Transformada de Laplace

Na Galipedia, a Wikipedia en galego.

En Matemática, e en particular na Análise funcional, a transformada de Laplace dunha función f(t) definida para todo número real t ≥ 0 é a función F(s), definida por:

F(s) 
  = \mathcal{L}\{f\}(s)
  =\int_0^\infty e^{-st} f(t)\,dt.

As propiedades desta transformada tórnanna útil para a análise de sistemas dinámicos lineares. A vantaxe máis interesante desta transformada é que a integración e a derivación tórnanse multiplicacións e divisións, da mesma maneira que o logaritmo transforma a multiplicación en adición. Ela permite levar a resolución de ecuacións diferenciais á resolución de ecuacións polinomiais, que son moito máis simples de resolver.

A transformada de Laplace ten o seu nome en homenaxe ao matemático francés Pierre Simon Laplace.

Notación en Enxeñaría/Física[editar | editar a fonte]

Un abuso ás veces conveniente de notación, que acontece principalmente entre enxeñeiros e físicos, exprime iso da forma seguinte:

F(s)
  = \mathcal{L} \left\{f(t)\right\}
  =\int_{0^-}^\infty e^{-st} f(t)\,dt.

Cando se fala de transformada de Laplace, reférese xeralmente á versión unilateral. Existe tamén a transformada de Laplace bilateral, que se define como segue:

F_B(s)
  = \left\{\mathcal{L} f\right\}(s)
  =\int_{-\infty}^{\infty} e^{-st} f(t)\,dt.

A transformada de Laplace F(s) existe tipicamente para todos os números reais s > a, onde a é unha constante que depende do comportamento de crecemento de f(t).

A transformada de Laplace tamén pode utilizarse na resolución de ecuacións diferenciais, e é extensamente utilizada en Enxeñaría eléctrica.

Un aspecto interesante da transformada de Laplace é que os matemáticos, ata hoxe, non coñecen o seu dominio. En outras palabras, non existe ningún conxunto de regras co cal se pode verificar se a transformada de Laplace pode ou non se aplicar a unha función.

Propiedades[editar | editar a fonte]

Linearidade[editar | editar a fonte]

\mathcal{L}\left\{a f(t) + b g(t) \right\}
  = a \mathcal{L}\left\{ f(t) \right\} +
    b \mathcal{L}\left\{ g(t) \right\}

Derivada[editar | editar a fonte]

\mathcal{L}\{f'\}
  = s \mathcal{L}\{f\} - f(0)
\mathcal{L}\{f''\}
  = s^2 \mathcal{L}\{f\} - s f(0) - f'(0)
\mathcal{L}\left\{ f^{(n)} \right\}
  = s^n \mathcal{L}\{f\} - s^{n - 1} f(0) - \cdots - f^{(n - 1)}(0)
\mathcal{L}\{ t f(t)\}
  = -F'(s)
\mathcal{L}\left\{ \frac{f(t)}{t} \right\} = \int_s^\infty F(\sigma)\, d\sigma

Integral[editar | editar a fonte]

\mathcal{L}\left\{ \int_0^t f(\tau) d\tau \right\}
  = {1 \over s} \mathcal{L}\{f\}

Composición[editar | editar a fonte]

\mathcal{L}\left\{ e^{at} f(t) \right\}
  = F(s - a) Amortización
\mathcal{L}^{-1} \left\{ F(s - a) \right\}
  = e^{at} f(t)
\mathcal{L}\left\{ f(ta) \right\}
  = e^{as}F(s) Atraso
\mathcal{L}\left\{ f(t - a) u(t - a) \right\}
  = e^{as} F(s)
\mathcal{L}^{-1} \left\{ e^{as} F(s) \right\}
  = f(t - a) u(t - a)

Nota: u(t) é a función de etapa de Heaviside.

Valor Final[editar | editar a fonte]

\lim_{t \to \infty} f(t)=\lim_{s \to 0} sF(s)

Convolución[editar | editar a fonte]

\mathcal{L}\{f \otimes g\}
  = \mathcal{L}\{ f \} \mathcal{L}\{ g \}

Transformada de Laplace dunha función de período p[editar | editar a fonte]

\mathcal{L}\{ f \}
  = {1 \over 1 - e^{-ps}} \int_0^p e^{-st} f(t)\,dt

Algunhas transformadas usuais[editar | editar a fonte]

Potencia n[editar | editar a fonte]

\mathcal{L}\{\,t^n\} = \frac {n!}{s^{n+1}}

Exponencial[editar | editar a fonte]

\mathcal{L}\{\,e^{-at}\} = \frac {1}{s+a}

Seno[editar | editar a fonte]

\mathcal{L}\{\,\sin(bt)\} = \frac {b}{s^2 + b^2}

Coseno[editar | editar a fonte]

\mathcal{L}\{\,\cos(bt)\} = \frac {s}{s^2 + b^2}

Seno hiperbólico[editar | editar a fonte]

\mathcal{L}\{\,\sinh(bt)\} = \frac {b}{s^2-b^2}

Coseno hiperbólico[editar | editar a fonte]

\mathcal{L}\{\,\cosh(bt)\} = \frac {s}{s^2 - b^2}
Demostracción
\mathcal{L}\{\,\cosh(bt)\} = \frac {1}{2} \mathcal{L}\{\,e^{bt}+e^{-bt}\} = 
  \frac {1}{2} (\mathcal{L}\{\,e^{bt}\} + \mathcal{L}\{\,e^{-bt}\}) =
  \frac {1}{2} (\frac {1}{s-b} + \frac {1}{s+b}) =
  \frac {1}{2} (\frac {s + b + s - b}{s^2-b^2}) =
  \frac {1}{2} (\frac {2s}{s^2-b^2}) =
  \frac {s}{s^2-b^2}

Logaritmo natural[editar | editar a fonte]

\mathcal{L}\{\,\ln(t)\} = - \frac{\ln(s)+\gamma}{s}

Raíz n[editar | editar a fonte]

\mathcal{L}\{\,\sqrt[n]{t}\} = s^{-\frac{n+1}{n}} \cdot \Gamma\left(1+\frac{1}{n}\right)

Función de Besel do primeiro tipo[editar | editar a fonte]

\mathcal{L}\{\,X_n(t)\} = \frac{\left(s+\sqrt{1+s^2}\right)^{-n}}{\sqrt{1+s^2}}

Función de Besel modificada do primeiro tipo[editar | editar a fonte]

\mathcal{L}\{\,I_n(t)\} = \frac{\left(s+\sqrt{-1+s^2}\right)^{-n}}{\sqrt{-1+s^2}}

Función erro[editar | editar a fonte]

\mathcal{L}\{\,\operatorname{erf}(t)\} = {e^{s^2/4} \operatorname{erfc} \left(s/2\right) \over s}


Outras transformadas comúns[editar | editar a fonte]

Transformada de Laplace Función no dominio Tempo 1 \delta(t), impulso unitario
\frac{1}{s} u(t), paso unitario
\frac{n!}{(s + a)^{n+1}} {e^{-at} t^n}
\frac{1}{(s+a)^n} \frac{t^{n-1}}{(n-1)!}e^{-at}
\frac{1}{s(s+a)} 1-e^{-at}
\frac{1}{(s+a)(s+b)} \frac{1}{ba}\left(e^{-at}-e^{-bt}\right)
\frac{s+c}{(s+a)^2+b^2} e^{-at}\left(\cos{(bt)}+\left(\frac{ca}{b}\right)\sin{(bt)}\right)
\frac{\sin\varphi s+a\cos\varphi}{s^2+a^2} \sin{(at+\varphi)}