Cardinalidade do continuo

Cardinalidade do continuo
Instancia de	número cardinal e ℶ
Estudado por	teoría de conxuntos
Parte de	ℶ
Semellante a	aleph um (pt)
	Fórmula ;
	Referido na fórmula como (ℶ); (número aleph); (cardinalidade do continuo); (cardinalidade); (Continuo) ; ;
	[ Wikidata ]

Na teoría de conxuntos, a cardinalidade do continuo é a cardinalidade ou "tamaño" do conxunto dos números reais $\mathbb {R}$ , ás veces chamado continuo. É un número cardinal infinito denotado por ${\mathbf {\mathfrak {c}}}$ (en minúscula Fraktur "c") ou ${\mathbf {|}}{\mathbf {\mathbb {R} }}{\mathbf {|}}$ .^[1]

Os números reais $\mathbb {R}$ son máis numerosos que os números naturais $\mathbb {N}$ . Alén disto, $\mathbb {R}$ ten o mesmo número de elementos que o conxunto de partes de $\mathbb {N}$ . Simbólicamente, se a cardinalidade de $\mathbb {N}$ se denota como $\aleph _{0}$ , a cardinalidade do continuo é

{\mathfrak {c}}=2^{\aleph _{0}}>\aleph _{0}.

Isto foi demostrado por Georg Cantor na súa proba de non numerabilidade de 1874, parte do seu estudo innovador de diferentes infinitos. A desigualdade foi máis tarde afirmada de xeito máis sinxelo no seu argumento diagonal en 1891. Cantor definiu a cardinalidade en termos de funcións bixectivas: dous conxuntos teñen a mesma cardinalidade se, e só se, existe unha función bixectiva entre eles.

Entre dous números reais calquera a < b, por moi próximos que estean entre si, sempre hai infinitos outros números reais, e Cantor demostrou que son tantos como os contidos en todo o conxunto de números reais. Noutras palabras, o intervalo aberto (a, b) é equipotente con $\mathbb {R}$ , así como con varios outros conxuntos infinitos, como calquera espazo euclidiano n-dimensional $\mathbb {R} ^{n}$ (ver curva de recheo do espazo). É dicir,

|(a,b)|=|\mathbb {R} |=|\mathbb {R} ^{n}|.

O menor número cardinal infinito é $\aleph _{0}$ (aleph-cero). O segundo máis pequeno é $\aleph _{1}$ (aleph-un). A hipótese do continuo, que afirma que non hai conxuntos cuxa cardinalidade estea estritamente entre $\aleph _{0}$ e ${\mathfrak {c}}$ , quere dicir que ${\mathfrak {c}}=\aleph _{1}$ .^[2] A verdade ou a falsidade desta hipótese é indecidíbel e non se pode probar dentro da amplamente usada teoría de conxuntos de Zermelo-Fraenkel con axioma de escolla (ZFC).

Propiedades

Non numerabilidade

Georg Cantor introduciu o concepto de cardinalidade para comparar os tamaños de conxuntos infinitos. Mostrou que o conxunto de números reais é non numerabelmente infinito. É dicir, ${\mathfrak {c}}$ é estritamente maior que a cardinalidade dos números naturais, $\aleph _{0}$ :

\aleph _{0}<{\mathfrak {c}}.

Igualdades cardinais

Pódese usar unha variación do argumento diagonal de Cantor para demostrar o teorema de Cantor, que afirma que a cardinalidade de calquera conxunto é estritamente menor que a do seu conxunto de partes. É dicir, $|A|<2^{|A|}$ .^[3]

A igualdade cardinal ${\mathfrak {c}}^{2}={\mathfrak {c}}$ pódese demostrar mediante a aritmética cardinal:

{\mathfrak {c}}^{2}=(2^{\aleph _{0}})^{2}=2^{2\times {\aleph _{0}}}=2^{\aleph _{0}}={\mathfrak {c}}.

Usando as regras da aritmética cardinal, tamén se pode demostrar

{\mathfrak {c}}^{\aleph _{0}}={\aleph _{0}}^{\aleph _{0}}=n^{\aleph _{0}}={\mathfrak {c}}^{n}=\aleph _{0}{\mathfrak {c}}=n{\mathfrak {c}}={\mathfrak {c}}

onde n é calquera cardinal finito ≥ 2 e

{\mathfrak {c}}^{\mathfrak {c}}=(2^{\aleph _{0}})^{\mathfrak {c}}=2^{{\mathfrak {c}}\times \aleph _{0}}=2^{\mathfrak {c}}

onde $2^{\mathfrak {c}}$ é a cardinalidade do conxunto de partes de R, e $2^{\mathfrak {c}}>{\mathfrak {c}}$ .

Números beth

Artigos principais: número aleph e número beth.

A secuencia dos números beth defínese pola configuración $\beth _{0}=\aleph _{0}$ e $\beth _{k+1}=2^{\beth _{k}}$ . Logo ${\mathfrak {c}}$ é o segundo número beth, beth-un:

{\mathfrak {c}}=\beth _{1}.

