Vector de onda

Na Galipedia, a Wikipedia en galego.

O vector de onda é un vector que apunta na dirección de propagación da onda en cuestión e cunha magnitude que é o número de onda. A súa expresión matemática é:


\bold{k} = k\bold{u} = \frac{2\pi}{\lambda} \bold{u}

onde \bold{u} é a dirección da propagación da onda. Deste modo, para unha onda xenérica teremos que:


 \Phi(\bold{r},t) = \Phi(\bold{k} \cdot \bold{r} -\omega t) =
\Phi(k_xx+k_yy+k_zz - \omega t)

Aplicacións[editar | editar a fonte]

Transversalidade das ondas electromagnéticas planas[editar | editar a fonte]

O formalismo mediante o vector de onda permite ver rapidamente que as ondas electromagnéticas planas son transversais, é dicir, a oscilación do campo eléctrico e magnético é perpendicular á dirección de propagación da onda e perpendiculares entre si.

Para demostrar isto consideramos unha onda electromagnética plana da forma:


 \bold{E}(\bold{r},t) = \bold{E_0} e^{i(\bold{k}\cdot\bold{r} -\omega t)}, 
\qquad \bold{B}(\bold{r},t) = \bold{B_0} e^{i(\bold{k}\cdot\bold{r} -\omega t)}

Supoñendo unha rexión do espazo sen densidade de carga \scriptstyle \rho = 0, a lei de Gauss para a diverxencia do campo eléctrico lévanos a que:


 \boldsymbol\nabla \cdot \bold{E} = i\bold{k}\cdot \bold{E_0} =
\frac{\rho}{\epsilon_0}=0

De onde obtemos a perpendicularidade entre o campo eléctrico e a dirección de propagación:

(*)

 \bold{\hat{u}} \cdot \bold{E_0}= 0  \Rightarrow\bold{\hat{u}} \cdot \bold{E} = 0
\qquad\Rightarrow\qquad \bold{E}\ \bot\ \bold{\hat{u}}

Usando agora a lei de Faraday para o rotacional do campo eléctrico temos:

(**)

 \boldsymbol\nabla \times \bold E = i\bold k \times \bold E
= -\frac{\part \bold B}{\part t}= i\omega\bold B

De (**), polas propiedades do produto vectorial, dedúcese:

 \bold{\hat u}\ \bot\ \bold B

Polo tanto das expresións (*) e (**) pode concluírse que o campo eléctrico é perpendicular ao vector de onda, e polo tanto á dirección de propagación, e que o campo magnético é perpendicular tanto á dirección de propagación como ao campo eléctrico, formando os vectores \scriptstyle \{\bold k, \bold E, \bold B\} un triedro que en cada punto do espazo constitúe unha base vectorial.