Anel de división

En álxebra, un anel de división, é un anel non trivial no que se define a división por elementos distintos de cero. En concreto, é un anel non trivial no que todo elemento distinto de cero a ten un inverso multiplicativo, é dicir, un elemento normalmente denotado como a^-1, tal que a a^–1 = a^-1a = 1. Así, a división (pola dereita) pódese definir como a / b = a b^–1, mais evítase esta notación, xa que se pode ter a b^–1 ≠ b^–1 a.

Un anel de división e conmutativo é un corpo. O teorema de Wedderburn afirma que todos os aneis de división finitos son conmutativos e, polo tanto, corpos finitos.

Todos os aneis de división son simples. É dicir, non teñen ningún ideal bilateral á parte do ideal cero e el mesmo.

Relación con corpos e álxebra linear

Todos os corpos son aneis de división e todos os aneis de división que non sexan un corpo non son conmutativos.

O exemplo máis coñecido é o anel de cuaternións. Se se permite só coeficientes racionais en lugar de reais nas construcións dos cuaternións, obtemos outro anel de división.

En xeral, se R é un anel e S é un módulo simple sobre R, entón, segundo o lema de Schur, o anel de endomorfismos de S é un anel de división; todo anel de división xorde deste xeito a partir dalgún módulo simple.

Gran parte da álxebra linear pódese formular, e segue sendo correcta, para módulos sobre un anel de división D en lugar de espazos vectoriais sobre un corpo.

En particular, cada módulo ten unha base, e pódese usar a eliminación gaussiana . Así, todo o que se pode definir con estas ferramentas funciona en álxebras de división. As matrices e os seus produtos defínense de xeito similar. Porén, unha matriz que é invertíbel pola esquerda non ten por que ser invertíbel pola dereita e, se o é, a súa inversa pola dereita pode diferir da súa inversa pola esquerda.

Os determinantes non se definen sobre álxebras de división non conmutativas.

Todo módulo sobre un anel de división é libre; é dicir, ten unha base, e todas as bases dun módulo teñen o mesmo número de elementos.

Os mapas lineares entre módulos de dimensión finita sobre un anel de división pódense describir mediante matrices.

O centro dun anel de división é conmutativo e, polo tanto, un corpo. Todo anel de división é polo tanto unha álxebra de división sobre o seu centro.

Os aneis de división pódense clasificar grosso modo segundo sexan ou non de dimensión finita ou infinita sobre os seus centros. Os primeiros chámanse centralmente finitos e os segundos centralmente infinitos. Todo corpo é unidimensional sobre o seu centro. O anel dos cuaternións hamiltonianos forma unha álxebra de catro dimensións sobre o seu centro, que é isomorfo aos números reais.

Exemplos

• Como se indicou anteriormente, todos os corpos son aneis de división.
• Os cuaternións forman un anel de división non conmutativo.
• O subconxunto dos cuaternións a + bi + cj + dk, tal que a, b, c e d pertencen a un subcorpo fixo dos números reais, é un anel de división non conmutativo. Cando este subcorpo é o corpo dos números racionais, este é o anel de división dos cuaternións racionais.
• Sexa $\sigma :\mathbb {C} \to \mathbb {C}$ un automorfismo do corpo $\mathbb {C}$. Denotamos como $\mathbb {C} ((z,\sigma ))$ o anel das series formais de Laurent con coeficientes complexos, onde a multiplicación se define como segue: en lugar de simplemente permitir que os coeficientes conmuten directamente coa indeterminada $z$, para $\alpha \in \mathbb {C}$, definimos $z^{i}\alpha :=\sigma ^{i}(\alpha )z^{i}$ para cada índice $i\in \mathbb {Z}$. Se $\sigma$ é un automorfismo non trivial de números complexos (como por exemplo a conxugación), entón o anel resultante da serie de Laurent é un anel de división non conmutativo coñecido como anel nesgo da serie de Laurent; se σ = id, entón presenta a multiplicación estándar de series formais. Este concepto pódese xeneralizar ao anel da serie de Laurent sobre calquera corpo fixo $F$, dado un $F$-automorfismo $\sigma$ non trivial.

Principais teoremas

Teorema de Wedderburn: Todos os aneis de división finitos son carpos conmutativos e, polo tanto, finitos. (Ernst Witt deu unha proba simple.)

Teorema de Frobenius: as únicas álxebras de división asociativa de dimensión finita sobre os reais son os propios reais, os números complexos e os cuaternións.

Nocións relacionadas

Mentres que os aneis de división e as álxebras, como se comenta aquí, asúmese que teñen multiplicación asociativa, as álxebras de división non asociativas como os octóns tamén son de interese.

Véxase tamén

Bibliografía

• Lam, Tsit-Yuen (2001). A first course in noncommutative rings. Graduate Texts in Mathematics 131 (2nd ed.). Springer. ISBN 0-387-95183-0. Zbl 0980.16001. 
• Cohn, P.M. (1995). Skew fields. Theory of general division rings. Encyclopedia of Mathematics and Its Applications 57. Cambridge: Cambridge University Press. ISBN 0-521-43217-0. Zbl 0840.16001. 

Outros artigos

• Identiadade de Hua
• Ideal (teoría dos aneis)
• Divisor de cero

Ligazóns externas

• proba do teorema de Wedderburn en Planet Math
• Grillet's Abstract Algebra, section VIII.5's caracterización de aneis de división a través dos seus módulos libres.