Constante de Euler-Mascheroni

En matemáticas, a constante de Euler-Mascheroni é un número que aparece na análise e na teoría dos números. Apareceu por primeira vez na obra do matemático suízo Leonhard Euler a principios do século XVIII.Adoita representarse coa letra grega $\gamma$ (gamma), aínda que Euler utilizou as letras C e O no seu lugar.

Aínda non se sabe se o número é irracional (é dicir, non se pode escribir como unha fracción cun numerador e denominador enteiro) ou transcendental (é dicir, non pode ser a solución dun polinomio con coeficientes enteiros). O valor numérico de $\gamma$ é aproximadamente $0.5772156649$. O matemático italiano Lorenzo Mascheroni tamén traballou co número, e intentou sen éxito aproximar o número a 32 decimais, cometendo erros en cinco díxitos.

É significativo porque vincula a serie harmónica diverxente co logaritmo natural. Vén dada pola diferenza límite entre o logaritmo natural e a serie harmónica:

$\gamma =\lim _{t\to \infty }\left(\sum _{n=1}^{t}{\frac {1}{n}}-\log(t)\right)$

Tamén se pode escribir como unha integral impropia que inclúe a función chan, unha función que produce o maior enteiro menor ou igual a un determinado número.

$\gamma =\int _{1}^{\infty }\left({\frac {1}{\lfloor t\rfloor }}-{\frac {1}{t}}\right)\mathrm {d} t$

A constante gamma está intimamente ligada á función Gamma, especificamente á súa derivada logarítmica, a función digamma, que se define como

$\mathrm {\Psi } _{0}(x)={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\log(\Gamma (x))={\frac {\Gamma '(x)}{\Gamma (x)}}$

Para $x=1$, isto dá

$\mathrm {\Psi } _{0}(1)=-\gamma$

Usando as propiedades da función digamma, $\gamma$ tamén se pode escribir como límite.

$-\gamma =\lim _{t\to 0}\left(\mathrm {\Psi } _{0}(t)+{\frac {1}{t}}\right)$

Véxase tamén

Outros artigos

• Serie harmónica
• Función zeta de Riemann
• Constante de Stieltjes
• Constante de Meissel-Mertens

Ligazóns externas

• "Euler constant". Encyclopedia of Mathematics. EMS Press. 2001 [1994]. 
• Weisstein, Eric W. "Euler–Mascheroni constant". MathWorld. 
• Jonathan Sondow.
• Fast Algorithms and the FEE Method, E.A. Karatsuba (2005)
• Outras fórmulas que fan uso da constante: Gourdon and Sebah (2004).

---

Este artigo sobre matemáticas é, polo de agora, só un bosquexo. Traballa nel para axudar a contribuír a que a Galipedia mellore e medre.  Existen igualmente outros artigos relacionados con este tema nos que tamén podes contribuír.

---