Agregación limitada por difusión

Simulación de crecemento dun DLA.

Estrutura de cobre formada por un DLA formado a partir dunha solución de sulfato de cobre nunha célula de electrodeposición.

A agregación limitada por difusión (en inglés Diffusion-limited aggregation, DLA) é un proceso estocástico no que as partículas encadenadas aleatorias, liberadas debido ao movemento browniano, agloméranse para formar agregados, aferrándose unhas ás outras. Esta teoría, proposta por Thomas Witten e Leonard Sander en 1981, é aplicable á agregación de calquera sistema onde a difusión é o principal medio de transporte. Deste xeito obtéñense estruturas moi ramificadas e a súa complexidade pódese analizar mediante xeometría fractal.

O DLA pódese usar para modelar algúns patróns naturais, e pódese observar en sistemas como a electrodeposición, o fluxo de Hele-Shaw, os depósitos minerais e a descomposición dieléctrica.

DLA ten algunhas propiedades compartidas cos fractais; ten unha estrutura ben definida a escalas moi pequenas e a súa dimensión de Haussdorff é maior que a dimensión topolóxica.

Descrición

O algoritmo de Witten e Sander baséase no modelo de crecemento aleatorio da agregación de partículas. Dado un grupo de n partículas, un camiñante aleatorio tenderá a unirse para formar un grupo de n + 1 partículas. Canto maior sexa o clúster, máis puntos de unión coas partículas non unidas haberá, acelerando así o proceso de ramificación da estrutura. Este é un proceso estocástico, debido á natureza probabilística do camiñante aleatorio.

As estruturas construídas por este algoritmo son moi ramificadas e a súa dimensión fractal pódese calcular a partir do número de partículas e do seu raio medio. Para calquera dimensión topolóxica $d$, a dimensión fractal $D_{f}$ ten un valor enteiro que tende a $d-1$ . Non obstante, a natureza fractal do DLA é débil polo que non está lonxe $d$, especialmente en dúas dimensións. Ademais, isto varía moito dependendo da estrutura da rede e da xeometría da simulación.

Hai que ter en conta que calcular a dimensión nunha soa mostra non é suficiente, xa que hai moitas estruturas posibles e a dimensión fractal entre elas varía moito (por exemplo, se se formase unha liña recta de partículas a dimensión sería 1, pero o probabilidade de que ocorra é moi baixa). Polo tanto, para facer un cálculo máis fiable da dimensión fractal da estrutura, hai que facer moitas réplicas, utilizando un modelo de Monte Carlo.

Fluxo Hele-Shaw

A rotura dieléctrica de alta tensión dentro dun bloque de plexiglás crea un patrón fractal chamado figura de Lichtenberg. As descargas de ramas ocorren finalmente, pero crese que se estenden ao nivel molecular.

A velocidade dun fluído nun ambiente poroso é proporcional ao gradiente de presión dun fluído: ${\vec {v}}=-{\frac {k}{\mu }}\nabla p$ on $k$ é a permeabilidade do medio poroso e $\mu$ a viscosidade do fluído.

Se se considera un fluído non compresible, a ecuación anterior leva á ecuación de Laplace. Ao introducir un segundo fluído cunha viscosidade moito menor, obtense un fluxo Hele-Shaw. A presión deste novo fluído pódese considerar constante, debido á súa baixa viscosidade, polo que segue sendo aplicable a ecuación de Laplace. O proceso DLA é similar, se estes parámetros se usan para definir a probabilidade de adhesión aleatoria do andador. Aínda que o fluxo de Hele-Shaw é de natureza determinista (mentres que o DLA é estocástico), en ambos os casos o crecemento da interface é o suficientemente lento como para usar a ecuación de Laplace en lugar da ecuación de difusión. Polo tanto, o modelo de Laplace é útil para explicar patróns formados no DLA. Do mesmo xeito, o DLA ou as súas variantes utilizáronse para modelar procesos como a electrodeposición ou a fractura dieléctrica.

Método de Hastings-Levitov

Dado que as funcións analíticas bidimensionais satisfán a ecuación de Laplace para calquera punto non singular, a teoría do mapeo conforme proporciona outro mecanismo para construír formas. Así, pódese crear un DLA bidimensional aplicando repetidamente iteracións estocásticas de mapeo conforme. O mapeo conforme defínese como a función $f(z)$ dende o plano complexo ata a rexión conectada a D, onde a súa derivada $df/dz$ nunca é cero para D. Como resultado, un proporciona unha asignación a outra rexión que simplemente está conectada internamente por D, mapeando os límites dunha rexión cos límites da outra. Riemann demostrou que para rexións finitas o mapa é único. A función inversa tamén é única, $g(f(z))=z$ .

Se definimos un mapa de raio circular $r$ onde se forman picos de radio $a$, o método de Hastings-Levitov pódese usar para definir a función de mapeo:

$w=f_{a}(z)=(z-a+{\frac {r^{2}}{z-a}})/2$

Por este método, obtense un DLA cando estes picos se aplican aleatoriamente e todos teñen o mesmo tamaño. O número de picos é igual ao tamaño dos grupos.

Este método é análogo ao fluxo de Hele-Shaw descrito anteriormente: a probabilidade de que unha partícula atope a estrutura satisfai a ecuación de Laplace $\nabla ^{2}\psi (z)=0$, coas condicións:

• A probabilidade será cero no bordo do cúmulo (xa que a partícula se pega cando toca unha partícula do cúmulo): $\psi (z)=0,z\in \partial C$
• A función $\psi (z)$ debe ser independente do enderezo: $\psi (z)={\frac {1}{2\pi }}\ln {\vert z\vert },\vert z\vert \rightarrow \infty$

A probabilidade de crecemento acumulada no punto $z$ é $dP(z)=\vert \nabla \psi (z)\vert dl$ . Segundo a teoría do mapeo de Riemann, existe un mapeo conforme que sinala o exterior do círculo unitario cara ao exterior do cluster. Esta propiedade tamén permite calcular a dimensión fractal, pola relación entre o raio e o número de picos. Nos cúmulos isótropos, a densidade de correlación depende só da distancia $r$ .

Multifractalidade

Os clústeres dun DLA teñen multifractalidade, é dicir, teñen diferentes tipos de fractais en diferentes rexións do DLA. A probabilidade de que unha nova partícula se insira no cúmulo por contacto cunha partícula concreta $p_{i}$ do cúmulo non é uniforme entre todas as partículas do cúmulo. É máis fácil que se poña en contacto cos de fóra que cos de dentro, xa que para chegar aos de dentro ten que esquivar aos demais. Como a distribución das partículas é multifractal, pódese definir unha función para calcular estas diferenzas e obter a dimensión fractal en cada partícula. A dimensión fractal conxunta calculada será a máxima obtida con este método.

A multifractalidade é especialmente interesante neste caso porque as características multifractais son leis de escala que se relacionan coas probabilidades da dimensión fractal.

Outras técnicas

A autosemellanza do DLA pódese analizar mediante a teoría da renormalización e os resultados obtidos. Outro enfoque para examinar o problema é considerar que as ramas se solapan ao mesmo tempo nun sistema dinámico. Deste xeito tamén se pode obter información sobre a multifractalidade do sistema.

Véxase tamén

Ligazóns externas

• Paul Bourke, DLA - Diffusion Limited Aggregation - Process Description and Examples (en inglés) [Acceso: 28 de marzo de 2020]
• Agregación limitada de difusión (un modelo de crecemento fractal) [(en inglés) Consultado: 28 de marzo de 2020]
• Agregación limitada por difusión e a súa simulación (en inglés) consultado: 28 de marzo de 2020]