Constante de Apéry

racionalidade	Irracional
símbolo	ζ(3)
decimal	1.20205 69031 59594 2854...

En matemáticas, a constante de Apéry é a suma infinita dos recíprocos ao cubo dos números enteiros positivos. É dicir, defínese como o número

${\begin{aligned}\zeta (3)&=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{3}}}\\&=\lim _{n\to \infty }\left({\frac {1}{1^{3}}}+{\frac {1}{2^{3}}}+\cdots +{\frac {1}{n^{3}}}\right),\end{aligned}}$

onde ζ é a función zeta de Riemann. Ten un valor aproximado de

ζ(3) ≈ 1.20205 69031 59594 (secuencia A002117 na OEIS).

Leva o nome de Roger Apéry, quen demostrou que é un número irracional.

Propiedades

Problemas sen solucionar en matemáticas:

É a constante de Apéry transcendental?

(máis problemas sen solucionar en matemáticas)

ζ(3) foi chamada constante de Apéry en honor ao matemático francés Roger Apéry, quen demostrou en 1978 que se trata dun número irracional. Este resultado é coñecido como Teorema de Apéry. A proba orixinal é complexa e difícil de comprender, e máis tarde atopáronse probas máis sinxelas.

A demostración de irracionalidade simplificada de Beukers implica aproximar o integrando da integral tripla coñecida para ζ(3) ,

$\zeta (3)=\int _{0}^{1}\int _{0}^{1}\int _{0}^{1}{\frac {1}{1-xyz}}\,dx\,dy\,dz,$

polos polinomios de Legendre. En particular, o artigo de van der Poorten fai unha crónica deste enfoque sinalando que

$I_{3}:=-{\frac {1}{2}}\int _{0}^{1}\int _{0}^{1}{\frac {P_{n}(x)P_{n}(y)\log(xy)}{1-xy}}\,dx\,dy=b_{n}\zeta (3)-a_{n},$

onde $|I|\leq \zeta (3)(1-{\sqrt {2}})^{4n}$, $P_{n}(z)$ son os polinomios de Legendre e as subsecuencias $b_{n},2\operatorname {lcm} (1,2,\ldots ,n)\cdot a_{n}\in \mathbb {Z}$ son enteiros ou case enteiros.

Moita xente tentou estender a demostración de Apéry de que ζ(3) é irracional a outros valores da función zeta de Riemann con argumentos impares. Aínda que ata agora isto non deu ningún resultado sobre números específicos, sábese que infinitas das constantes zeta impares ζ(2n + 1) son irracionais. En particular, polo menos un de entre ζ(5), ζ(7), ζ(9) e ζ(11) debe ser irracional.

Representacións en series

Clásica

A maiores da serie fundamental:

$\zeta (3)=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{k^{3}}},$

Leonhard Euler deu a representación en serie:

$\zeta (3)={\frac {\pi ^{2}}{7}}\left(1-4\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {\zeta (2k)}{2^{2k}(2k+1)(2k+2)}}\right)$

en 1772, que posteriormente foi redescuberta varias veces.

Converxencia rápida

A seguinte representación da serie foi atopada por A. A. Markov en 1890, redescuberta por Hjortnaes en 1953, e redescuberta unha vez máis e amplamente anunciada por Apéry en 1979:

$\zeta (3)={\frac {5}{2}}\sum _{k=1}^{\infty }(-1)^{k-1}{\frac {k!^{2}}{(2k)!k^{3}}}.$

A seguinte representación en serie dá (asintoticamente) 5,04 novas cifras decimais correctas por termo:

$\zeta (3)={\frac {1}{24}}\sum _{k=0}^{\infty }(-1)^{k}{\frac {(2k+1)!^{3}(2k)!^{3}k!^{3}(126392k^{5}+412708k^{4}+531578k^{3}+336367k^{2}+104000k+12463)}{(3k+2)!(4k+3)!^{3}}}.$

Utilizouse para calcular a constante de Apéry con varios millóns de cifras decimais correctas.

