Automorfismo interno

Automorfismo interno
Subclase de	automorfismo, automorfismo de grupos (pt) e elemento
Oposto a	automorfismo externo (pt)
Dual de	automorfismo externo (pt)
Ligazóns
MathWorld	InnerAutomorphism
OpenAlex	C124453015
	[ Wikidata ]

En álxebra abstracta, un automorfismo interno é un automorfismo dun grupo, anel ou álxebra dado pola acción de conxugación dun elemento fixo, chamado elemento conxugado. Pódense realizar mediante operacións desde o propio grupo, de aí o adxectivo "interno". Estes automorfismos internos forman un subgrupo do grupo de automorfismos, e o cociente do grupo de automorfismos por este subgrupo defínese como o grupo de automorfismos externos.

Definición

Se $G$ é un gruop e $g$ é un elemento de $G$ (alternativamente, se $G$ é un anel, e $g$ é unha unidade), entón a función

{\begin{aligned}\varphi _{g}\colon G&\to G\\\varphi _{g}(x)&:=g^{-1}xg\end{aligned}}

chámase conxugación por $g$ (pola derita) (ver tamén clase de conxugación). Esta función é un endomorfismo de $G$ : para todos $x_{1},x_{2}\in G,$

\varphi _{g}(x_{1}x_{2})=g^{-1}x_{1}x_{2}g=g^{-1}x_{1}\left(gg^{-1}\right)x_{2}g=\left(g^{-1}x_{1}g\right)\left(g^{-1}x_{2}g\right)=\varphi _{g}(x_{1})\varphi _{g}(x_{2}),

onde a segunda igualdade vén dada pola inserción da identidade entre $x_{1}$ e $x_{2}.$ Alén diso, ten unha inversa pola esquerda e pola dereita, a saber $\varphi _{g^{-1}}.$ Así, $\varphi _{g}$ é tanto un monomorfismo como un epimorfismo, polo que é un isomorfismo de $G$ consigo mesmo, é dicir, un automorfismo. Un automorfismo interno é calquera automorfismo que xorde da conxugación.^[1]

Cando se fala da conxugación pola dereita, a expresión $g^{-1}xg$ adoita denotarse exponencialmente por $x^{g}.$ Esta notación úsase porque a composición das conxugacións satisfai a identidade: $\left(x^{g_{1}}\right)^{g_{2}}=x^{g_{1}g_{2}}$ para tódolos $g_{1},g_{2}\in G.$ Isto mostra que a conxugación pola dereita dá unha acción pola dereita de $G$ sobre si mesmo.

Un exemplo común é o seguinte:^[2]^[3]

Descríbese un homomorfismo $\Phi$ para o que a imaxe, ${\text{Im}}(\Phi )$ , é un subgrupo normal de automorfismos internos dun grupo $G$ ; alternativamente, descríbese un homomorfismo natural do que o núcleo de $\Phi$ é o centro de $G$ (todos os $g\in G$ para os que conxugando por eles devolve o automorfismo trivial), noutras palabras, ${\text{Ker}}(\Phi )={\text{Z}}(G)$ . Sempre hai un homomorfismo natural $\Phi :G\to {\text{Aut}}(G)$ , que asocia a cada $g\in G$ un automorfismo (interno) $\varphi _{g}$ en ${\text{Aut}}(G)$ . Poñamos de xeito idéntico, $\Phi :g\mapsto \varphi _{g}$ .

Sexa $\varphi _{g}(x):=gxg^{-1}$ como se definiu anteriormente. Isto require demostrar que

(1) $\varphi _{g}$ é un homomorfismo,

(2) $\varphi _{g}$ tamén é unha bixección,

(3) $\Phi$ é un homomorfismo.

$\varphi _{g}(xx')=gxx'g^{-1}=gx(g^{-1}g)x'g^{-1}=(gxg^{-1})(gx'g^{-1})=\varphi _{g}(x)\varphi _{g}(x')$
A condición de bixectividade pódese verificar simplemente presentando unha inversa coa que podemos volver a $x$ dende $gxg^{-1}$ . Neste caso é a conxugación por $g^{-1}$ denotado como $\varphi _{g^{-1}}$ .
$\Phi (gg')(x)=(gg')x(gg')^{-1}$ e $\Phi (g)\circ \Phi (g')(x)=\Phi (g)\circ (g'hg'^{-1})=gg'hg'^{-1}g^{-1}=(gg')h(gg')^{-1}$

Grupos de automorfismos internos e externos

A composición de dous automorfismos internos é de novo un automorfismo interno, e con esta operación, a colección de todos os automorfismos internos de $G$ é un grupo, o grupo de automorfismos interno de $G$ denotado $Inn(G)$ .

