Anel de polinomios

En matemáticas, no campo da álxebra, un anel de polinomios ou álxebra de polinomios ou anel polinómico, é un anel formado no conxunto de polinomios en un ou máis indeterminados (tamén chamados variábeis) con coeficientes en outro anel, a miúdo outro corpo.^[1]

A miúdo, o termo "anel polinómico" refírese implícitamente ao caso especial dun anel polinómico dunha variábel sobre un corpo. A importancia destes aneis polinómicos depende do elevado número de propiedades que teñen en común co anel dos enteiros.^[2]

Unha noción relacionada é a do anel de funcións polinómicas nun espazo vectorial, e, máis xeralmente do anel de funcións regulares nunha variedade alxébrica.^[2]

Definición (caso univariado)

Sexa $K$ un corpo ou (máis xeralmente) un anel conmutativo.

O anel polinómico en $X$ sobre $K$ , que se denota $K [X]$ , pódese definir de varias maneiras equivalentes. Unha delas é definir $K [X]$ como o conxunto de expresións, chamadas polinomios en $X$ , da forma ^[3]

p=p_{0}+p_{1}X+p_{2}X^{2}+\cdots +p_{m-1}X^{m-1}+p_{m}X^{m},

onde $p 0, p 1, \dots, p m$ , os coeficientes de $p$ , son elementos de $K$ , $p m \neq 0$ se $m > 0$ , e $X, X 2, \dots,$ son símbolos, que se consideran "potencias" de $X$ , e seguen as regras habituais de exponenciación: $X 0 = 1$ , $X 1 = X$ , ... e $X^{k}X^{l}=X^{k+l}$ para calquera números enteiros non negativos $k$ e $l$ .

O símbolo $X$ chámase indeterminado ou variábel.^[4] (O termo de "variábel" provén da terminoloxía das funcións polinómicas. No entanto, aquí, $X$ non ten ningún valor, á parte de si mesmo, e non pode variar, sendo unha constante no anel polinómico).

Dous polinomios son iguais cando os coeficientes correspondentes de cada $X k$ son iguais.

O anel polinómico en $X$ sobre $K$ está equipado cunha suma, unha multiplicación e unha multiplicación escalar que o converten nunha álxebra conmutativa. Estas operacións defínense segundo as regras ordinarias de manipulación de expresións alxébricas. En concreto, se temos

p=p_{0}+p_{1}X+p_{2}X^{2}+\cdots +p_{m}X^{m},

q=q_{0}+q_{1}X+q_{2}X^{2}+\cdots +q_{n}X^{n},

entón

p+q=r_{0}+r_{1}X+r_{2}X^{2}+\cdots +r_{k}X^{k},

pq=s_{0}+s_{1}X+s_{2}X^{2}+\cdots +s_{l}X^{l},

onde $k = max(m, n), l = m + n$ ,

r_{i}=p_{i}+q_{i},

s_{i}=p_{0}q_{i}+p_{1}q_{i-1}+\cdots +p_{i}q_{0}.

(Ver convolución discreta).

Nestas fórmulas, os polinomios $p$ e $q$ esténdense engadindo "termos ficticios" con coeficientes cero, de xeito que se definen todos os $p i$ e $q i$ que aparecen nas fórmulas. En concreto, se $m < n$ , entón $p i = 0$ para $m < i \leq n$ .

A multiplicación escalar é o caso especial da multiplicación onde $p = p 0$ se reduce ao seu termo constante (o termo que é independente de $X$ ); é dicir

p_{0}\left(q_{0}+q_{1}X+\dots +q_{n}X^{n}\right)=p_{0}q_{0}+\left(p_{0}q_{1}\right)X+\cdots +\left(p_{0}q_{n}\right)X^{n}

É directo verificar que estas tres operacións satisfán os axiomas dunha álxebra conmutativa sobre $K$ . Polo tanto, os aneis polinómicos tamén se denominan álxebras polinómicas.