Ramanujan atopou a seguinte representación da serie :

$\zeta (3)={\frac {7}{180}}\pi ^{3}-2\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {1}{k^{3}(e^{2\pi k}-1)}}.$

Representacións con integrais

Fórmulas sinxelas

A seguinte fórmula segue directamente da definición integral da función zeta:

$\zeta (3)={\frac {1}{2}}\int _{0}^{\infty }{\frac {x^{2}}{e^{x}-1}}\,dx$

Unha conexión coas derivadas da función gamma

$\zeta (3)=-{\tfrac {1}{2}}(\Gamma '''(1)+\gamma ^{3}+{\tfrac {1}{2}}\pi ^{2}\gamma )=-{\tfrac {1}{2}}\psi ^{(2)}(1)$

tamén é moi útil para a dedución de varias representacións integrais a través das fórmulas integrais coñecidas para as funcións gamma e poligamma.

Fracción continua

A constante de Apéry está relacionada coa seguinte fracción continua:

${\frac {6}{\zeta (3)}}=5-{\cfrac {1}{117-{\cfrac {64}{535-{\cfrac {729}{1436-{\cfrac {4096}{3105-{\cfrac {15625}{\dots }}}}}}}}}}$

con $a_{n}=34n^{3}+51n^{2}+27n+5$ e $b_{n}=-n^{6}$ .

A súa fracción continua simple vén dada por:

$\zeta (3)=1+{\cfrac {1}{4+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{18+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{\dots }}}}}}}}}}}}$

Díxitos coñecidos

O número de díxitos coñecidos da constante ζ(3) de Apéry aumentou drasticamente durante as últimas décadas, e agora sitúase en máis de $2\cdot 10^{12}$. Isto débese tanto ao aumento do rendemento dos ordenadores como ás melloras algorítmicas.

Número de díxitos decimais coñecidos da constante de Apéry ζ(3)

Data	Díxitos decimais	Cálculo realizado por
1735	16	Leonhard Euler
Unknown	16	Adrien-Marie Legendre
1887	32	Thomas Joannes Stieltjes
1996	520000	Greg J. Fee & Simon Plouffe
26 de xullo de 2020	1200000000100	Seungmin Kim
22 de decembro de 2023	2020569031595	Andrew Sun

Véxase tamén

Bibliografía

• Apéry, Roger (1979). "Irrationalité de zeta(2) et zeta(3)". Astérisque 61: 11–13. .
• Markov, A. A. (1890). "Mémoire sur la transformation des séries peu convergentes en séries très convergentes". Mémoires de l'Académie impériale des sciences de St.-Pétersbourg 37 (9): 18pp. .
• Srivastava, H. M. (decembro 2000). "Some Families of Rapidly Convergent Series Representations for the Zeta Functions" (PDF). Taiwanese Journal of Mathematics 4 (4): 569–599. OCLC 36978119. doi:10.11650/twjm/1500407293. Arquivado dende o orixinal (PDF) o 11 de agosto de 2017. Consultado o 2015-08-22. .
• van der Poorten, Alfred (1979). "A proof that Euler missed ... Apéry's proof of the irrationality of zeta(3)" (PDF). The Mathematical Intelligencer 1 (4): 195–203. doi:10.1007/BF03028234. Arquivado dende o orixinal (PDF) o 2011-07-06. .
• Wedeniwski, Sebastian (13 decembro 1998). "The Value of Zeta(3) to 1,000,000 places".  (Message to Simon Plouffe, with original text but only some decimal places).

• Yee, Alexander J. (2017). "Zeta(3) - Apéry's Constant". 

• Nag, Dipanjan (2015). "Calculated Apéry's constant to 400,000,000,000 Digit, A world record". Dipanjan. Arquivado dende o orixinal o 01 de decembro de 2017. Consultado o 24 de xaneiro de 2025. 
• Zudilin, Wadim (2001). "One of the numbers zeta(5), zeta(7) , zeta(9), zeta(11) is irrational". Russian Mathematical Surveys 56 (4): 774–776. Bibcode:2001RuMaS..56..774Z. doi:10.1070/RM2001v056n04ABEH000427. .
• Zudilin, Wadim (2002), "An elementary proof of Apéry's theorem", arXiv:math/0202159 

.

Outros artigos

• Función zeta de Riemann.
• Medida da irracionalidade.

Ligazóns externas

• Weisstein, Eric W., "Apéry's constant", MathWorld 
• Plouffe, Simon. Zeta(3) or Apéry constant to 2000 places. Arquivado dende o orixinal o 2008-02-05. Consultado o 2005-07-29. 
• Setti, Robert J. (2015). Apéry's Constant - Zeta(3) - 200 Billion Digits. Arquivado dende o orixinal o 2013-10-08. .