Alfred Tarski

Na Galipedia, a Wikipedia en galego.
Saltar ata a navegación Saltar á procura
Alfred Tarski
Alfred Tarski.jpeg
Nome completoAlfred Tajtelbaum e Alfred Teitelbaum
Nacemento14 de xaneiro de 1901
 Varsovia
Falecemento26 de outubro de 1983 e 27 de outubro de 1983
 Berkeley
SoterradoBerkeley
NacionalidadeImperio Ruso, Polonia e Estados Unidos de América
Relixióncatolicismo
Alma máterUniversidade de Varsovia e Szkoła Mazowiecka
Ocupaciónmatemático e filósofo
Coñecido porŁoś–Tarski preservation theorem, Teorema de Knaster–Tarski, Tarski's theorem, Teorema da indefinibilidade de Tarski, Tarski–Seidenberg theorem, paradoxo de Banach–Tarski, Lindenbaum–Tarski algebra, Jónsson–Tarski algebra, Teoria semântica da verdade, Axiomas de Tarski, Tarski's axiomatization of the reals, Problema círculo-quadrado de Tarski, problema da função exponencial de Tarski, Tarski's high school algebra problem, Tarski–Kuratowski algorithm, Tarski monster group e Tarski's plank problem
PremiosBolsa de estudos Guggenheim
editar datos en Wikidata ]

Alfred Tarski, nado co nome de Alfred Teitelbaum en Varsovia o 14 de xaneiro de 1901 e finado en Berkeley (Estados Unidos) o 26 de outubro de 1983, foi un lóxico, matemático e filósofo polaco.

Traxectoria[editar | editar a fonte]

De orixe xudía acomodada, adoptou o seu apelido definitivo ao converterse en 1923 á relixión maioritaria en Polonia, o catolicismo. Formou parte da importante escola polaca de lóxica e filosofía até 1939, en que se estableceu nos Estados Unidos de América; a emigración salvoulle da sorte da maior parte da súa familia, que pereceu baixo a ocupación nazi de Polonia. Desde Estados Unidos, onde viviría e ensinaría até a súa morte, influíu en toda a investigación lóxica posterior á Segunda Guerra Mundial. Fixo achegas destacadas en teoría de conxuntos, lóxica polivalente, niveis de linguaxe e metalinguaxe e conceptos semánticos. Foi o autor de Introdución á lóxica e á metodoloxía das ciencias dedutivas no ano 1941 e A concepción semántica da verdade e os fundamentos da semántica en 1944.

Matemáticas[editar | editar a fonte]

En 1924 Tarski e Stefan Banach demostraron que unha bóla —en sentido topolóxico— pode dividirse nun número finito de pezas e recomporse en dúas bólas co mesmo tamaño que a orixinal. Este resultado coñécese como paradoxo de Banach-Tarski, aínda que non se trata dun paradoxo, senón dunha consecuencia non intuitiva do axioma da escolla.

Tarski formulou unha teoría dos números reais que é decidible. O interese deste resultado estriba en que a teoría da adición e a multiplicación para números naturais, segundo demostraron Church e Gödel, non é decidible; polo tanto, na teoría completa dos números reais non pode establecerse se un número real é natural —isto sería contraditorio cos resultados de Gödel e Church—. Tarski formulou ademais unha versión concisa da xeometría euclídiana do plano que é decidible se o é a súa teoría dos números reais. Na súa obra de 1953 Teorías indecidibles, escrita con Mostowski e Robinson, mostrou que moitas teorías matemáticas, como a teoría de retículos, a xeometría proxectiva abstracta e a teoría de grupos non conmutativos, non son decidibles.

Nos anos 40 Tarski comezou a desenvolver xunto aos seus discípulos a álxebra relacional, na que poden expresarse tanto a teoría axiomática de conxuntos como a aritmética de Peano. Tamén desenvolveu xunto aos seus discípulos as álxebras cilíndricas, que son á lóxica de primeira orde o que a álxebra booleana á lóxica proposicional.

