Conxunto denso

En topoloxía e outras áreas relacionadas das matemáticas, dise que un subconxunto A dun espazo topolóxico X é denso en X se todo punto de X pertence a A ou está arbitrariamente "próximo" a un membro de A, por exemplo, os números racionais son un subconxunto denso dos números reais porque todo número real é un número racional ou ten un número racional próximo a el (arbitrariamente diofantiano). Formalmente, $A$ é denso en $X$ se o subconxunto pechado máis pequeno de $X$ que contén $A$ é o propio $X$ .^[1]

A densidade dun espazo topolóxico $X$ é a menor cardinalidade dun subconxunto denso de $X.$

Definición

Un subconxunto $A$ dun espazo topolóxico $X$ dise que é un subconxunto denso de $X$ se cumpre algunha das seguintes condicións equivalentes:

O subconxunto pechado máis pequeno de $X$ que contén $A$ é o propio $X$ .
O pechamento de $A$ en $X$ é igual a $X.$ É dicir, $\operatorname {cl} _{X}A=X.$
O interior do complementario de $A$ está baleiro. É dicir, $\operatorname {int} _{X}(X\setminus A)=\varnothing .$
Todo punto dentro $X$ ou pertence a $A$ ou é un punto límite de $A.$
Para todo $x\in X,$ cada veciñanza $U$ de $x$ intersecta $A;$ é dicir, $U\cap A\neq \varnothing .$
$A$ intersecta todos os subconxuntos abertos non baleiros de $X.$

e se ${\mathcal {B}}$ é unha base de conxuntos abertos para a topoloxía en $X$ entón esta lista pódese ampliar para incluír:

Para todo $x\in X,$ cada veciñanza básica $B\in {\mathcal {B}}$ de $x$ intersecta $A.$
$A$ intersecta todos os non baleiros $B\in {\mathcal {B}}.$

Densidade en espazos métricos

Unha definición alternativa de conxunto denso no caso de espazos métricos é a seguinte. Cando a topoloxía de $X$ vén dada por unha métrica, o pechamento ${\overline {A}}$ de $A$ en $X$ é a unión de $A$ e o conxunto de todos os límites de secuencias de elementos en $A$ (os seus puntos límite),

{\overline {A}}=A\cup \left\{\lim _{n\to \infty }a_{n}:a_{n}\in A{\text{ for all }}n\in \mathbb {N} \right\}

Daquela $A$ é denso en $X$ se

{\overline {A}}=X.

Se $\left\{U_{n}\right\}$ é unha secuencia de conxuntos abertos densos nun espazo métrico completo, $X,$ entón ${\textstyle \bigcap _{n=1}^{\infty }U_{n}}$ tamén é densa en $X.$ Este feito é unha das formas equivalentes do teorema da categoría de Baire .

Exemplos

Os números reais coa topoloxía habitual teñen os números racionais como un subconxunto denso numerábel o que mostra que a cardinalidade dun subconxunto denso dun espazo topolóxico pode ser estritamente menor que a cardinalidade do propio espazo.

Os números irracionais son outro subconxunto denso que mostra que un espazo topolóxico pode ter varios subconxuntos densos disxuntos (en particular, dous subconxuntos densos poden ser complementos entre si), e nin sequera teñen que ser da mesma cardinalidade.

Quizais sexa aínda máis sorprendente que tanto os racionais como os irracionais teñen interiores baleiros, o que mostra que os conxuntos densos non precisan conter ningún conxunto aberto non baleiro.

A intersección de dous subconxuntos abertos densos dun espazo topolóxico é de novo densa e aberta.

O conxunto baleiro é un subconxunto denso de si mesmo. Pero cada subconxunto denso dun espazo non baleiro tamén debe ser non baleiro.

Polo teorema de aproximación de Weierstrass, calquera función continua de valores complexos definida nun intervalo pechado $[a,b]$ pódese aproximar uniformemente o máis preto que se desexe mediante unha función polinómica. Noutras palabras, as funcións polinómicas son densas no espazo $C[a,b]$ de funcións continuas de valores complexos no intervalo $[a,b],$ equipado coa norma do supremo.

Todo espazo métrico é denso no seu completamento.

Propiedades

Todo espazo topolóxico é un subconxunto denso de si mesmo. Para un conxunto $X$ equipado coa topoloxía discreta, todo o espazo é o único subconxunto denso. Todo subconxunto non baleiro dun conxunto $X$ equipado coa topoloxía trivial é denso, e toda topoloxía para a que cada subconxunto non baleiro sexa denso debe ser trivial.