O terceiro número beth, beth-dous, é a cardinalidade do conxunto de partes de $\mathbb {R}$ (é dicir, o conxunto de todos os subconxuntos da recta real):

2^{\mathfrak {c}}=\beth _{2}.

A hipótese do continuo

Artigo principal: hipótese do continuo.

A hipótese do continuo afirma que ${\mathfrak {c}}$ tamén é o segundo número aleph, $\aleph _{1}$ .^[2] Noutras palabras, a hipótese do continuo afirma que non hai conxunto $A$ cuxa cardinalidade se sitúe estritamente entre $\aleph _{0}$ e ${\mathfrak {c}}$

\nexists A\quad :\quad \aleph _{0}<|A|<{\mathfrak {c}}.

Conxuntos con cardinalidade do continuo

Un gran número de conxuntos estudados en matemáticas teñen cardinalidade igual a ${\mathfrak {c}}$ . Algúns exemplos comúns son os seguintes:

os números reais $\mathbb {R}$
calquera intervalo pechado ou aberto non dexenerado de $\mathbb {R}$ (como o intervalo unitario $[0,1]$ )
os números irracionais
os números transcendentais
o conxunto de Cantor
o Espazo euclidiano $\mathbb {R} ^{n}$ ^[4]
os números complexoss $\mathbb {C}$
o conxunto potencia dos números naturais ${\mathcal {P}}(\mathbb {N} )$ (o conxunto de todos os subconxuntos dos números naturais)
o conxunto de sucesións de enteiros (é dicir, todas as funcións $\mathbb {N} \rightarrow \mathbb {Z}$ , moitas veces denotadas $\mathbb {Z} ^{\mathbb {N} }$ )
o conxunto de sucesións de números reais, $\mathbb {R} ^{\mathbb {N} }$
o conxunto de todas as funcións continuas dende $\mathbb {R}$ ata $\mathbb {R}$
a topoloxía euclidiana en $\mathbb {R} ^{n}$ (é dicir, o conxunto de todos os conxuntos abertos en $\mathbb {R} ^{n}$ )
a álxebra σ de Borel en $\mathbb {R}$ (é dicir, o conxunto de todos os conxuntos de Borel en $\mathbb {R}$ ).

Conxuntos con maior cardinalidade

Conxuntos con cardinalidade maior que ${\mathfrak {c}}$ inclúen:

o conxunto de todos os subconxuntos de $\mathbb {R}$ (é dicir, o conxunto de partes ${\mathcal {P}}(\mathbb {R} )$ )
o conxunto 2^R de funcións indicadoras definidas en subconxuntos dos reais (o conxunto $2^{\mathbb {R} }$ é isomorfo a ${\mathcal {P}}(\mathbb {R} )$ , a función indicadora escolle elementos de cada subconxunto)
o conxunto $\mathbb {R} ^{\mathbb {R} }$ de todas as funcións de $\mathbb {R}$ a $\mathbb {R}$
a σ-álxebra de Lebesgue $\mathbb {R}$ , é dicir, o conxunto de todos os conxuntos medíbeis de Lebesgue en $\mathbb {R}$ .
o conxunto de todas as funcións integrábeis de Lebesgue de $\mathbb {R}$ a $\mathbb {R}$
o conxunto de todas as funcións medíbeis de Lebesgue de $\mathbb {R}$ a $\mathbb {R}$
as compactacións de Stone-Čech de $\mathbb {N}$ , $\mathbb {Q}$ , e $\mathbb {R}$
o conxunto de todos os automorfismos do corpo (discreto) dos números complexos.

Notas

↑ "Transfinite number | mathematics". Encyclopedia Britannica. Consultado o 2020-08-12.
↑ ^2,0 ^2,1 "Continuum". mathworld.wolfram.com.
↑ "Cantor theorem". Encyclopedia of Mathematics. EMS Press. 2001 [1994].
↑ Was Cantor Surprised?, Fernando Q. Gouvea, Marchêa, Montematical 2011.

Véxase tamén

Bibliografía

Paul Halmos, Naive set theory. Princeton, NJ: D. Van Nostrand Company, 1960. Reprinted by Springer-Verlag, New York, 1974. ISBN 0-387-90092-6 (Springer-Verlag edition).
Jech, Thomas, 2003. Set Theory: The Third Millennium Edition, Revised and Expanded. Springer. ISBN 3-540-44085-2.
Kunen, Kenneth, 1980. Set Theory: An Introduction to Independence Proofs. Elsevier. ISBN 0-444-86839-9.

Outros artigos

Ligazóns externas

"cardinality of the continuum".

[1] "Transfinite number | mathematics". Encyclopedia Britannica. Consultado o 2020-08-12.

[:0-2] 2,0 ^2,1 "Continuum". mathworld.wolfram.com.

[3] "Cantor theorem". Encyclopedia of Mathematics. EMS Press. 2001 [1994].

[Gouvea-4] Was Cantor Surprised?, Fernando Q. Gouvea, Marchêa, Montematical 2011.

[1]

[2]

[3]

[4]