Álxebra exterior

Orientación definida por un conxunto ordenado de vectores.

A orientación inversa corresponde a negar o produto exterior.

Interpretación xeométrica de elementos de grao n nunha álxebra exterior rea

En matemáticas, a álxebra exterior ou álxebra de Grassmann dun espazo vectorial $V$ é unha álxebra asociativa que contén $V,$ que ten un produto, chamado produto exterior (ou tamén en inglés wedge product) e denotado co símbolo $\wedge$, tal que $v\wedge v=0$ para todo vector $v$ en $V.$

A álxebra exterior recibe o nome de Hermann Grassmann, e os nomes do produto proceden do símbolo "wedge" $\wedge$ e por outra parte do feito de que o produto de dous elementos de $V$ está "fóra" de $V.$

O produto exterior de $k$ vectores $v_{1}\wedge v_{2}\wedge \dots \wedge v_{k}$ chámase lámina de grao $k$ ou $k$-lámina. O produto exterior foi introducido orixinalmente como unha construción alxébrica usada en xeometría para estudar áreas, volumes e os seus análogos de dimensións superiores: a magnitude dunha 2-lámina $v\wedge w$ é a área do paralelogramo definida por $v$ e $w,$ e, de xeito máis xeral, a magnitude da $k$-lámina é o (hiper)volume do paralelotopo definido polos vectores constituíntes.

A propiedade alternante que fai $v\wedge v=0$ implica unha propiedade simétrica nesgada que fai $v\wedge w=-w\wedge v,$ e, máis xeralmente, calquera mudanza de signo de lámina sempre que se trocan dous dos seus vectores constituíntes, correspondentes a un paralelótopo de orientación oposta.

A definición da álxebra exterior pódese ampliar para espazos construídos a partir de espazos vectoriais, como campos vectoriais e funcións cuxo dominio é un espazo vectorial. A maiores, o corpo dos escalares pode ser calquera corpo. De forma máis xeral, a álxebra exterior pódese definir para módulos sobre un anel conmutativo. En particular, a álxebra das formas diferenciais en $k$ variables é unha álxebra exterior sobre o anel das funcións suaves en $k$ variábeis.

Exemplos básicos

Áreas no plano

A área dun paralelogramo en función do determinante da matriz de coordenadas de dous dos seus vértices.

O espazo vectorial euclidiano bidimensional $\mathbf {R} ^{2}$ é un espazo vectorial real equipado cunha base formada por un par de vectores unitarios ortogonais

$\mathbf {e} _{1}={\begin{bmatrix}1\\0\end{bmatrix}},\quad \mathbf {e} _{2}={\begin{bmatrix}0\\1\end{bmatrix}}.$

Supoñamos que

$\mathbf {v} ={\begin{bmatrix}a\\b\end{bmatrix}}=a\mathbf {e} _{1}+b\mathbf {e} _{2},\quad \mathbf {w} ={\begin{bmatrix}c\\d\end{bmatrix}}=c\mathbf {e} _{1}+d\mathbf {e} _{2}$

son un par de vectores dados en $\mathbf {R} ^{2}$ escrito en compoñentes. Hai un paralelogramo único que ten $\mathbf {v}$ e $\mathbf {w}$ como dous dos seus lados. A área deste paralelogramo vén dada pola fórmula do determinante estándar: $${\text{Area}}=\left|\det {\begin{bmatrix}\mathbf {v} &\mathbf {w} \end{bmatrix}}\right|=\left|\det {\begin{bmatrix}a&c\\b&d\end{bmatrix}}\right|=\left|ad-bc\right|.$$

Consideremos agora o produto exterior de $\mathbf {v}$ and $\mathbf {w}$:

