Converxencia absoluta

En matemáticas, dise que unha serie infinita de números converxen absolutamente (ou son absolutamente converxentes) se a suma dos valores absolutos dos sumandos é finita. Máis precisamente, unha serie real ou complexa $\textstyle \sum _{n=0}^{\infty }a_{n}$ dise que converxe absolutamente se $\textstyle \sum _{n=0}^{\infty }\left|a_{n}\right|=L$ para algún número real $\textstyle L.$

Do mesmo xeito, unha integral impropia dunha función, $\textstyle \int _{0}^{\infty }f(x)\,dx,$ dise que converxe absolutamente se a integral do valor absoluto do integrando é finita, é dicir, se $\textstyle \int _{0}^{\infty }|f(x)|dx=L.$

Unha serie converxente que non é absolutamente converxente chámase condicionalmente converxente.

Contexto

Ao engadir un número finito de termos, a suma é tanto asociativa como conmutativa, o que significa que o agrupamento e a reordenación non alteran a suma final. Por exemplo, $(1+2)+3$ é igual a ambos $1+(2+3)$ e $(3+2)+1$. Porén, a asociatividade e a conmutatividade non se cumpren necesariamente para sumas infinitas. Un exemplo é a serie harmónica alterna

$S=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n+1}}{n}}=1-{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}-{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{5}}-{\frac {1}{6}}+\cdots$

cuxos termos son fraccións que se alternan en signo. Esta serie é converxente e pódese avaliar usando a serie de Maclaurin para a función $\ln(1+x)$, que converxe para todos os $x$ que satisfán $-1<x\leq 1$:

$\ln(1+x)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n+1}x^{n}}{n}}=x-{\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {x^{3}}{3}}-{\frac {x^{4}}{4}}+\cdots$

Substituíndo $x=1$ revela que a suma orixinal é igual a $\ln 2$.

Mais resulta que a suma tamén se pode reorganizar do seguinte xeito:

$S=\left(1-{\frac {1}{2}}\right)-{\frac {1}{4}}+\left({\frac {1}{3}}-{\frac {1}{6}}\right)-{\frac {1}{8}}+\left({\frac {1}{5}}-{\frac {1}{10}}\right)-{\frac {1}{12}}+\cdots$

Nesta reordenación, o recíproco de cada número impar agrúpase co recíproco do duplo do seu valor, mentres que os recíprocos de cada múltiplo de 4 avalíanse por separado. Con esta reordenación avaliando os termos entre parénteses temos o resultado

$S={\frac {1}{2}}-{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{6}}-{\frac {1}{8}}+{\frac {1}{10}}-{\frac {1}{12}}+\cdots$

que é a metade da serie orixinal.

A violación da asociatividade e da conmutividade deste tipo de sumas revela que a serie harmónica alterna é condicionalmente converxente.

A suma dos valores absolutos de cada termo da serie harmónica ${\textstyle 1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{4}}+\cdots }$ é diverxente. Segundo o teorema de reordenación de Riemann, calquera serie condicionalmente converxente pode ser reordenada de tal modo que a súa suma sexa calquera número real finito ou para que diverxa.

Pola contra, cando se reordena unha serie absolutamente converxente, a súa suma sempre se conserva.

Definición para números reais e complexos

Unha suma de números reais ou complexos ${\textstyle \sum _{n=0}^{\infty }a_{n}}$ é absolutamente converxente se a suma dos valores absolutos dos termos ${\textstyle \sum _{n=0}^{\infty }|a_{n}|}$ converxe.

Sumas de elementos máis xerais

A mesma definición pódese usar para as series ${\textstyle \sum _{n=0}^{\infty }a_{n}}$ cuxos termos $a_{n}$ non son números senón elementos dun grupo topolóxico abeliano arbitrario. Nese caso, en lugar de usar o valor absoluto, a definición require que o grupo teña unha norma, que é unha función positiva con valor real ${\textstyle \|\cdot \|:G\to \mathbb {R} _{+}}$ nun grupo abeliano $G$ (escrito aditivo, co elemento de identidade 0) tal que:

1. A norma do elemento identidade de $G$ é cero: $\|0\|=0.$
2. Para todo $x\in G,$$\|x\|=0$ implica $x=0.$
3. Para todo $x\in G,$$\|-x\|=\|x\|.$
4. Para todo $x,y\in G,$$\|x+y\|\leq \|x\|+\|y\|.$

Neste caso, a función $d(x,y)=\|x-y\|$ induce a estrutura dun espazo métrico (un tipo de topoloxía) sobre $G.$

Entón, unba serie don valores en $G$ é absolutamente converxente se ${\textstyle \sum _{n=0}^{\infty }\|a_{n}\|<\infty .}$

Converxencia absoluta de integrais

A integral ${\textstyle \int _{A}f(x)\,dx}$ dunha función real ou de valores complexos dise que converxe absolutamente se ${\textstyle \int _{A}\left|f(x)\right|\,dx<\infty .}$

Tamén se di que $f$ é absolutamente integrábele. A cuestión da integrabilidade absoluta é complicada e depende de se se considera a integral de Riemann, Lebesgue ou Kurzweil-Henstock.

Para a integral de Riemann, tamén depende de se só consideramos a integrabilidade no seu sentido propio ($f$ e $A$ ambos os dous limitados) ou permiten o caso máis xeral de integrais impropias.

Como propiedade estándar da integral de Riemann, cando $A=[a,b]$ é un intervalo limitado, toda función continua é limitada e (Riemann) integrábel, e xa que $f$ continua implica $|f|$ continua, toda función continua é absolutamente integrábel.

De feito, xa que $g\circ f$ é Riemann integrábel en $[a,b]$ se $f$ é (propiamente) integrábel e $g$ é continua, dedúcese que $|f|=|\cdot |\circ f$ é propiamente Riemann integrábel se o é $f$.

No entanto, esta implicación non se aplica no caso das integrais impropias. Por exemplo, a función ${\textstyle f:[1,\infty )\to \mathbb {R} :x\mapsto {\frac {\sin x}{x}}}$ é unha integral impropia de Riemann con dominio ilimitado (infinito na parte superior), mais non é absolutamente integrable: $$\int _{1}^{\infty }{\frac {\sin x}{x}}\,dx={\frac {1}{2}}{\bigl [}\pi -2\,\mathrm {Si} (1){\bigr ]}\approx 0.62,{\text{ mais }}\int _{1}^{\infty }\left|{\frac {\sin x}{x}}\right|dx=\infty .$$De feito, de xeito máis xeral, dada calquera serie ${\textstyle \sum _{n=0}^{\infty }a_{n}}$ pódese considerar a función en escada asociada $f_{a}:[0,\infty )\to \mathbb {R}$ definida por $f_{a}([n,n+1))=a_{n}.$ Así ${\textstyle \int _{0}^{\infty }f_{a}\,dx}$ converxe absolutamente, converxe condicionalmente ou diverxe segundo o comportamento correspondente de ${\textstyle \sum _{n=0}^{\infty }a_{n}.}$

Véxase tamén

Bibliografía

• Walter Rudin, Principles of Mathematical Analysis (McGraw-Hill: New York, 1964).
• Robertson, A. P. (1973). Topological vector spaces. Cambridge England: University Press. ISBN 0-521-29882-2. OCLC 589250. 

Outros artigos

• Serie harmónica.
• Constante de Apéry.