Lóxica e teoría de modelos[editar | editar a fonte]

Xunto con Aristóteles, Gottlob Frege e Kurt Gödel, Tarski é considerado un dos lóxicos máis grandes de todos os tempos. Dos catro, Tarski é un dos mellores matemáticos, o máis prolífico e o que desenvolveu unha actividade educativa máis intensa. Entre os seus moitos e relevantes discípulos está Julia Robinson. En 1941 publicou en inglés un dos manuais de lóxica máis acreditados, Introduction to Logic and to the Methodology of Deductive Sciences.

Tarski contribuíu á madurez da lóxica estándar —de primeira orde— fundando unha metodoloxía conxuntista das teorías dedutivas sobre dúas bases:

  • a noción de teoría como conxunto de proposicións pechado baixo unha noción de derivación mediante aplicación de regras, e
  • o desenvolvemento dunha semántica baseada nas nocións de satisfacción, verdade e consecuencia lóxica.

Os seus métodos semánticos —que culminaron na teoría de modelos desenvolvida nos anos 50 e 60 xunto aos seus discípulos de Berkeley— transformaron radicalmente a metamatemática, consolidándoa como ciencia estrita. A idea principal é substituír os símbolos dunha certa teoría por expresións doutra teoría de forma que os axiomas da primeira se traduzan en teoremas da outra. A teoría de modelos estuda as propiedades que se herdan dunhas teorías a outras ao longo destas traducións, e compara os alcances respectivos de teorías diversas.

Súa é unha das primeiras demostracións do teorema da dedución, con importantes aplicacións tanto en lóxica matemática como en metalóxica.

Consecuencia lóxica[editar | editar a fonte]

O primeiro achegamento de Tarski á noción de consecuencia lóxica foi axiomático: a noción quedaría definida por axiomas referidos á derivación nun cálculo lóxico. Con todo, argumentos propios e baseados nos teoremas de incompletitude de Gödel conduciron a Tarski a admitir que este enfoque non daba conta de todos os casos intuitivos de consecuencia lóxica —así, xeneralizacións sobre números naturais: nos cálculos coñecidos pode derivarse para cada número a oración que afirma que satisfai unha propiedade, pero non a oración que afirma que todos os números a satisfán.

Como alternativa, no seu artigo de 1936 "On the concept of logical consecuence" defendeu que a conclusión dun argumento séguese loxicamente das súas premisas se e só se cada interpretación das expresións non lóxicas que fai verdadeiras as premisas fai verdadeira a conclusión; por tanto, a explicación da consecuencia lóxica depende da teoría semántica da verdade.

Para que a definición se aplíque a todos os casos basta con admitir como constantes lóxicas, segundo Tarski, as seguintes: o cuantificador universal de primeira orde, o condicional, a negación, as parénteses e a identidade. Aínda así, considérase que Tarski non deu ningún criterio suficiente para distinguir as constantes lóxicas das non lóxicas. O problema ocupoulle durante toda a súa vida académica; ao final desta propuxo, xunto a Steven Givant, unha definición en dúas partes:

  • unha noción lóxica é un elemento lingüístico invariante baixo toda permutación do universo do discurso sobre si mesmo.
  • unha constante lóxica denota unha noción lóxica en todo universo do discurso e por tanto en toda interpretación.

Teoría semántica da verdade[editar | editar a fonte]

En 1933 Tarski publicou en polaco un artigo sobre a súa definición matemática da verdade para linguaxes formais. A influente tradución ao alemán editouse en 1936 baixo o título Der Wahrheitsbegriff in dean Sprachen der deduktiven Disziplinen ("O concepto de verdade nas linguaxes das disciplinas dedutivas"), e en 1956 deuse a coñecer a versión inglesa como un capítulo da antoloxía Logic, Semantics, Metamathematics (1956). Este traballo supón un fito para a filosofía do século XX. Tivo gran difusión unha presentación non técnica, O concepto semántico de verdade e os fundamentos da semántica, publicada en 1944.