$Inn(G)$ é un subgrupo normal do grupo de automorfismos completo $Aut(G)$ de $G$ . O grupo de automorfismos externo, é o grupo cociente

\operatorname {Out} (G)=\operatorname {Aut} (G)/\operatorname {Inn} (G).

O grupo de automorfismos externos mide, en certo sentido, cantos automorfismos de $G$ non son internos. Todo automorfismo non interno produce un elemento non trivial de $Out(G)$ , pero diferentes automorfismos non internos poden producir o mesmo elemento de $Out(G)$ .

Dicir que a conxugación de $x$ por $a$ deixa $x$ sen cambios equivale a dicir que $a$ e $x$ conmutan:

a^{-1}xa=x\iff xa=ax.

Polo tanto, a existencia e o número de automorfismos internos que non son o mapa de identidade é unha especie de medida do fallo da lei conmutativa no grupo (ou anel).

Ao asociar o elemento $a \in G$ co automorfismo interno $f (x) = x a$ en $Inn(G)$ como anteriormente, obtense un isomorfismo entre o grupo cociente $G / Z(G)$ (onde $Z(G)$ é o centro de $G$ ) e o grupo de automorfismos internos:

G\,/\,\mathrm {Z} (G)\cong \operatorname {Inn} (G).

Esta é unha consecuencia do primeiro teorema de isomorfismo, porque $Z(G)$ é precisamente o conxunto daqueles elementos de $G$ que dan a correspondencia de identidade como automorfismo interno correspondente (a conxugación non muda nada).

Notas

↑ Dummit, David S.; Foote, Richard M. (2004). Abstract algebra (3rd ed.). Hoboken, NJ: Wiley. p. 45. ISBN 978-0-4714-5234-8. OCLC 248917264.
↑ Grillet, Pierre (2010). Abstract Algebra (2nd ed.). New York: Springer. p. 56. ISBN 978-1-4419-2450-6.
↑ Lang, Serge (2002). Algebra (3rd ed.). New York: Springer-Verlag. p. 26. ISBN 978-0-387-95385-4.

Véxase tamén

Bibliografía

Abdollahi, A. (2010). Powerful p-groups have non-inner automorphisms of order p and some cohomology. J. Algebra 323. pp. 779–789. MR 2574864. arXiv:0901.3182. doi:10.1016/j.jalgebra.2009.10.013.
Abdollahi, A. (2007). Finite p-groups of class 2 have noninner automorphisms of order p. J. Algebra 312. pp. 876–879. MR 2333188. arXiv:math/0608581. doi:10.1016/j.jalgebra.2006.08.036.
Deaconescu, M.; Silberberg, G. (2002). Noninner automorphisms of order p of finite p-groups. J. Algebra 250. pp. 283–287. MR 1898386. doi:10.1006/jabr.2001.9093.
Gaschütz, W. (1966). Nichtabelsche p-Gruppen besitzen äussere p-Automorphismen. J. Algebra 4. pp. 1–2. MR 0193144. doi:10.1016/0021-8693(66)90045-7.
Liebeck, H. (1965). Outer automorphisms in nilpotent p-groups of class 2. J. London Math. Soc. 40. pp. 268–275. MR 0173708. doi:10.1112/jlms/s1-40.1.268.

Outros artigos

Ligazóns externas

Remeslennikov, V.N. (2001) [1994]. "Inner automorphism". Encyclopedia of Mathematics. EMS Press.
Weisstein, Eric W. "Inner Automorphism". MathWorld.

[1] Dummit, David S.; Foote, Richard M. (2004). Abstract algebra (3rd ed.). Hoboken, NJ: Wiley. p. 45. ISBN 978-0-4714-5234-8. OCLC 248917264.

[2] Grillet, Pierre (2010). Abstract Algebra (2nd ed.). New York: Springer. p. 56. ISBN 978-1-4419-2450-6.

[3] Lang, Serge (2002). Algebra (3rd ed.). New York: Springer-Verlag. p. 26. ISBN 978-0-387-95385-4.

[1]

[2]

[3]