantificador é unha expresión que indica o número de veces que se cumpre un predicado ou propiedade P dentro dunha determinada clase (por exemplo, pertenza, equivalencia ou orde). Existen moitos tipos de cuantificadores, entre os máis utilizados están:

• Cuantificador universal

$\forall \,x,y\ldots$

Para todo x, y...

• Cuantificador existencial

$\exists \,x,y\ldots$

Existe polo menos un x, y...

• Cuantificador existencial único

$\exists !\,x,y\ldots$

Existe exactamente un x, y...

• Negación do cuantificador existencial

$\nexists \,x,y\ldots$

Non existe ningún x, y...

Declaracións cuantificadas

As declaracións cuantificadas escríbense na forma:

• $\forall \,x\in \mathbb {R} \;,\quad 2x\in \mathbb {R}$

Para todo x que pertence a R, é certo que 2x pertence a R.

• $\forall \,a\in \mathbb {R} ,\quad \exists \,x\in \mathbb {R} \;:\quad a<x<(a+1)$

Para todo a que pertence a R, existe algún ou varios x que pertencen a R, que está entre a e a+1.

• $\forall \,a\in \mathbb {R} -\left\{{0}\right\},\quad \exists !\,x\in \mathbb {R} \;:\quad a\cdot x=1$

Para todo a pertencente a R que é diferente de cero, existe un único x que pertence a R, que satisfai que a por x é igual a 1.

Proposicións

Cuantificación universal

O cuantificador universal úsase para afirmar que todos os elementos dun conxunto satisfán unha determinada propiedade. Por exemplo:

$\forall x\in A\;:\quad P(x)$

Para todo x pertencente a A, cúmprese P(x) .

Esta afirmación úsase a miúdo como o equivalente da seguinte proposición:

$A=\{x\in U\;:\quad P(x)\}$

O conxunto A defínese como o conxunto de elementos x de U que satisfán P(x) .

Cuantificación existencial

O cuantificador existencial úsase para indicar que hai un ou máis elementos no conxunto $~A$ (non necesariamente únicos) que cumpren unha determinada propiedade. Por exemplo:

$\exists \,x\in A\;:\quad P(x)$

Existe polo menos un x en A que satisfai P(x) .

Esta proposición adoita interpretarse como o equivalente á seguinte proposición:

$\{x\in A\;:\quad P(x)\}\neq \emptyset$

O conxunto de elementos x de A, que satisfán P(x) é diferente do conxunto baleiro.

Cuantificación existencial única

O cuantificador existencial marcado pola unicidade utilízase para indicar que existe un único elemento dun conxunto A que satisfai unha determinada propiedade. Escríbese como:

$\exists !\,x\in A\;:\quad P(x)$

Lese:

Existe un único elemento x de A, que satisfai P(x) .

Equivalencias

Existen as seguintes relacións universais:

$\forall x\in A:\ P(x)\qquad \longleftrightarrow \qquad \neg \exists x\in A\ :\neg P(x)$

Para todo x en A, cúmprese P(x) se e só se non existe ningún x en A que non satisfaga P(x).

$\exists x\in A\ :P(x)\qquad \longleftrightarrow \qquad \neg \forall x\in A\ :\neg P(x)$

Existe polo menos un x en A que satisfai P(x) se e só se non é certo que para todo x en A, P(x) non se cumpre.

Leis de De Morgan

As leis de De Morgan para os cuantificadores son as seguintes:

• $\neg \forall xP(x)\equiv \exists x\neg P(x)$

A negación é falsa se para todo $x$ o predicado é verdade. Pola contra, é certo se existe un $x$ para o cal $P(x)$ é falsa.

• $\neg \exists xP(x)\equiv \forall x\neg P(x)$

A negación é verdadeira se para todo $x$ a función proposicional $P$ de $x$ é falsa e é falsa se existe un $x$ para o cal $P(x)$ é verdadeira.

Precedencia dos cuantificadores

A orde de prioridade (precedencia) dos cuantificadores $\forall$ e $\exists$ é de maior grao de preferencia que os outros operadores lóxicos.

Exemplos:

Cando poñemos $\forall xP(x)\land M(x)$, a orde de prioridade obríganos a realizar primeiro o cuantificador universal aplicado a $P(x)$ (indicado cun paréntese a maiores) e a ese resultado aplicar o and lóxico ( $\land$ ) con $M(x)$, isto é: $(\forall xP(x))\land M(x)$. Este exemplo pódese ver para os diferentes cuantificadores.

No caso de querer dar prioridade ao operador lóxico ( $\land$ ) teremos que poñer parénteses para forzar a prioridade desa operación $\forall x(P(x)\land M(x)).$

Un erro moi común é considerar que $\forall xP(x)\land M(x)$ É o mesmo que $\forall x(P(x)\land M(x))$ que non é o caso, xa que non se respecta a orde de prioridade, polo que o correcto sería $(\forall xP(x))\land M(x)$.

Regras de troco

• Primeira regra :

Un cuantificador universal ( $\forall$ ) afirmativo equivale á negación dun cuantificador existencial.

$(\forall xP(x))\leftrightarrow (\neg \exists x\neg P(x))$

Para todo $x$, $P$ é certo, equivale a que sexa falso que algúns $x$ non cumpran $P$.

• Segunda regra :

Un cuantificador existencial ( $\exists$ ) afirmativo equivale á negación do cuantificador universal negación ( $\neg \forall$ ) xunto á negación do predicado.

$(\exists xP(x))\leftrightarrow (\neg \forall x\neg P(x))$

Que exista algún $x$ para o que $P$ é certo, equivale a dicir que non acontece que para todo $x$ non cumpre $P$.

• Terceira regra :

A negación dun cuantificador universal ( $\neg \forall$ ) equivale a un cuantificador existencial ( $\exists$ ) co predicado negado.

$(\neg \forall xP(x))\leftrightarrow (\exists x\neg P(x))$

É falso que todos os $x$ cumpren $P$, é equivalente a algúns $x$ non cumpren $P$.

• Cuarta regra :

A negación dun cuantificador existencial ( $\neg \exists$ ) equivale a un cuantificador universal ( $\forall$ ) co predicado negado.

$(\neg \exists xP(x))\leftrightarrow (\forall x\neg P(x))$

É falso que algún $x$ cumpra $P$, é equivalente a todos os $x$ non cumpren $P$.

Véxase tamén

Bibliografía

• Stanford Encyclopedia of Philosophy:
  • Shapiro, Stewart (2000). "Classical Logic" (Covers syntax, model theory, and metatheory for first order logic in the natural deduction style.)
  • Westerståhl, Dag (2005). "Generalized quantifiers"
• Peters, Stanley; Westerståhl, Dag (2002). "Quantifiers" Arquivado 2012-07-16 en Wayback Machine.

Ligazóns externas

• "Quantifier". Encyclopedia of Mathematics. EMS Press. 2001 [1994]. 
• ""For all" and "there exists" topical phrases, sentences and expressions". Arquivado dende o orixinal o March 1, 2000. . From College of Natural Sciences, University of Hawaii at Manoa.