Terminoloxía

Sexa

p=p_{0}+p_{1}X+p_{2}X^{2}+\cdots +p_{m-1}X^{m-1}+p_{m}X^{m},

un polinomio distinto de cero con $p_{m}\neq 0.$

O termo constante de $p$ é $p_{0}.$ É cero no caso do polinomio cero.

O grao de $p$ , escrito $deg(p)$ é $m,$ o maior $k$ tal que o coeficiente de $X k$ non é cero.^[5]

O coeficiente principal de $p$ é $p_{m}.$ ^[6]

Un polinomio constante é o polinomio cero ou un polinomio de grao cero.

Un polinomio distinto de cero é mónico se o seu coeficiente principal é $1.$

Dados dous polinomios $p$ e $q$ , se o grao do polinomio cero se define como $-\infty ,$ temos

\deg(p+q)\leq \max(\deg(p),\deg(q)),

e, sobre un corpo, ou máis xeralmente un dominio de integridade, ^[7]

\deg(pq)=\deg(p)+\deg(q).

Dedúcese inmediatamente que, se $K$ é un dominio de integridade, entón tamén o é $K [X]$ . ^[8]

Tamén se deduce que, se $K$ é un dominio de integridade, un polinomio é unha unidade (é dicir, ten unha inversa multiplicativa) se e só se é constante e é unha unidade en $K$ .

Dous polinomios son asociados se un é o produto do outro por unha unidade (elemento invertíbel).

Un polinomio é irredutíbel se non é o produto de dous polinomios non constantes, ou de forma equivalente, se os seus divisores son polinomios constantes ou teñen o mesmo grao.

Avaliación polinómica

Sexa $K$ un corpo ou, máis xeralmente, un anel conmutativo, e $R$ un anel que contén $K$ . Para calquera polinomio $P$ en $K [X]$ e calquera elemento $a$ en $R$ , a substitución de $X$ por $a$ en $P$ define un elemento de $R$ , que se denota $P (a)$ . Este elemento obtense realizando en $R$ despois da substitución as operacións indicadas pola expresión do polinomio. Este cálculo chámase avaliación de $P$ en $a$ . Por exemplo, se temos

P=X^{2}-1,

vemos dous exemplos con dúas avaliacións:

{\begin{aligned}P(3)&=3^{2}-1=8,\\P(X^{2}+1)&=\left(X^{2}+1\right)^{2}-1=X^{4}+2X^{2}\end{aligned}}

(no primeiro exemplo $R = K$ , e no segundo $R = K [X]$ ).

A imaxe do mapa $P\mapsto P(a)$ , é dicir, o subconxunto de $R$ obtido ao substituír $a$ por $X$ en elementos de $K [X]$ , denotase $K [a]$ . Por exemplo, $\mathbb {Z} [{\sqrt {2}}]=\{P({\sqrt {2}})\mid P(X)\in \mathbb {Z} [X]\}$ , e as regras de simplificación para as potencias dunha raíz cadrada implican $\mathbb {Z} [{\sqrt {2}}]=\{a+b{\sqrt {2}}\mid a\in \mathbb {Z} ,b\in \mathbb {Z} \}.$

Polinomios univariados sobre un corpo

Se $K$ é un corpo, o anel polinómico $K [X]$ ten moitas propiedades similares ás do anel de enteiros $\mathbb {Z} .$ A maioría destas semellanzas resultan da semellanza entre a división longa de números enteiros e a división longa de polinomios.

A maioría das propiedades de $K [X]$ que se enumeran nesta sección non permanecen certas se $K$ non é un corpo, ou se se consideran polinomios en varios indeterminados.