Desde un enfoque formalista das matemáticas, o concepto de verdade parece superfluo: o único que conta é a aplicación das regras de manipulación de signos, de derivación dunhas fórmulas a partir doutras. Máis en xeral, podería dicirse que é ocioso preocuparse polo que tradicionalmente se chamou "verdade" —Adaequatio intellectus et rei ("Coincidencia de intelecto e realidade")—: a ciencia ofrece procedementos para demostrar ou comprobar enunciados, e dicir 'verdadeiro' sería unha forma arcaica ou redundante de dicir 'demostrado' ou 'probado'.[1]

Pero as limitacións dos formalismos, que Tarski contribuíu a descubrir nos anos 30 —xunto a Gödel, Alonzo Church e outros—, mostraban que para avanzar en matemáticas era necesario interpretar (nun modelo) os símbolos da linguaxe dos cálculos lóxicos —por exemplo, para obter demostracións de consistencia dun sistema formal relativas a outro, unha vez que se demostrou que a demostración absoluta é imposible—. Isto supoñía recuperar o concepto de verdade para as oracións, no sentido clásico de "correspondencia" das oracións cos seus referentes.

Aínda que o sentido clásico debía ser recuperado, a expresión clásica era, segundo Tarski, defectuosa: o termo "correspondencia" era como moito unha metáfora. Máis precisa resultáballe, sen ser completamente axeitada, a concepción de Aristóteles:


Dicir do que non é que é, ou do que é que non é, é falso, e dicir do que é que é, ou do que non é que non é, é verdadeiro.

Aristóteles, Metafísica

Doutra banda, Tarski mostrou como a preservación dese concepto clásico requiría non definilo para calquera linguaxe —ou para unha linguaxe ‘xenuína’ ao que serían traducibles todos os demais—, senón para linguaxes formais (de fórmulas) interpretables en dominios restrinxidos: se a concepción clásica se aplica a linguaxes que se refiren ilimitadamente a si mesmos —por exemplo, a lingua nativa do teórico ou do seu lector humano— faise posible caer en contradicións como o paradoxo do mentireiro.[2]

Pode dicirse que Tarski mostrou como a concepción clásica serve para avanzar desde os formalismos, e como os formalismos serven para avanzar desde a concepción clásica, facéndoa máis precisa e científica.Na actualidade as únicas linguaxes que teñen unha estrutura especificada sos as linguaxes formalizadas dos distintos sistemas da lóxica dedutiva, enriquecidas quizais grazas á introdución de certos termos non lóxicos [3]. No entanto, o campo de aplicación destas linguaxes é bastante extenso; teoricamente podemos desenvolver con elas varias pólas da ciencia, por exemplo, as matemáticas e a física teórica. O problema da definición da verdade cobra un significado esencial e pódese solucionar de forma rigorosa só para aquelas linguaxes que teñan unha estrutura exactamente especificada. Tarski, A concepción semántica da verdade e os fundamentos da semántica, 1944

Requisitos dunha definición de verdade[editar | editar a fonte]

A aplicación non paradoxal do concepto de verdade depende da distinción, tomada da escola de David Hilbert, entre linguaxe obxecto —para o que se define un concepto de verdade— e metalinguaxe —no que se define ese concepto de verdade e que abarca ou representa á linguaxe obxecto—. No que segue, as expresións entre comiñas son nomes da metalinguaxe para as oracións da linguaxe obxecto, e as expresións de que forma parte o entrecomiñado son expresións do metalinguaxe.

Adecuación material[editar | editar a fonte]

A condición de adecuación material de Tarski supón que toda teoría lograda da verdade implica, para cada oración P da linguaxe obxecto X para o que se define a verdade, que

1. “P” é verdadeira se e só se P.

A este requisito denomínaselle ‘convención T’ (ou V, segundo a tradución). Así, tomando o exemplo que Tarski fixo famoso, para a oración “A neve é branca” unha hipotética teoría da verdade para o galego debe implicar que:

1’. “A neve é branca” é verdadeira se e só se a neve é branca.

Non é unha implicación tan trivial como pode parecer: o enunciado á esquerda de “se e só se” trata sobre a expresión “A neve é branca” mentres que o enunciado á dereita trata sobre a neve. En todo caso, o enunciado da esquerda e o enunciado da dereita son equivalentes segundo a concepción aristotélica que Tarski busca precisar, e por tanto as implicacións son un requisito de adecuación material da definición.

A aparencia de trivialidade é menos obvia se tomamos como linguaxe obxecto o inglés e como metalinguaxe unha versión do galego que inclúe o inglés.

1’’. “The snow is white” é verdadeira en inglés se e só se the snow is white.