A densidade é transitiva: dados tres subconxuntos $A,B$ e $C$ dun espazo topolóxico $X$ con $A\subseteq B\subseteq C\subseteq X$ tal que $A$ é denso en $B$ e $B$ é denso en $C$ (na respectiva topoloxía subespacial) entón $A$ tamén é denso en $C.$

A imaxe dun subconxunto denso baixo unha función continua sobrexectiva volve ser densa. A densidade dun espazo topolóxico (a menor das cardinalidades dos seus subconxuntos densos) é unha invariante topolóxico.

Un espazo topolóxico cun subconxunto denso conexo é necesariamente conexo.

As funcións continuas en espazos de Hausdorff están determinadas polos seus valores en subconxuntos densos: se dúas funcións continuas $f,g:X\to Y$ nun espazo de Hausdorff $Y$ concordan cun subconxunto denso de $X$ entón concordan en todo $X.$

Para os espazos métricos hai espazos universais, nos que se poden mergullar todos os espazos de densidade dada: un espazo métrico de densidade $\alpha$ é isométrico a un subespazo de $C\left([0,1]^{\alpha },\mathbb {R} \right),$ o espazo de funcións continuas reais sobre o produto de $\alpha$ copias do intervalo unidade.^[2]

Nocións relacionadas

Un punto $x$ dun subconxunto $A$ dun espazo topolóxico $X$ chámase punto límite de $A$ (en $X$ ) se toda veciñanza de $x$ tamén contén un punto de $A$ distinto do propio $x$ , sendo un punto illado de $A$ en caso contrario. Un subconxunto sen puntos illados dise que é denso en si.

Un subconxunto $A$ dun espazo topolóxico $X$ chámase denso en ningún lugar (en $X$ ) se non hai veciñanza en $X$ sobre o que $A$ é denso. De forma equivalente, un subconxunto dun espazo topolóxico non é denso en ningún lugar se e só se o interior do seu pechamento está baleiro.

O interior do complemento dun conxunto denso en ningún lugar é sempre denso.

O complemento dun conxunto pechado denso en ningún lugar é un conxunto aberto denso.

Dado un espazo topolóxico $X,$ un subconxunto $A$ de $X$ que se pode expresar como a unión de numerosos subconxuntos densos en ningún lugar de $X$ chámase escaso. Os números racionais, aínda que son densos nos números reais, son escasos como un subconxunto dos reais.

Un espazo topolóxico cun subconxunto denso numerábel chámase separábel. Un espazo topolóxico é un espazo de Baire se e só se a intersección de moitos conxuntos abertos densos numerábeis é sempre densa. Un espazo topolóxico chámase resoluble se é a unión de dous subconxuntos densos disxuntos. De forma máis xeral, un espazo topolóxico chámase κ-resolúbel para un cardinal κ se contén κ conxuntos densos disxuntos por pares.

Un mergullo dun espazo topolóxico $X$ como un subconxunto denso dun espazo compacto chámase compactación de $X.$

Notas

↑ Modelo desbotado. Use un dos modelos de citas no lugar deste marcador.
↑ Kleiber, Martin; Pervin, William J. (1969). "A generalized Banach-Mazur theorem". Bull. Austral. Math. Soc. 1 (2): 169–173. doi:10.1017/S0004972700041411.

Véxase tamén

Bibliografía

Nicolas Bourbaki (1989) [1971]. General Topology, Chapters 1–4. Elements of Mathematics. Springer-Verlag. ISBN 3-540-64241-2.
Bourbaki, Nicolas (1989) [1966]. General Topology: Chapters 1–4 [Topologie Générale]. Éléments de mathématique. Berlin New York: Springer Science & Business Media. ISBN 978-3-540-64241-1. OCLC 18588129.
Dixmier, Jacques (1984). General Topology. Undergraduate Texts in Mathematics. Traducido por Berberian, S. K. New York: Springer-Verlag. ISBN 978-0-387-90972-1. OCLC 10277303.
Steen, Lynn Arthur; Seebach, J. Arthur Jr. (1995) [1978]. Counterexamples in Topology (Dover reprint of 1978 ed.). Berlin, New York: Springer-Verlag. ISBN 978-0-486-68735-3. MR 507446.
Willard, Stephen (2004) [1970]. General Topology. Mineola, N.Y.: Dover Publications. ISBN 978-0-486-43479-7. OCLC 115240.

Outros artigos

[CEIT-1] Modelo desbotado. Use un dos modelos de citas no lugar deste marcador.

[2] Kleiber, Martin; Pervin, William J. (1969). "A generalized Banach-Mazur theorem". Bull. Austral. Math. Soc. 1 (2): 169–173. doi:10.1017/S0004972700041411.

[1]

[2]