${\begin{aligned}\mathbf {v} \wedge \mathbf {w} &=(a\mathbf {e} _{1}+b\mathbf {e} _{2})\wedge (c\mathbf {e} _{1}+d\mathbf {e} _{2})\\&=ac\mathbf {e} _{1}\wedge \mathbf {e} _{1}+ad\mathbf {e} _{1}\wedge \mathbf {e} _{2}+bc\mathbf {e} _{2}\wedge \mathbf {e} _{1}+bd\mathbf {e} _{2}\wedge \mathbf {e} _{2}\\&=\left(ad-bc\right)\mathbf {e} _{1}\wedge \mathbf {e} _{2},\end{aligned}}$

onde o primeiro paso utiliza a lei distributiva para o produto exterior, e o último usa o feito de que o produto exterior é un mapa alternante, e en particular $\mathbf {e} _{2}\wedge \mathbf {e} _{1}=-(\mathbf {e} _{1}\wedge \mathbf {e} _{2}).$ Nótese que o coeficiente desta última expresión é precisamente o determinante da matriz [v w] . O feito de que isto poida ser positivo ou negativo ten o significado intuitivo de que v e w poden estar orientados no sentido antihorario ou no sentido horario como os vértices do paralelogramo que definen. Tal área chámase área con signo do paralelogramo: o valor absoluto da área con signo é a área ordinaria e o signo determina a súa orientación.

En detalle, se A(v, w) denota a área con signo do paralelogramo do cal o par de vectores v e w forman dous lados adxacentes, entón A debe satisfacer as seguintes propiedades:

1. A(rv, sw) = rsA(v, w) para todo número real r, s.
2. A(v, v) = 0.
3. A(w, v) = −A(v, w).
4. A(v + rw, w) = A(v, w) para todo número rea r.
5. A(e₁, e₂) = 1.

O produto vectorial (vector azul) en relación co produto exterior (paralelogramo azul claro). A lonxitude do produto vectorial é proporcional á lonxitude do vector unitario paralelo (vermello) coa mesma proporción que o tamaño do produto exterior (paralelogramo azul claro) é ao tamaño do paralelogramo de referencia (vermello claro).

Produtos vectoriais e triplos

Descomposición en bases dun 2-vector

Para os vectores en R ³, a álxebra exterior está moi relacionada co produto vectorial e o produto triplo. Usando a base estándar {e₁, e₂, e₃}, o produto exterior dun par de vectores

$\mathbf {u} =u_{1}\mathbf {e} _{1}+u_{2}\mathbf {e} _{2}+u_{3}\mathbf {e} _{3}$

$\mathbf {v} =v_{1}\mathbf {e} _{1}+v_{2}\mathbf {e} _{2}+v_{3}\mathbf {e} _{3}$

sería

$\mathbf {u} \wedge \mathbf {v} =(u_{1}v_{2}-u_{2}v_{1})(\mathbf {e} _{1}\wedge \mathbf {e} _{2})+(u_{3}v_{1}-u_{1}v_{3})(\mathbf {e} _{3}\wedge \mathbf {e} _{1})+(u_{2}v_{3}-u_{3}v_{2})(\mathbf {e} _{2}\wedge \mathbf {e} _{3})$

onde {e₁ ∧ e₂, e₃ ∧ e₁, e₂ ∧ e₃} é a base para o espazo tridimensional ⋀²(R³). Os coeficientes anteriores son os mesmos que os da definición habitual do produto vectorial de vectores en tres dimensións, a única diferenza é que o produto exterior non é un vector común, senón que é un bivector.

Traendo un terceiro vector

$\mathbf {w} =w_{1}\mathbf {e} _{1}+w_{2}\mathbf {e} _{2}+w_{3}\mathbf {e} _{3},$

o produto exterior de tres vectores é

$\mathbf {u} \wedge \mathbf {v} \wedge \mathbf {w} =(u_{1}v_{2}w_{3}+u_{2}v_{3}w_{1}+u_{3}v_{1}w_{2}-u_{1}v_{3}w_{2}-u_{2}v_{1}w_{3}-u_{3}v_{2}w_{1})(\mathbf {e} _{1}\wedge \mathbf {e} _{2}\wedge \mathbf {e} _{3})$

onde e₁ ∧ e₂ ∧ e₃ é a base de vectores para o espazo un dimensional ⋀³(R³). O coeficiente escalar é o produto triplo dos tres vectores.

