Circunferencia goniométrica

A circunferencia goniométrica e o triángulo rectángulo asociado.

A circunferencia goniométrica, trigonométrica, unitaria, é unha circunferencia de raio $1$, normalmente co seu centro na orixe $(0,0)$ dun sistema de coordenadas, dun plano euclidiano ou complexo. Devandita circunferencia utilízase co fin de poder estudar facilmente as razóns trigonométricas e funcións trigonométricas, mediante a representación de triángulos rectángulos auxiliares.

Se $(x,y)$ é un punto da circunferencia unidade do primeiro cuadrante, entón x e y son as lonxitudes dos catetos dun triángulo rectángulo cuxa hipotenusa ten lonxitude $1$. Aplicando o Teorema de Pitágoras, $a$ e $b$ satisfán a seguinte ecuación: $x^{2}+y^{2}=1=raio=hipotenusa$.

Funcións trigonométricas na circunferencia unitaria

Se $(x,y)$ é un punto da circunferencia unidade, e o raio que ten a orixe en $(0,0)$ forma un ángulo $\alpha \,$ co eixo $X$, as principais funcións trigonométricas pódense representar como razón de segmentos asociados a triángulos rectángulos auxiliares, da seguinte maneira:

O seno é a razón entre o cateto oposto ($a$) e a hipotenusa ($c$)

$\sin(\alpha )={\frac {a}{c}}$

e dado que a hipotenusa é igual ao raio, que ten valor $1$, dedúcese:

$\sin(\alpha )=a\,$

O coseno é a razón entre o cateto adxacente ($b$) e a hipotenusa ($c$)

$\cos(\alpha )={\frac {b}{c}}$

e como a hipotenusa ten valor $1$, dedúcese:

$\cos(\alpha )=b\,$

A tanxente é a razón entre o cateto oposto e o adxacente

$\tan(\alpha )={\frac {a}{b}}$

Principais valores das razóns trigonométricas representados como segmentos respecto da circunferencia goniométrica.

Valores dos ángulos máis comúns e as coordenadas correspondentes sobre a circunferencia goniométrica.

Por semellanza de triángulos:${\frac {AE}{AC}}={\frac {OA}{OC}}$ e como $OA=1,$ dedúcese que $AE={\frac {AC}{OC}}$ e, por tanto, $\tan(\alpha )={\overline {AE}}\,$.

Funcións trigonométricas recíprocas

A cosecante, a secante e a cotanxente, son as razóns trigonométricas recíprocas do seno, coseno e tanxente:

$\csc(\alpha )={\frac {1}{\sin(\alpha )}}={\overline {OF}}$

$\sec(\alpha )={\frac {1}{\cos(\alpha )}}={\overline {OE}}$

$\cot(\alpha )={\frac {1}{\tan(\alpha )}}={\overline {AF}}$

Os valores da cotanxente, a secante e a cosecante obtéñense, analogamente, mediante semellanza de triángulos.

Topoloxía

En topoloxía, a circunferencia unitaria (tamén denominada disco unidade) clasifícase como $S^{1}$; a xeneralización para unha dimensión máis é a esfera unidade $S^{2}$.

Grupo circular

Os números complexos pódense identificar con puntos do plano euclidiano, é dicir, o número $a+bi$ identifícase co punto $(a,b)$. Baixo esta identificación, a circunferencia goniométrica trátase dun grupo coa operación de multiplicación, denominado grupo circular e usualmente denotado como 𝕋. Este grupo ten aplicacións moi importantes nas matemáticas e na ciencia.

Véxase tamén

Outros artigos

• Medida de ángulos
• Razóns trigonométricas