Isto último dá a pauta ao falante galego -cunha teoría do verdadeiro en inglés- para saber se o que dixo certo inglés -"The snow is white"- é verdadeiro: acudir ao seu dicionario inglés-galego e comprobar se o resultado de traducir 'the', 'snow', 'is', 'white', por esta orde, dá lugar a unha verdade galega.

1’ e 1’’ non son máis que ilustracións usando linguas naturais –o inglés e o galego con teoría-, que son as que abren paso aos paradoxos. Tarski non cría posible que se puidesen formular teorías da verdade materialmente acaídas para as linguas naturais, nin sequera cría que o intento tivese sentido;o que propuxo son teorías da verdade para linguaxes formais (de fórmulas), nas que a verdade das oracións complexas era función da verdade de oracións elementais –pira as que se define unha interpretación na metalinguaxe. A concepción de Tarski é unha "concepción semántica" porque a verdade é nela función dos referentes asignados aos compoñentes elementais da linguaxe obxecto.

Hai que sinalar que non se pode considerar unha definición da verdade nin de 1 nin os resultados de substituír as variables de 1 por oracións e os seus nomes; estes serían como máximo definicións parciais –para unha oración particular- da verdade. Unha definición xeral será unha conxunción lóxica de todas estas definicións parciais.

Non cabe unha definición xeral mediante a cuantificación universal da convención T: en 'Para todo P, "P" é verdadeiro se e só se P', o alcance da cuantificación chega á oración, pero non ao seu nome, e as interpretacións de P non poden dar lugar ás equivalencias buscadas e só a elas.

Isto non impide que unha teoría semántica da verdade se poida aplicar a conxuntos infinitos de oracións -como cando se di "Todos os teoremas de T son verdadeiros" ou "Todo o que di Tarski é verdade"-. Se o predicado "verdadeiro" se defíne como unha redundancia trivial e se elimína das últimas oracións citadas, o resultado non equivale a unha oración. Pola súa banda, a satisfacción da convención T nunha definición da verdade permite, dado calquera devandito de Tarski citado como verdadeiro, establecer o seu equivalente na linguaxe en que se interpretan os devanditos de Tarski -e así en calquera caso en que sexa posible unha definición adecuada materialmente e formalmente correcta-.

O entrecomiñado non é a única forma de construír nomes das oracións da linguaxe obxecto. Tamén cabe o deletreo, a numeración de Gödel, a expresión en bits... Os recursos para nomear cada oración da linguaxe obxecto determinan a forza da metalinguaxe.

Corrección formal[editar | editar a fonte]

A posibilidade das antinomias leva que unha definición debe cumprir, tamén, os seguintes requisitos de corrección formal:

  • Os nomes das expresións da linguaxe obxecto X non poden formar parte da linguaxe obxecto —o galego como linguaxe obxecto pode tratar sobre a neve, pero non sobre a oración "A neve é branca"; isto é tema do metagalego—.
  • A expresión da metalinguaxe ‘é verdadeiro na linguaxe X’ -ou outros conceptos semánticos metalingüísticos- non poden formar parte da linguaxe X para o que se define o concepto de verdade. Xunto ao anterior, este requisito establece que unha linguaxe non pode ser a súa propia metalinguaxe.
  • Os conceptos semánticos non deben ser conceptos indefinidos da teoría da verdade para X -han de ser conceptos definidos en termos doutros da teoría; "... é verdadeiro" debe definirse en termos non semánticos mentres sexa posible-.

se se cumpre este postulado, a definición de verdade, ou de calquera outro concepto semántico, cumprirá coa función que de forma intuitiva agardamos de calquera definición; isto é, explicará o significado do termo que se estea definindo facendo uso de termos cuxo significao sexa completamente claro e unívoco. E ademais teremos entón unha garantía de que a utilización de conceptos semánticos non nos fará caer en contradicións. Tarski, A concepción semántica da verdade e os fundamentos da semántica, 1944

Satisfacer estas condicións permite evitar o paradoxo do mentireiro, e outras de máis relevancia lóxica e matemática -como o paradoxo de Grelling-Nelson e o paradoxo de Richard, relacionadas con outros conceptos semánticos, como "definición" e "designación"-: as expresións paradoxais nunca se formarán baixo estas condicións. Pero entón debe renunciarse a unha teoría da verdade que sexa válida para calquera linguaxe. Por exemplo, unha definición de verdade para a linguaxe de certa teoría de conxuntos non valerá para a linguaxe dunha teoría sobre esa teoría -sobre conxuntos de conxuntos-.