Definición formal

A álxebra exterior $\bigwedge (V)$ dun espazo vectorial $V$ sobre un corpo $K$ defínese como a álxebra cociente da álxebra tensorial T (V), onde

$T(V)=\bigoplus _{k=0}^{\infty }T^{k}V=K\oplus V\oplus (V\otimes V)\oplus (V\otimes V\otimes V)\oplus \cdots ,$

polo ideal bilateral $I$ xerado por todos os elementos da forma $x\otimes x$ tal que $x\in V$. Simbólicamente,

$\bigwedge (V):=T(V)/I.\,$

O produto exterior $\wedge$ de dous elementos de $\bigwedge (V)$ está definido por

$\alpha \wedge \beta =\alpha \otimes \beta {\pmod {I}}.$

Propiedades alxébricas

Produto alternante

O produto exterior é, por construción, alternante en elementos de $V$ o que significa que $x\wedge x=0$ para todos os $x\in V,$ pola construción anterior. Polo tanto, o produto tamén é anticomutativo en elementos de $V$ por exemplo, para $x,y\in V$

$0=(x+y)\wedge (x+y)=x\wedge x+x\wedge y+y\wedge x+y\wedge y=x\wedge y+y\wedge x$

polo tanto

$x\wedge y=-(y\wedge x).$

Potencia exterior

A k-ésima potencia exterior de $V$ ${\textstyle \bigwedge }^{\!k}(V)$, é o subespazo vectorial de ${\textstyle \bigwedge }(V)$ expandidos por elementos da forma

$x_{1}\wedge x_{2}\wedge \cdots \wedge x_{k},\quad x_{i}\in V,i=1,2,\dots ,k.$

Se $\alpha \in {\textstyle \bigwedge }^{\!k}(V)$ entón $\alpha$ dise que é un K-vector . Se, alén disto, $\alpha$ pódese expresar como un produto exterior de $k$ elementos de $V$ entón $\alpha$ dise que é descompoñíbel (ou simple, para algúns autores; ou unha lámina, para outros).

Base e dimensión

Se a dimensión de $V$ é $n$ e $\{e_{1},\dots ,e_{n}\}$ é unha base para $V$, entón o conxunto

$\{\,e_{i_{1}}\wedge e_{i_{2}}\wedge \cdots \wedge e_{i_{k}}~{\big |}~~1\leq i_{1}<i_{2}<\cdots <i_{k}\leq n\,\}$

é unha base ${\textstyle \bigwedge }^{\!k}(V)$. O motivo é o seguinte: dado calquera produto exterior da forma

$v_{1}\wedge \cdots \wedge v_{k},$

todo vector $v_{j}$ pódese escribir como unha combinación linear dos vectores base $e_{i}$ usando a bilinearidade do produto exterior, este pódese expandir a unha combinación linear de produtos exteriores deses vectores base.

En xeral, os coeficientes resultantes dos k-vectores da base pódense calcular como os menores da matriz que describe os vectores $v_{j}$ en termos da base $e_{i}$.

Calquera elemento da álxebra exterior pode escribirse como unha suma de k-vectores. Polo tanto, como espazo vectorial a álxebra exterior é unha suma directa

${\textstyle \bigwedge }(V)={\textstyle \bigwedge }^{\!0}(V)\oplus {\textstyle \bigwedge }^{\!1}(V)\oplus {\textstyle \bigwedge }^{\!2}(V)\oplus \cdots \oplus {\textstyle \bigwedge }^{\!n}(V)$

(onde, por convención, ${\textstyle \bigwedge }^{\!0}(V)=K$ o corpo $V$ ${\textstyle \bigwedge }^{\!1}(V)=V$), e polo tanto a súa dimensión é igual á suma dos coeficientes binomiais, que é $2^{n}$.