Como para os enteiros, a división euclidiana de polinomios ten unha propiedade de unicidade. É dicir, dados dous polinomios $a$ e $b \neq 0$ en $K [X]$ , hai un único par $(q, r)$ de polinomios tal que $a = bq + r$ , e $r = 0$ ou $deg(r) < deg(b)$ . Isto fai de $K [X]$ un dominio euclidiano. Porén, a maioría dos outros dominios euclidianos (excepto os enteiros) non teñen ningunha propiedade de unicidade para a división nin un algoritmo sinxelo (como a división longa) para calcular a división euclidiana.

A división euclidiana é a base do algoritmo euclidiano para polinomios que calcula un máximo común divisor polinómico de dous polinomios. Aquí, "maior" significa "ter un grao máximo" ou, equivalentemente, ser máximo para a orde previa definida polo grao. Dado un máximo común divisor de dous polinomios, os outros máximos comúns divisores obtéñense multiplicando por unha constante distinta de cero (é dicir, todos os máximos comúns divisores de $a$ e $b$ están asociados). En particular, dous polinomios que non son ambos cero teñen un único máximo común divisor que é mónico (coeficiente inicial igual a 1).

O algoritmo euclidiano estendido permite calcular (e probar) a identidade de Bézout. No caso de $K [X]$ , pódese afirmar do seguinte xeito. Dados dous polinomios $p$ e $q$ de respectivos graos $m$ e $n$ , se o seu máximo común divisor mónico $g$ ten o grao $d$ , entón hai un único par $(a, b)$ de polinomios tal que

ap+bq=g,

e

\deg(a)\leq n-d,\quad \deg(b)<m-d.

(Para facer isto certo no caso límite onde $m = d$ ou $n = d$ , hai que definir como negativo o grao do polinomio cero. A maiores, a igualdade $\deg(a)=n-d$ só pode ocorrer se $p$ e $q$ están asociados). A propiedade de unicidade é bastante específica de $K [X]$ . No caso dos enteiros a mesma propiedade é verdade, se os graos son substituídos por valores absolutos, pero, para ter unicidade, hai que esixir $a > 0$ .

O lema de Euclides aplícase a $K [X]$ . É dicir, se $a$ divide $bc$ e é coprimo con $b$ , entón $a$ divide $c$ . Aquí, coprimo significa que o máximo común divisor mónico é 1. Proba: Por hipótese e identidade de Bézout, hai $e$ , $p$ e $q$ tal que $ae = bc$ e $1 = ap + bq$ . Entón $c=c(ap+bq)=cap+aeq=a(cp+eq).$

A propiedade factorización única resulta do lema de Euclides. No caso dos enteiros, este é o teorema fundamental da aritmética. No caso de $K [X]$ , pódese afirmar como: todo polinomio non constante pode expresarse dun xeito único como o produto dunha constante e dun ou varios polinomios mónicos irredutíbeis; esta descomposición é única ata a orde dos factores.

Noutros termos $K [X]$ é un dominio de factorización única. Se $K$ é o corpo dos números complexos, o teorema fundamental da álxebra afirma que un polinomio univariado é irredutíbel se e só se o seu grao é un.

Neste caso, a propiedade única de factorización pódese reformular como: todo polinomio univariado non constante sobre os números complexos pode expresarse dun xeito único como o produto dunha constante e un ou varios polinomios da forma $X - r$ ; esta descomposición é única ata a orde dos factores.

Para cada factor, $r$ é unha raíz do polinomio e o número de aparicións dun factor é a multiplicidade da raíz correspondente.

Derivadas

A derivada (formal) do polinomio

a_{0}+a_{1}X+a_{2}X^{2}+\cdots +a_{n}X^{n}

é o polinomio

a_{1}+2a_{2}X+\cdots +na_{n}X^{n-1}.

No caso de polinomios con coeficientes reais ou complexos, esta é a derivada estándar. A derivada fai do anel polinómico unha álxebra diferencial.

A existencia da derivada é unha das principais propiedades dun anel polinómico que non se comparte cos números enteiros, e facilita algúns cálculos nun anel polinómico o que non acontece cos números enteiros.

