Conxunto non numerábel

En matemáticas, un conxunto non numerábel, informalmente, é un conxunto infinito que contén demasiados elementos para poder ser numerábeis.

A non numerabilidade dun conxunto está intimamente relacionada co seu número cardinal: un conxunto é non numerábel se o seu número cardinal é maior que aleph-cero, a cardinalidade dos números naturais.

Exemplos de conxuntos non numerábeis inclúen o conxunto $\mathbb {R}$ de todos os números reais e o conxunto de todos os subconxuntos dos números naturais.

Caracterizacións

Hai moitas caracterizacións equivalentes da non numerabilidade. Un conxunto X é non numerábel se e só se cumpre algunha das seguintes condicións:

Non hai unha función inxectiva (polo tanto, non hai bixección) desde X ata o conxunto de números naturais.
X non está baleiro e para cada ω-sucesión de elementos de X, existe polo menos un elemento de X non incluído nela. É dicir, X non está baleiro e non hai función sobrexectiva desde os números naturais a X.
A cardinalidade de X non é nin finita nin igual a $\aleph _{0}$ (aleph-cero).
O conxunto X ten cardinalidade estritamente maior que $\aleph _{0}$ .

As tres primeiras destas caracterizacións pódense probar equivalentes na teoría de conxuntos de Zermelo-Fraenkel sen o axioma de escolla, pero a equivalencia da terceira e da cuarta non se pode demostrar sen principios de escolla adicionais.

Propiedades

Se un conxunto non numerábel X é un subconxunto do conxunto Y, entón Y é non numerábel.

Exemplos

O exemplo máis coñecido dun conxunto non numerábel é o conxunto $\mathbb {R}$ de todos os números reais $\mathbb {R}$ .

O argumento de diagonalización de Cantor mostra que este conxunto é non numerábel.

A técnica de proba de diagonalización tamén se pode usar para demostrar que outros conxuntos son non numerábeis, como o conxunto de todas as secuencias infinitas de números naturais $\mathbb {N}$ (ver: (secuencia A102288 na OEIS), e o conxunto de todos os subconxuntos do conxunto de números naturais.

A cardinalidade $\mathbb {R}$ chámase a miúdo cardinalidade do continuo e denótase por ${\mathfrak {c}}$ , ou $2^{\aleph _{0}}$ , ou $\beth _{1}$ (beth-un).

Outro exemplo dun conxunto non numerábel é o conxunto de todas as funcións de $\mathbb {R}$ en $\mathbb {R}$ . Este conxunto é aínda "máis non numerábel" que $\mathbb {R}$ no sentido de que a cardinalidade deste conxunto é $\beth _{2}$ (beth-dous), que é maior que $\beth _{1}$ .

Sen o axioma da escolla

Sen o axioma da escolla, poderían existir cardinalidades incomparábeis con $\aleph _{0}$ (é dicir, as cardinalidades dos conxuntos infinitos Dedekind-finitos ).

Os conxuntos destas cardinalidades satisfán as tres primeiras caracterizacións anteriores, mais non a cuarta caracterización. Dado que estes conxuntos non son máis grandes que os números naturais no sentido de cardinalidade, algúns autores poden non querer chamalos non numerábeis.

Se se cumpre o axioma de escolla, as seguintes condicións nun cardinal $\kappa$ son equivalentes:

$\kappa \nleq \aleph _{0};$
$\kappa >\aleph _{0};$ e
$\kappa \geq \aleph _{1}$ , onde $\aleph _{1}=|\omega _{1}|$ e $\omega _{1}$ é o menor ordinal inicial maior que $\omega .$

No entanto, todos poden ser diferentes se o axioma da escolla falta. Polo tanto, non é obvio cal é a xeralización adecuada de "non numerabilidade" cando o axioma falta. Se cadra sexa mellor evitar usar a palabra neste caso e especificar cal destes significa.

Notas

Véxase tamén

Bibliografía

Halmos, Paul, Naive Set Theory. Princeton, NJ: D. Van Nostrand Company, 1960. Reprinted by Springer-Verlag, New York, 1974. ISBN 0-387-90092-6 (Springer-Verlag edition). Reprinted by Martino Fine Books, 2011. ISBN 978-1-61427-131-4 (Paperback edition).
Jech, Thomas (2002). Set Theory. Springer Monographs in Mathematics (3rd millennium ed.). Springer. ISBN 3-540-44085-2.

Outros artigos