Rango dun k-vector

Se $\alpha \in {\textstyle \bigwedge }^{\!k}(V)$ entón é posíbel expresar $\alpha$ como unha combinación linear de k-vectores descompoñíbeis:

$\alpha =\alpha ^{(1)}+\alpha ^{(2)}+\cdots +\alpha ^{(s)}$

onde cada $\alpha ^{(i)}$ é descompoñíbel, digamos

$\alpha ^{(i)}=\alpha _{1}^{(i)}\wedge \cdots \wedge \alpha _{k}^{(i)},\quad i=1,2,\ldots ,s.$

O rango do k-vector $\alpha$ é o número mínimo de k-vectores descompoñíbeis nunha expansión deste tipo de $\alpha$. Isto é semellante á noción de rango tensorial.

Estrutura graduada

O produto exterior dun k-vector cun p-vector é un $(k+p)$-vector, invocando unha vez máis a bilinearidade. Como consecuencia, a descomposición de suma directa do apartado anterior

${\textstyle \bigwedge }(V)={\textstyle \bigwedge }^{\!0}(V)\oplus {\textstyle \bigwedge }^{\!1}(V)\oplus {\textstyle \bigwedge }^{\!2}(V)\oplus \cdots \oplus {\textstyle \bigwedge }^{\!n}(V)$

dálle á álxebra exterior a estrutura adicional dunha álxebra graduada, é dicir

${\textstyle \bigwedge }^{\!k}(V)\wedge {\textstyle \bigwedge }^{\!p}(V)\subset {\textstyle \bigwedge }^{\!k+p}(V).$

Propiedade universal

Sexa V un espazo vectorial sobre o corpo K. Informalmente, a multiplicación en ${\textstyle \bigwedge }(V)$ realízase manipulando símbolos e impoñendo unha lei distributiva, unha lei asociativa e utilizando a identidade $v\wedge v=0$ para v ∈ V.

Formalmente, ${\textstyle \bigwedge }(V)$ é a álxebra "máis xeral" na que se aplican estas regras para a multiplicación, no sentido de que calquera K-álxebra asociativa unitaria que conteña V con multiplicación alternante en V debe conter unha imaxe homomorfa de ${\textstyle \bigwedge }(V)$. Noutras palabras, a álxebra exterior ten a seguinte propiedade universal:

Dado calquera K-álxebra asociativa unitaria A e calquera K-mapa linear $j:V\to A$ tal que $j(v)j(v)=0$ para todo v en V, entón existe precisamente un homomorfismo de álxebra unitaria $f:{\textstyle \bigwedge }(V)\to A$ tal que j(v) = f(i(v)) para todo v en V (aquí i é a inclusión natural de V en ${\textstyle \bigwedge }(V)$ ver arriba).

Propiedade universal da álxebra exterior

Véxase tamén

Bibliografía

• Bishop, R.; Goldberg, S.I. (1980). Tensor analysis on manifolds. Dover. ISBN 0-486-64039-6. 

• Bourbaki, Nicolas (1989). Elements of mathematics, Algebra I. Springer-Verlag. ISBN 3-540-64243-9. 

  Esta é a principal referencia matemática para o artigo. ver §III.7 e §III.11.

• Bryant, R.L.; Chern, S.S.; Gardner, R.B.; Goldschmidt, H.L.; Griffiths, P.A. (1991). Exterior differential systems. Springer-Verlag. 

  Este libro contén aplicacións de álxebras exteriores a problemas en ecuacións diferenciais parciais .

• Mac Lane, S.; Birkhoff, G. (1999). Algebra. AMS Chelsea. ISBN 0-8218-1646-2. 

  Capítulo XVI seccións 6–10 dan unha explicación máis elemental da álxebra exterior.

• Sternberg, Shlomo (1964). Lectures on Differential Geometry. Prentice Hall. 

  Contén un tratamento clásico da álxebra exterior como tensores alternantes e aplicacións á xeometría diferencial.

Outros artigos

• Produto
• Álxebra de Clifford
• Álxebra tensorial
• Álxebra de Weyl
• Álxebra multilinear