Interpolación de Lagrange

Dado un conxunto finito de pares ordenados $(x_{j},y_{j})$ con entradas nun corpo e valores distintos $x_{j}$ , entre os polinomios $f(x)$ que interpolan estes puntos (de xeito que $f(x_{j})=y_{j}$ para todos os $j$ ), hai un polinomio único de menor grao. Este é o polinomio de interpolación de Lagrange $L(x)$ . Se hai $k$ pares ordenados, o grao de $L(x)$ é como máximo $k-1$ . O polinomio $L(x)$ pódese calcular explicitamente en función dos datos de entrada $(x_{j},y_{j})$ .

Factorización

Excepto a factorización, todas as propiedades anteriores de $K [X]$ son efectivas, xa que as súas demostracións, como se esboza anteriormente, están asociadas a algoritmos para probar a propiedade e calcular os polinomios cuxa existencia se afirma. Adlén diso, estes algoritmos son eficientes, xa que a súa complexidade computacional é unha función cadrática do tamaño da entrada.

No caso de $K [X]$ , os factores e os métodos para calculalos dependen fortemente de $K$ . Sobre os números complexos, os factores irredutíbeis (os que non se poden factorizar máis) son todos de grao un, mentres que, sobre os números reais, hai polinomios irredutíbeis de grao 2 e, sobre os números racionais, hai polinomios irredutíbeis de calquera grao. Por exemplo, o polinomio $X^{4}-2$ é irredutíbel sobre os números racionais, factorízase como $(X-{\sqrt[{4}]{2}})(X+{\sqrt[{4}]{2}})(X^{2}+{\sqrt {2}})$ sobre os números reais e, e como $(X-{\sqrt[{4}]{2}})(X+{\sqrt[{4}]{2}})(X-i{\sqrt[{4}]{2}})(X+i{\sqrt[{4}]{2}})$ sobre os números complexos.

A existencia dun algoritmo de factorización depende tamén do corpo base. No caso dos números reais ou complexos, o teorema de Abel-Ruffini mostra que as raíces dalgúns polinomios e, polo tanto, os factores irredutíbeis, non se poden calcular con exactitude. Polo tanto, un algoritmo de factorización só pode calcular aproximacións dos factores. Téñense deseñado varios algoritmos para calcular estas aproximacións, vexa algoritmo para atopar  raíces de polinomios.

Hai un exemplo dun corpo $K$ tal que existen algoritmos exactos para as operacións aritméticas de $K$ , mais non pode existir ningún algoritmo para decidir se un polinomio da forma $X^{p}-a$ é irredutíbel ou é produto de polinomios de grao inferior.

Polinomio mínimo

Se $θ$ é un elemento dunha $K$ -álxebra asociativa $L$ , a avaliación polinómica en $θ$ é o único homomorfismo de álxebra $φ$ de $K [X]$ en $L$ que mapea $X$ en $θ$ e non afecta os elementos de $K$ en si (é o mapa de identidade en $K$ ). Consiste en substituír $X$ por $θ$ en cada polinomio. É dicir,

\varphi \left(a_{m}X^{m}+a_{m-1}X^{m-1}+\cdots +a_{1}X+a_{0}\right)=a_{m}\theta ^{m}+a_{m-1}\theta ^{m-1}+\cdots +a_{1}\theta +a_{0}.

Se o homomorfismo de avaliación non é inxectivo, isto significa que o seu núcleo é un ideal distinto de cero, composto por todos os polinomios que se converten en cero cando $X$ é substituído por $θ$ . Este ideal consiste en todos os múltiplos dalgún polinomio mónico, que se denomina polinomio mínimo de $θ$ . O termo mínimo vén motivado polo feito de que o seu grao é mínimo entre os graos dos elementos do ideal.

Hai dous casos principais nos que se consideran polinomios mínimos.