Visto doutra forma, no marco da 'trivial' concepción de Tarski:

  • calquera teoría formalizada non semántica T presupón unha linguaxe máis rica que aquel en o que está formulada a teoría; ou ben
  • a linguaxe de calquera teoría formalizada non semántica T debe ser máis débil que aquel en que poden definirse as condicións de verdade para dita teoría.

Por exemplo, se T trata de certos individuos, T presupón unha linguaxe máis rica, no que poden formularse, para cada teorema t de T, as oracións equivalentes '"t" é verdadeiro'. Ese "verdadeiro" estará definido en termos de conceptos dunha teoría máis forte que T —por exemplo, que trata non só sobre individuos, senón sobre clases de individuos—, e por tanto cunha linguaxe máis rica. Se a teoría da verdade non fose máis forte, violaríanse os requisitos básicos —'verdadeiro' poderíase definir na linguaxe de T—.

Agora ben, non presupón calquera linguaxe máis rica, senón unha que permita a satisfacción da condición T —dados dous conceptos de verdadeiro en X, verdadeiro-1 en X e verdadeiro-2 en X, unha oración de X é verdadeira-1 se e só se é verdadeira-2; pola contra, uno dos conceptos non é adecuado—. A condición de adecuación material proscribe a opción entre teorías da verdade non equivalentes; toda alternativa debe asignar a mesma extensión de linguaxe obxecto ao concepto 'verdadeiro'.

Unha alternativa a estes requisitos sería, segundo Tarski, definir a verdade nunha linguaxe de aplicación universal pero non rexido polas "leis habituais" da lóxica; doutra banda, a definición dada por Tarski satisfacendo estes requisitos permite deducir "leis habituais" da lóxica, como o principio de non contradición e o principio do terceiro excluído, e a partir de aí os conceptos de completitude, consistencia e outros propios da metamatemática e a teoría de modelos —que permiten clasificar as teorías non semánticas e cada sistema formal relacionado—. Dado que na maior parte das teorías formalizadas T pode definirse o predicado "demostrable en T" e que pode demostrarse que todas as oracións demostrables son verdadeiras, existen oracións verdadeiras que non son demostrables —pois "verdadeiro en T" defínese nunha lóxica máis potente que a de T—.

Esbozo da definición de verdade de Tarski[editar | editar a fonte]

A definición de "verdadeiro" de Tarski toma como concepto non definido o de "satisfacción"; dado que "satisfacción" é un concepto semántico, a completa corrección formal esixe unha teoría semántica máis ampla. Esta definición aplícase a todas as linguaxes formalizadas coñecidos na época da súa formulación –como os de lóxica de primeira orde-.

As oracións abertas –ou funcións proposicionais simples, expresións como "x é branca", onde x é unha variable- son os compoñentes elementais da linguaxe para o que se define a verdade; non son nin verdadeiras nin falsas en si mesmas, senón satisfeitas por uns obxectos e non satisfeitas por outros.

Unha interpretación dunha linguaxe é unha especificación dos obxectos que satisfán cada compoñente –por exemplo, a neve para "x é branca"-. Unha función proposicional complexa é o resultado de combinar mediante conectivas lóxicas funcións proposicionais simples; cada función complexa satisfaise en función da satisfacción dos seus compoñentes, segundo regras semánticas especificadas –por exemplo, '"x non é branca" é satisfeita por un obxecto se e só se ese obxecto non satisfai "x é branca"';'"x é branca ou x é vermella" é satisfeita por un obxecto se e só se o obxecto satisfai algún das súas compoñentes'-.

Unha oración pechada –ou sentenza- é unha función proposicional con nomes de obxectos no lugar das variables ou sen ningunha variable non cuantificada loxicamente; as oracións pechadas son as que poden ser verdadeiras ou falsas. En concreto a definición de verdade de Tarski afirma que unha oración é verdadeira en X se e só se é satisfeita por todos os obxectos con que se definiu unha interpretación de X e falsa se non é satisfeita por ningún.

