Cambio de variábel

En matemáticas, un cambio de variábeis é unha técnica básica usada para simplificar problemas no cal as variábeis orixinais son substituídas con funcións doutras variábeis. A intención é que cando se expresa en variábeis novas, o problema pode chegar a ser máis sinxelo ou equivalente a un problema que se entende mellor.

Exemplo

Un exemplo moi sinxelo dun cambio de variábel útil pode verse no problema de atopar as raíces do polinomio de sexto grao:

$x^{6}-9x^{3}+8=0.$

As ecuacións polinómicas de sexto grao son imposíbeis de solucionar xeralmente en termos de radicais (ver o teorema de Abel-Ruffini). Esta ecuación particular, con todo, pode ser escrita

$(x^{3})^{2}-9(x^{3})+8=0$.

Por isto a ecuación pode ser simplificada definindo unha variábel nova $u=x^{3}$ e substituíndo no polinomio queda

$u^{2}-9u+8=0,$

que é só unha ecuación cadrática coas dúas solucións:

$u=1\quad {\text{e}}\quad u=8.$

As solucións en termos da variábel orixinal son obtidas ao substituír $x^{3}$ por u, o cal dá

$x^{3}=1\quad {\text{e}}\quad x^{3}=8.$

Entón, supondo que temos interese só en solucións reais, as solucións da ecuación orixinal son

$x=(1)^{1/3}=1\quad {\text{e}}\quad x=(8)^{1/3}=2.$

Diferenciación

Artigo principal: Regra da cadea.

A regra da cadea úsase para simplificar unha diferenciación complicada. Por exemplo, considere o problema de calcular a derivada

${\frac {d}{dx}}\sin(x^{2}).$

Sexa $y=\sin u$ con $u=x^{2}.$ Logo:

${\begin{aligned}{\frac {d}{dx}}\sin(x^{2})&={\frac {dy}{dx}}\\[6pt]&={\frac {dy}{du}}{\frac {du}{dx}}\quad {\text{ (Esta parte é a regra da cadea)}}\\&=\left({\frac {d}{du}}\sin u\right)\left({\frac {d}{dx}}x^{2}\right)\\[6pt]&=(\cos u)(2x)\\&=\left(\cos(x^{2})\right)(2x)\\&=2x\cos(x^{2}).\end{aligned}}$

Integración

Artigo principal: Integración por substitución.

As integrais difíciles poden avaliarse a miúdo cambiando as variábeis; isto permítese coa regra de substitución sendo análoga ao uso da regra da cadea da diferenciación. As integrais difíciles tamén poden resolverse simplificando a integral usando un cambio de variábeis dado pola matriz e determinante jacobianos correspondentes. Por exemplo, a función tanxente pódese integrar mediante a substitución expresándoa en termos de seno e coseno: $\tan x={\tfrac {\sin x}{\cos x}}$ .

Usando a substitución $u=\cos x$ dá $du=-\sin x\,dx$ e

${\begin{aligned}\int \tan x\,dx&=\int {\frac {\sin x}{\cos x}}\,dx\\&=\int -{\frac {du}{u}}\\&=-\ln \left|u\right|+C\\&=-\ln \left|\cos x\right|+C\\&=\ln \left|\sec x\right|+C.\end{aligned}}$