Cálculo multivariábel

Na Galipedia, a Wikipedia en galego.
Saltar ata a navegación Saltar á procura

O cálculo multivariábel (ou cálculo en varias variábeis) é máis a extensión do cálculo infinitesimal a funcións escalares e vectoriais de varias variábeis.[1]

Campo escalar con dúas variábeis

Cálculo diferencial en campos escalares e vectoriais[editar | editar a fonte]

Funcións de Rn en Rm. Campos escalares e vectoriales[editar | editar a fonte]

Formularanse as definicións para campos vectoriais, que tamén son válidas para campos escalares. Sexa

un campo vectorial que fai corresponder a todo punto P definido biunivocamente polo seu vector posición un vector onde o punto O é a orixe de coordenadas.

con e . Cando tense un campo escalar. Para tense un campo vectorial. Utilizarase a norma euclidiana para achar a magnitude dos vectores.

Límites e continuidade[editar | editar a fonte]

Sexan e . Escríbese:

,
ou ben,
cando
para expresar o seguinte:

onde é a norma euclidiana de . Expresándoo en función das compoñentes de

ou, de forma equivalente,

Dise que unha función é continua en
Teorema:
a)
b)
c)
(produto escalar de con ).
d)
Teorema: Sexan e dúas funcións tales que a función composta está definida en , sendo
é continua en e é continua en é continua en .

Derivadas direccionais[editar | editar a fonte]

Derivada dun campo escalar respecto dun vector[editar | editar a fonte]

Derivada vectorial2.PNG

Sexa . Sexa un vector con orixe na orixe de coordenadas e con extremo e un vector arbitrario de . Defínese a derivada de f en respecto a como

Derivadas parciais[editar | editar a fonte]

Se se deriva a expresión anterior respecto dunha segunda variábel, , tense . Na práctica, calcularase derivando respecto a e supondo constante.

A diferencial[editar | editar a fonte]

Definición de campo escalar diferenciábel[editar | editar a fonte]

Dise que f é diferenciábel en

.
ten que ser unha aplicación linear, que se define como a diferencial de f en a.

A anterior ecuación é a fórmula de Taylor de primeira orde para .

Teorema de unicidade da diferencial[editar | editar a fonte]

é diferenciábel en con diferencial

a)
b)

Regra da cadea[editar | editar a fonte]

Sexa un campo escalar e . Defínese a función composta como , entón

Diferencial dun campo vectorial[editar | editar a fonte]

Sexa un campo vectorial. Sexa e un vector calquera. Defínese a derivada

}}

Expresando en función das súas compoñentes, tense

Dise que é diferenciábel , aplicación linear que verifica:

.}}
Esta é a fórmula de Taylor de primeira orde para .

A matriz de é a súa matriz jacobiana.

Diferenciabilidade implica continuidade[editar | editar a fonte]

Se un campo vectorial é diferenciábel en é continuo en . Dedúcese facilmente da fórmula de Taylor de primeira orde xa vista.

Regra da cadea para diferenciais de campos vectoriais[editar | editar a fonte]

Sexa un campo vectorial definido e diferenciábel en . A súa diferencial é

}}

Condición suficiente para a igualdade das derivadas parciais mixtas[editar | editar a fonte]

ambas as derivadas parciais existen e son continuas en .

Aplicacións do cálculo diferencial[editar | editar a fonte]

Cálculo de máximos, mínimos e puntos de sela para campos escalares[editar | editar a fonte]

Función cun punto de sela

Defínense os seguintes conceptos:

  • Un campo escalar ten un máximo en existe unha n-bola
  • Un campo escalar ten un mínimo en existe unha n-bola
  • Un campo escalar ten un punto de sela

Para saber se é un dos casos anteriores:

  1. Obtense
  2. Obtense a matriz hessiana de f. Sexa esta .
    1. é definida positiva ten un mínimo relativo en .
    2. é definida negativa ten un máximo relativo en .
    3. é indefinida ten un punto de sela en .

No anterior supúxose que é continua

Notas[editar | editar a fonte]

  1. Richard Courant; Fritz John (14 December 1999). Introduction to Calculus and Analysis Volume II/2. Springer Science & Business Media. ISBN 978-3-540-66570-0. 

Véxase tamén[editar | editar a fonte]

Bibliografía[editar | editar a fonte]

Ligazóns externas[editar | editar a fonte]