Influencia na filosofía[editar | editar a fonte]

A concepción de Tarski deu pé a reflexións filosóficas como as de Donald Davidson, para quen si é posible aplicar as nocións de Tarski ás linguaxes naturais —aínda que non como teoría directa da verdade, senón como parte dunha teoría da interpretación desas linguaxes polos seus falantes e na medida en que son formalizables de certa maneira—. Karl Popper defendeu que a teoría da verdade de Tarski supuña unha fundamentación do realismo; segundo Hartry Field, o fundamentado como máximo era o fisicalismo. Richard Merett Montague desenvolveu unha teoría matemática da semántica das linguaxes naturais que pretendía dar conta da incapacidade das linguaxes naturais como medio para a filosofía. Rudolf Carnap baseouse na concepción semántica ao estudar as propiedades dos sistemas de lóxica indutiva e a posibilidade de inferir leis universais a partir de enunciados de observación. Debe terse en conta que as aplicacións da concepción semántica á filosofía da ciencia empírica (como as de Carnap ou Popper) dependen da aceptación da "concepción lingüística das teorías" —teorías como conxuntos de enunciados—, que foi cuestionada por escolas máis recentes.

Notas[editar | editar a fonte]

  1. La fórmula filosófica adaequatio rei et intellectus (correspondencia entre la realidad y el intelecto) se encuentra sobre todo en Tomás de Aquino (1225-1274) y fue creada por vez primera por Isaac Israeli, (855 - 955), e indica que la verdad es la correspondencia o acuerdo entre la realidad y su representación lingüística y conceptual. Según otros autores, el origen de la expresión está realmente en Avicena (980-1037). En todo caso, esta concepción se encuentra ampliamente en la filosofía medieval y en especial en Tomás de Aquino y se reitera con significados alternativos en la filosofía del Racionalismo moderno, como en Leibniz y Hegel. En edad contemporánea es el foco de la filosofía analítica basada en la correspondencia entre el lenguaje y la realidad.
  2. Jesús Padilla Gálvez, Verdad. Controversias abiertas, 2017, Cap. III.
  3. 3

Véxase tamén[editar | editar a fonte]

Bibliografía[editar | editar a fonte]

  • Alfred Tarski, (1936) Introducción a la lógica y a las ciencias deductivas, Espasa-Calpe, 1985.
  • Willard v. O. Quine, (1971) Filosofía de la lógica, Alianza, 1998. Desenvolve unha definición de verdade lóxica baseada en Tarski.
  • Fernando Broncano, La causa de la verdad, en Saber en condiciones: epistemología para escépticos y materialistas, Antonio Machado Libros, 2002, páx. 197/247. Compara a concepción semántica con outras nocións de verdade e estuda o seu rendemento no contexto dunha explicación naturalista do coñecemento.
  • Cristina Corredor, Significado, experiencia y verdad, en Filosofía del lenguaje: una aproximación a las teorías del significado del siglo XX, Antonio Machado Libros, 1999, páx. 142-244. Unha revisión das consecuencias filosóficas da concepción semántica para Quine, Davidson e o propio Tarski.
  • Alfonso García Suárez, La teoría semántica de Tarski: en Modos de significar: una introducción temática a la filosofía del lenguaje, Tecnos, 1997, páx. 193/207.
  • Jesús Padilla Gálvez, Verdad y demostración. Plaza y Valdés, Madrid, 2007. (ISBN 978-84-96780-19-4)[1] Recensión en: Revista Latinoamericana de filosofía [2]
  • Jesús Padilla Gálvez, Verdad. Controversias abiertas. Tirant Humanidades, Valencia, 2017. (ISBN 978-84-17069-58-2).
  • Luis Vega, El análisis lógico, nociones y problemas: una introducción a la filosofía de la lógica, UNED, 1987. Discute pormenorizadamente as ideas de Tarski sobre consecuencia lóxica e o seu fondo filosófico.
  • Juan Antonio Nicolás e María José Frapolli (comps.), Teorías de la verdad en el siglo XX, Tecnos, 1997. Antoloxía de textos que contén o artigo de Tarski sobre a concepción semántica da verdade e algunhas das reaccións que suscitou; o artigo de Rudolf Carnap contén unha aplicación da convención T á clarificación dun problema filosófico.

Outros artigos[editar | editar a fonte]

Ligazóns externas[editar | editar a fonte]