Corpo alxebricamente pechado

En matemáticas, un corpo $F$ está alxebricamente pechado (ou alxebricamente fechado) se todo polinomio non constante en $F [x]$ (o anel polinómico univariado con coeficientes en $F$ ) ten unha raíz en $F$ . Noutras palabras, un corpo é alxebraicamente pechado se se cumpre o teorema fundamental da álxebra para el.

Todo corpo $K$ está contido nun corpo alxebricamente pechado $C,$ e as raíces en $C$ dos polinomios con coeficientes en $K$ forman un corpo alxebricamente pechado chamado peche alxébrico de $K.$ Dados dous peches alxébricos de $K$ hai isomorfismos entre eles que fixan os elementos de $K.$

Os corpos pechados alxebraicamente aparecen na seguinte cadea de inclusión de clases:

rngs ⊃ aneis ⊃ aneis conmutativos ⊃ dominios de integridade ⊃ dominios de integridade pechados ⊃ dominios GCD ⊃ dominios de factorización única ⊃ dominios de ideais principais ⊃ dominios euclidianos ⊃ corpos ⊃ corpos alxebricamente pechados

Exemplos

Como exemplo, o corpo dos números reais non está pechado alxebricamente, porque a ecuación polinómica $x^{2}+1=0$ non ten solución nos números reais, aínda que todos os seus coeficientes (1 e 0) sexan reais.

O mesmo argumento demostra que ningún subcorpo do corpo real está pechado alxebricamente; en particular, o corpo dos números racionais non está pechado alxebricamente.

Pola contra, o teorema fundamental da álxebra afirma que o corpo dos números complexos está alxebricamente pechado. Outro exemplo de corpo alxebricamente pechado é o corpo dos números alxébricos (complexos).

Ningún corpo finito F está alxebricamente pechado, porque se a₁, a₂, ... , a_n son os elementos de F, entón o polinomio (x − a₁)(x − a₂) ⋯ (x − a_n ) + 1 non ten ceros en F.

No entanto, a unión de todos os corpos finitos de característica fixa p (p primo) é un corpo alxebricamente pechado, que é, de feito, o peche alxébrico do corpo $\mathbb {F} _{p}$ con p elementos.

O corpo $\mathbb {C} (x)$ de funcións racionais con coeficientes complexos non está pechado; por exemplo, o polinomio $y^{2}-x$ ten raíces $\pm {\sqrt {x}}$ , que non son elementos de $\mathbb {C} (x)$ .