Conxuntos disxuntos

Na teoría de conxuntos en matemáticas e lóxica formal, dise que dous conxuntos son conxuntos disxuntos se non teñen ningún elemento en común. De forma equivalente, dous conxuntos disxuntos son conxuntos cuxa intersección é o conxunto baleiro.^[1] Por exemplo, {1, 2, 3} e {4, 5, 6} son conxuntos disxuntos, mentres que {1, 2, 3} e {3, 4, 5} non son disxuntos.

Xeneralizacións

Esta definición de conxuntos disxuntos pódese estender ás familias de conxuntos e ás familias indexadas de conxuntos. Por definición, unha colección de conxuntos chámase familia de conxuntos (como o conxunto de partes, por exemplo). Unha familia indexada de conxuntos $\left(A_{i}\right)_{i\in I},$ é por definición unha función con valores dos conxunto (é dicir, é unha función que asigna un conxunto $A_{i}$ a cada elemento $i\in I$ no seu dominio) cuxo dominio $I$ chámase o seu conxunto índice (e os elementos do seu dominio chámanse índices).

Unha familia de conxuntos ${\mathcal {F}}$ chámase disxunta por parellas se cada dous conxuntos da familia son disxuntos. Por exemplo, a familia de conxuntos { {0, 1, 2}, {3, 4, 5}, {6, 7, 8}, ... } é disxunta.

En topoloxía, hai varias nocións de conxuntos separados con condicións máis estritas que a disxunción. Por exemplo, pódense considerar que dous conxuntos están separados cando teñen peches ou veciñanzas disxuntas. Do mesmo xeito, nun espazo métrico, os conxuntos separados positivamente son conxuntos separados por unha distancia distinta de cero.^[2]

Interseccións

A disxunción de dous conxuntos, ou dunha familia de conxuntos, pode expresarse en termos de interseccións de pares deles.

Dous conxuntos A e B son disxuntos se e só se a súa intersección $A\cap B$ é o conxunto baleiro.^[1] Desta definición despréndese que todo conxunto é disxunto do conxunto baleiro, e que o conxunto baleiro é o único conxunto que está disxunto de si mesmo.^[3]

Unións disxuntas e particións

Unha partición dun conxunto X é calquera colección de conxuntos non baleiros mutuamente disxuntos cuxa unión é X.^[4] Toda partición pódese describir de forma equivalente mediante unha relación de equivalencia, unha relación binaria que describe se dous elementos pertencen ao mesmo conxunto na partición. ^[4] As estruturas de datos de conxuntos disxuntos ^[5] e o refinamento de particións ^[6] son dúas técnicas en informática para manter eficientemente as particións dun conxunto suxeitas, respectivamente, a operacións de unión que fusionan dous conxuntos ou operacións de refinamento que dividen un conxunto en dous.

Unha unión disxunta significa a unión de conxuntos que son disxuntos.^[7]

Notas

↑ ^1,0 ^1,1 Halmos, P. R. (1960). Naive Set Theory. Undergraduate Texts in Mathematics. Springer. p. 15. ISBN 9780387900926. .
↑ Copson, Edward Thomas (1988). Metric Spaces. Cambridge Tracts in Mathematics 57. Cambridge University Press. p. 62. ISBN 9780521357326. .
↑ Oberste-Vorth, Ralph W. (2012). Bridge to Abstract Mathematics. MAA textbooks. Mathematical Association of America. p. 59. ISBN 9780883857793. .
↑ ^4,0 ^4,1 Halmos (1960), p. 28.
↑ Cormen, Thomas H. (2001). Introduction to Algorithms. MIT Press. ISBN 0-262-03293-7. .
↑ Paige, Robert (1987). Three partition refinement algorithms. .
↑ Ferland, Kevin (2008). Discrete Mathematics: An Introduction to Proofs and Combinatorics. Cengage Learning. p. 45. ISBN 9780618415380. .

Véxase tamén

Outros artigos

Coprimo, números con conxuntos disxuntos de divisores primos
Empaquetamento de conxuntos, o problema de atopar a subfamilia disxunta máis grande dunha familia de conxuntos

Ligazóns externas

Weisstein, Eric W. "Disjoint Sets". MathWorld.

[halmos-1] 1,0 ^1,1 Halmos, P. R. (1960). Naive Set Theory. Undergraduate Texts in Mathematics. Springer. p. 15. ISBN 9780387900926. .

[2] Copson, Edward Thomas (1988). Metric Spaces. Cambridge Tracts in Mathematics 57. Cambridge University Press. p. 62. ISBN 9780521357326. .

[3] Oberste-Vorth, Ralph W. (2012). Bridge to Abstract Mathematics. MAA textbooks. Mathematical Association of America. p. 59. ISBN 9780883857793. .

[h60-28-4] 4,0 ^4,1 Halmos (1960), p. 28.

[5] Cormen, Thomas H. (2001). Introduction to Algorithms. MIT Press. ISBN 0-262-03293-7. .

[6] Paige, Robert (1987). Three partition refinement algorithms. .

[7] Ferland, Kevin (2008). Discrete Mathematics: An Introduction to Proofs and Combinatorics. Cengage Learning. p. 45. ISBN 9780618415380. .

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]