Anel cero
Na teoría de aneis, unha rama das matemáticas, o anel cero [1] [2] [3] [4] [5] ou anel trivial é o único anel (ata isomorfismo) que consiste nun elemento. (Con menos frecuencia, o termo "anel cero" úsase para referirse a calquera rng de cadrado cero, é dicir, un rng no que xy = 0 para tódolos x e y. Este artigo refírese ao anel dun elemento).
Na categoría dos aneis, o anel cero é o obxecto terminal, mentres que o anel de enteiros Z é o obxecto inicial.
Definición
[editar | editar a fonte]O anel cero, denotado como {0} ou simplemente 0, consiste no conxunto dun elemento {0} coas operacións + e · definidas de xeito que 0 + 0 = 0 e 0 · 0 = 0.
Algunhas propiedades
[editar | editar a fonte]- O anel cero é o único anel no que coinciden a identidade aditiva 0 e a identidade multiplicativa 1. [1] [6]
- O anel cero é conmutativo.
- O elemento 0 no anel cero é unha unidade, que serve como inverso multiplicativo propio.
- O grupo unidade do anel cero é o grupo trivial {0}.
- O elemento 0 no anel cero non é un divisor de cero.
- O único ideal do anel cero é o ideal cero {0}, que tamén é o ideal unitario, igual a todo o anel. Este ideal non é máximal nin primo.
- O anel cero é xeralmente excluído dos corpos, mentres que ocasionalmente se chama corpo trivial.
- O anel cero é xeralmente excluído dos dominios de integridade.[7]
Construcións
[editar | editar a fonte]- Para calquera anel A e ideal I de A, o cociente A / I é o anel cero se e só se I = A, é dicir, se e só se I é o ideal unidade.
- Para calquera anel conmutativo A e conxunto multiplicativo S en A, a localización S −1 A é o anel cero se e só se S contén 0.
- Se A é calquera anel, entón o anel M0(A) de matrices 0 × 0 sobre A é o anel cero.
- O produto directo dunha colección baleira de aneis é o anel cero.
- O anel de funcións continuas con valores reais no espazo topolóxico baleiro é o anel cero.
Notas
[editar | editar a fonte]- ↑ 1,0 1,1 Artin 1991, p. 347.
- ↑ Atiyah & Macdonald 1969, p. 1.
- ↑ Bosch 2012, p. 10.
- ↑ Bourbaki, p. 101.
- ↑ Lam 2003, p. 1.
- ↑ Lang 2002, p. 83.
- ↑ Lam 2003, p. 3.
Véxase tamén
[editar | editar a fonte]Bibliografía
[editar | editar a fonte]- Artin, Michael (1991). Algebra. Prentice-Hall.
- Atiyah, M. F.; Macdonald, I. G. (1969). Introduction to commutative algebra. Addison-Wesley.
- Bosch, Siegfried (2012). Algebraic geometry and commutative algebra. Springer.
- Bourbaki, N. Algebra I, Chapters 1–3.
- Hartshorne, Robin (1977). Algebraic geometry. Springer.
- Lam, T. Y. (2003). Exercises in classical ring theory. Springer.
- Lang, Serge (2002). Algebra (3rd ed.). Springer.
Outros artigos
[editar | editar a fonte]