En teoría de corpos e teoría de números, un elemento $θ$ dunha extensión de corpo $L$ de $K$ é alxébrico sobre $K$ se é unha raíz dalgún polinomio con coeficientes en $K$ . O polinomio mínimo sobre $K$ de $θ$ é polo tanto o polinomio mónico de grao mínimo que ten $θ$ como raíz. Como $L$ é un corpo, este polinomio mínimo é necesariamente irredutíbel sobre $K$ . Por exemplo, o polinomio mínimo (sobre os reais e tamén sobre os racionais) do número complexo $i$ é $X^{2}+1$ . Os polinomios ciclotómicos son os polinomios mínimos das raíces da unidade.

En álxebra linear, as matrices cadradas $n \times n$ sobre $K$ forman unha $K$ -álxebra asociativa de dimensión finita (como espazo vectorial). Polo tanto, o homomorfismo de avaliación non pode ser inxectivo, e toda matriz ten un polinomio mínimo (non necesariamente irredutíbel). Polo teorema de Cayley-Hamilton, o homomorfismo de avaliación mapea en cero o polinomio característico dunha matriz. Dedúcese que o polinomio mínimo divide o polinomio característico e, polo tanto, o grao do polinomio mínimo é como máximo $n$ .

Anel cociente

No caso de $K [X]$ , o anel cociente por un ideal pódese construír, como no caso xeral, como un conxunto de clases de equivalencia. No entanto, como cada clase de equivalencia contén exactamente un polinomio de grao mínimo, adoita ser máis conveniente outra construción.

Dado un polinomio $p$ de grao $d$ , o anel cociente de $K [X]$ polo ideal xerado por $p$ pódese identificar co espazo vectorial dos polinomios de graos inferiores a $d$ , coa "multiplicación módulo $p$ " como multiplicación, a multiplicación módulo $p$ que consiste no resto baixo a división por $p$ do produto (habitual) dos polinomios. Este anel cociente denotado de varias maneiras como $K[X]/pK[X],$ $K[X]/\langle p\rangle ,$ $K[X]/(p),$ ou simplemente $K[X]/p.$

O anel $K[X]/(p)$ é un corpo se e só se $p$ é un polinomio irredutíbel. De feito, se $p$ é irredutíbel, todo polinomio $q$ distinto de cero de grao inferior é coprimo con $p$ , e a identidade de Bézout permite calcular $r$ e $s$ tal que $sp + qr = 1$ ; polo tanto, $r$ é o inverso multiplicativa de $q$ módulo $p$ . Pola contra, se $p$ é reducíbel, entón existen polinomios $a, b$ de graos inferiores a $deg(p)$ tal que $ab = p$ ; polo que $a, b$ son divisores de cero distintos de cero módulo $p$ e non poden ser invertíbeis.

Por exemplo, a definición estándar do corpo dos números complexos pódese resumir dicindo que é o anel cociente

\mathbb {C} =\mathbb {R} [X]/(X^{2}+1),

e que a imaxe de $X$ en $\mathbb {C}$ está denotada como $i$ . De feito, pola descrición anterior, este cociente está formado por todos os polinomios de grao un en $i$ , que teñen a forma $a + bi$ , con $a$ e $b$ en $\mathbb {R} .$ O resto da división euclidiana que se necesita para multiplicar dous elementos do anel cociente obtense substituíndo $i 2$ por $-1$ no seu produto como polinomios (esta é exactamente a definición habitual do produto dos números complexos).

Módulos

O teorema de estrutura para módulos xerados finitamente sobre un dominio ideal principal aplícase a K[X], cando K é un corpo. Isto significa que todo módulo finitamente xerado sobre K[X] pode descompoñerse nunha suma directa dun módulo libre e un número finito de módulos da forma $K[X]/\left\langle P^{k}\right\rangle$ , onde P é un polinomio irredutíbel sobre K e k un enteiro positivo.

