Corpo de fraccións

En álxebra abstracta, o corpo de fraccións dun dominio integridade é o corpo máis pequeno no que se pode mergullar. A construción do corpo de fraccións baséase na relación entre o dominio de integridade dos números enteiros e o corpo dos números racionais . Intuitivamente, consiste en relacións entre elementos integrais do dominio.

Non debe confundirse co cociente dun anel por un ideal, que é un concepto moi diferente.

Para un anel conmutativo que non é un dominio integridade, a construción análoga chámase localización ou anel de cocientes.

Definición

Dado un dominio de integridade $R$ e sendo $R^{*}=R\setminus \{0\}$ , definimos unha relación de equivalencia sobre $R\times R^{*}$ sendo $(n,d)\sim (m,b)$ sempre que $nb=md$ . Denotamos a clase de equivalencia de $(n,d)$ por ${\frac {n}{d}}$ .

Esta noción de equivalencia está motivada polos números racionais $\mathbb {Q}$ , que teñen a mesma propiedade en relación ao anel subxacente $\mathbb {Z}$ de enteiros.

Entón o corpo das fraccións é o conxunto ${\text{Frac}}(R)=(R\times R^{*})/\sim$ con suma dada por

{\frac {n}{d}}+{\frac {m}{b}}={\frac {nb+md}{db}}

e multiplicación dada por

{\frac {n}{d}}\cdot {\frac {m}{b}}={\frac {nm}{db}}.

O corpo das fraccións de $R$ caracterízase pola seguinte propiedade universal:

se

h:R\to F

é un homomorfismo de anel inxectivo de

R

nun corpo

F

, entón existe un homomorfismo de anel único

g:\operatorname {Frac} (R)\to F

que estende

h

.

Hai unha interpretación categórica desta construción. Sexa $\mathbf {C}$ a categoría de dominios de integridade e mapas inxectivos de aneis. O functor de $\mathbf {C}$ cara a categoría de corpos que leva cada dominio de integridade ao seu corpo de fraccións e cada homomorfismo ao mapa inducido sobre corpos (que existe pola propiedade universal) é o adxunto pola esquerda do functor de inclusión da categoría de corpos en $\mathbf {C}$ . Así, a categoría de corpos (que é unha subcategoría completa) é unha subcategoría reflexiva de $\mathbf {C}$ .

Non se require unha identidade multiplicativa para o papel do dominio de integridade; esta construción pódese aplicar a calquera rng conmutativo distinto de cero $R$ sen divisores de cero distintos de cero. O mergullo vén dado por $r\mapsto {\frac {rs}{s}}$ para calquera $s\in R$ distinto de cero.^[1]

Exemplos

O corpo de fraccións do anel de enteiros é o corpo dos racionais : $\mathbb {Q} =\operatorname {Frac} (\mathbb {Z} )$ .
Sexa $R:=\{a+b\mathrm {i} \mid a,b\in \mathbb {Z} \}$ o anel de enteiros gaussianos. Entón $\operatorname {Frac} (R)=\{c+d\mathrm {i} \mid c,d\in \mathbb {Q} \}$ é o corpo dos racionais gaussianos.
O corpo de fraccións dun corpo é canonicamente isomorfo ao propio corpo.
Dado un corpo $K$ , o corpo de fraccións do anel polinómico nunha variábel indeterminada $K[X]$ (que é un dominio de integridade), chámase corpo de funcións racionais, corpo de fraccións racionais ou corpo de expresións racionais ^[2]^[3]^[4]^[5] sendo denotado como $K(X)$ .
O corpo de fraccións do anel de convolución das funcións de media recta produce un espazo de operadores, incluíndo a función delta de Dirac, o operador diferencial e o operador integral. Esta construción dá unha representación alternativa da transformada de Laplace que non depende explicitamente dunha transformada de integrais.^[6]

Localización

Para calquera anel conmutativo $R$ e calquera conxunto multiplicativo $S$ en $R$ , a localización $S^{-1}R$ é o anel conmutativo formado por fraccións

{\frac {r}{s}}

con $r\in R$ e $s\in S$ , onde $(r,s)$ é equivalente a $(r',s')$ se e só se existe $t\in S$ tal que $t(rs'-r's)=0$ .

Destacan dous casos especiais:

Se $S$ é o complemento dun ideal primo $P$ , entón $S^{-1}R$ tamén se denota $R_{P}$ .
Cando $R$ é un dominio de integridade e $P$ é o ideal cero, $R_{P}$ é o corpo das fraccións de $R$ .
Se $S$ é o conxunto de elementos non divisores de cero en $R$ , entón $S^{-1}R$ chámase anel cociente total.
O anel cociente total dun dominio de integridade é o seu corpo de fraccións, pero o anel cociente total defínese para calquera anel conmutativo.

Notas

↑ Hungerford, Thomas W. (1980). Algebra (Revised 3rd ed.). New York: Springer. pp. 142–144. ISBN 3540905189.
↑ Vinberg, Ėrnest Borisovich (2003). A course in algebra. American Mathematical Society. p. 131. ISBN 978-0-8218-8394-5.
↑ Foldes, Stephan (1994). Fundamental structures of algebra and discrete mathematics. Wiley. p. 128. ISBN 0-471-57180-6.
↑ Grillet, Pierre Antoine (2007). "3.5 Rings: Polynomials in One Variable". Abstract algebra. Springer. p. 124. ISBN 978-0-387-71568-1.
↑ Marecek, Lynn; Mathis, Andrea Honeycutt (6 May 2020). Intermediate Algebra 2e. OpenStax. §7.1.
↑ Mikusiński, Jan (14 July 2014). Operational Calculus. Elsevier. ISBN 9781483278933.

Véxase tamén

Outros artigos

[1] Hungerford, Thomas W. (1980). Algebra (Revised 3rd ed.). New York: Springer. pp. 142–144. ISBN 3540905189.

[2] Vinberg, Ėrnest Borisovich (2003). A course in algebra. American Mathematical Society. p. 131. ISBN 978-0-8218-8394-5.

[3] Foldes, Stephan (1994). Fundamental structures of algebra and discrete mathematics. Wiley. p. 128. ISBN 0-471-57180-6.

[4] Grillet, Pierre Antoine (2007). "3.5 Rings: Polynomials in One Variable". Abstract algebra. Springer. p. 124. ISBN 978-0-387-71568-1.

[5] Marecek, Lynn; Mathis, Andrea Honeycutt (6 May 2020). Intermediate Algebra 2e. OpenStax. §7.1.

[6] Mikusiński, Jan (14 July 2014). Operational Calculus. Elsevier. ISBN 9781483278933.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]