Transformada integral

Na Galipedia, a Wikipedia en galego.

En matemática, unha transformada integral é calquera transformada T da seguinte forma:

 (Tf)(u) = \int_{t_1}^{t_2} f(t)\, K(t, u)\, dt.

O input desta transformada é unha función f, e o output é outra función Tf.

Existen varias transformadas integrais uteis. Cada transformada correspone a unha diferente escolla da función K, que se chama de Kernel da transformada.

Táboa de Transformadas integrais
Transformada Símbolo Kernel t1 t2
Transformada de Fourier

\mathcal{F}

\frac{e^{iut}}{\sqrt{2 \pi}}

-\infty\, \infty\,
Transformada de Mellin

\mathcal{M}

t^{u-1}\,

0\, \infty\,
Transformada de Laplace dos dous lados

\mathcal{B}

e^{-ut}\,

-\infty\, \infty\,
Transformada de Laplace

\mathcal{L}

e^{-ut}\,

0\, \infty\,
TRansformada de Hankel

t\,X_\nu(ut)

0\, \infty\,
Transformada de Abel

\frac{t}{\sqrt{t^2-u^2}}

u\, \infty\,
Transformada de Hilbert

\mathcal{H}

\frac{1}{\pi}\frac{1}{u-t}

-\infty\, \infty\,
Transformada Identidade  

\delta (u-t)\,

t_1<u\, t_2>u\,

A pesar das propiedades das transformadas integrais variaren moito, elas teñen algunhas propiedades en común. Por exemplo, calquera transformada integral é un operador lineal, unha vez que o integral é un operador lineal e na verdade caso o kernel sexa permitido ser unha función xeneralizada, entón todos os operadores lineares transformanse integrais (o teorema kernel de Schwartz é unha versión formalizada desta afirmación).