Definición (caso multivariante)

Dados $n$ símbolos $X_{1},\dots ,X_{n},$ chamados indeterminados, un monomio (tamén chamado produto de potencias)

X_{1}^{\alpha _{1}}\cdots X_{n}^{\alpha _{n}}

é un produto formal destes indeterminados, posibelmente elevados a unha potencia non negativa. Como é habitual, pódense omitir expoñentes iguais a un e factores cun expoñente cero. En particular, $X_{1}^{0}\cdots X_{n}^{0}=1.$

A tupla de expoñentes $α = (α 1, \dots, α n)$ chámase vector de varios graos ou expoñente do monomio. Para unha notación menos engorrosa, a abreviatura

X^{\alpha }=X_{1}^{\alpha _{1}}\cdots X_{n}^{\alpha _{n}}

úsase a miúdo. O grao dun monomio $X α$ , denotado frecuentemente $deg α$ ou $| α |$ , é a suma dos seus expoñentes:

\deg \alpha =\sum _{i=1}^{n}\alpha _{i}.

Un polinomio nestes indeterminados, con coeficientes nun corpo $K$ , ou máis xeralmente un anel, é unha combinación linear finita de monomios

p=\sum _{\alpha }p_{\alpha }X^{\alpha }

con coeficientes en $K$ . O grao dun polinomio distinto de cero é o máximo dos graos dos seus monomios con coeficientes distintos de cero.

O conxunto de polinomios en $X_{1},\dots ,X_{n},$ denotado $K[X_{1},\dots ,X_{n}],$ é así un espazo vectorial (ou un módulo libre, se $K$ é un anel) que ten como base os monomios.

$K[X_{1},\dots ,X_{n}]$ está naturalmente equipado cunha multiplicación que fai un anel, e unha álxebra asociativa sobre $K$ , chamado anel polinómico en $n$ indeterminados sobre $K$ . Se o anel $K$ é conmutativo, $K[X_{1},\dots ,X_{n}]$ é tamén un anel conmutativo.

Notas

↑ Index. The Art of Legal Problem Solving (Cambridge University Press). 2024-03-11. pp. 123–126. ISBN 978-1-009-45792-7. doi:10.1017/9781009457927.012. Consultado o 2024-09-14.
↑ ^2,0 ^2,1 polynomial ring. Consultado o 2024-09-14.
↑ Herstein 1975, p. 153
↑ Lang 2002, p. 97
↑ Herstein 1975, p. 154
↑ Lang 2002, p. 100
↑ Herstein 1975, p. 155,162
↑ Herstein 1975, p. 162

Véxase tamén

Bibliografía

Hall, F. M. (1969). "Section 3.6". An Introduction to Abstract Algebra 2. Cambridge University Press. ISBN 0521084849.
Herstein, I. N. (1975). "Section 3.9". Topics in Algebra. Wiley. ISBN 0471010901. polynomial ring.
Lam, Tsit-Yuen (2001). A First Course in Noncommutative Rings. Springer-Verlag. ISBN 978-0-387-95325-0.
Lang, Serge (2002). Algebra. Graduate Texts in Mathematics 211 (Revised third ed.). New York: Springer-Verlag. ISBN 978-0-387-95385-4. MR 1878556.
Osborne, M. Scott (2000). Basic homological algebra. Graduate Texts in Mathematics 196. Springer-Verlag. ISBN 978-0-387-98934-1. MR 1757274. doi:10.1007/978-1-4612-1278-2.

Outros artigos

[1] Index. The Art of Legal Problem Solving (Cambridge University Press). 2024-03-11. pp. 123–126. ISBN 978-1-009-45792-7. doi:10.1017/9781009457927.012. Consultado o 2024-09-14.

[:0-2] 2,0 ^2,1 polynomial ring. Consultado o 2024-09-14.

[3] Herstein 1975, p. 153

[4] Lang 2002, p. 97

[5] Herstein 1975, p. 154

[6] Lang 2002, p. 100

[7] Herstein 1975, p. 155,162

[8] Herstein 1975, p. 162

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]