Transformación de Lorentz

Hendrik Antoon Lorentz, no ano 1916

En física, a transformación de Lorentz é unha transformación de coordenadas dun referencial en repouso a outro en movemento, que é válida para todas as velocidades. É unha xeneralización relativística da transformada de Galileo.

Motivación orixinal

As transformadas de Lorentz foron deducidas polo físico holandés H. A. Lorentz ao pouco de facerse públicos os resultados do experimento Michelson-Morley (que non atopou proba algunha da existencia do éter) é publicadas, na opinion de George Gamow, coma un pasatempo matemático para facer concordar os resultados do experimento coa velocidade da luz consonte as ecuacións de Maxwell modificando as ecuacións da transformada de Galileo . Einstein foi o primeiro físico en considerar as transformadas de Lorentz coma esenciais para a comprensión física do espazotempo, pois manteñen a simetria respecto de referenciais en repouso ou en movemento. O raciocinio a seguir, atribuído a Einstein, ilustra intuitivamente a inconsistencia de aplicar a transformada de Galileo (que aplicaba Newton coma referenciais do espazo e tempo nas súas ecuacións físicas) á velocidade da luz, e outros corpos físicos a velocidades relativistas:

Considere que sexa posíbel a unha persoa viaxar á velocidade da luz. A luz, polas ecuacións de Maxwell, é unha oscilación dos campos eléctricos ‘‘‘E’‘‘ e magnéticos ‘‘‘B’‘‘, periódica no espazo e oscilante no tempo. No referencial desta persoa, a luz sería unha perturbación do campo electromagnético periódica no espazo e ‘‘constante no tempo’‘. Tal solución, no entanto, non existe como solución das ecuacións de Maxwell que gobernan a propagación da Luz.

Polo tanto resta unha alternativa:

1. Modificar as ecuacións Maxwell e manter a transformada de Galileo
2. Ou modificar a transformada de Galileo

Non basta dicir que, xa que as ecuacións de Maxwell confirmanse en laborátorio, debemos modificar as transformadas de Galileo. Estas transformadas tamén son importantes pois son a base de toda a Mecánica Clásica, que polo tanto debería ser revista.

Este impase foi resolvido en 1905 por Albert Einstein. A súa interpretación das Transformadas de Lorentz permitiu manter as ecuacións de Maxwell inalteradas, mais exixiu unha revisión completa dos conceptos de tempo e espazo tan caros e fundamentais á Mecánica Clásica.

A transformada de Lorentz

Para se chegar as ecuacións da transformada de Lorentz basta analizar como as ecuacións de Maxwell se comportan con relación a unha transformación xeral de coordenadas. Mais para simplificar a matemática, utilízase no lugar das ecuacións de Maxwell unha das súas solucións, isto é, a ecuación de onda no baleiro:

${\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial ^{2}x}}-{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial ^{2}t}}=0$

propagándose na dirección x con velocidade c.

Querse unha transformación lineal de coordenadas x, t para un novo referencial, x', t' que se move con velocidade ‘‘v’‘:

$x^{\prime }=\alpha x+\beta t$

$t^{\prime }=\gamma x+\delta t$

O problema é atopar $\alpha ,\beta ,\gamma ,\delta$ de forma a que a ecuación de onda enriba continúe sendo unha ecuación de onda no novo referencial. Substituíndo na ecuación de onda e resolvendo a ecuación para $(\alpha ,\beta ,\gamma ,\delta )$ obténse:

$\alpha ^{2}-{\frac {\beta ^{2}}{c^{2}}}=1$

${\frac {c^{2}\gamma }{\beta }}=1$

$\alpha =\delta$

Substituíndo na transformación lineal orixinal:

$x^{\prime }=\alpha \left(x+{\frac {\beta }{\alpha }}t\right)$

$t^{\prime }=\alpha \left({\frac {\beta }{c^{2}\alpha }}x-t\right)$

Comparando coa transformada de Galileo:

$x^{\prime }=x-v\cdot t$

$t^{\prime }=t$

atópase:

${\frac {\beta }{\alpha }}=-v$

$\alpha ={\frac {1}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}$

substituíndo na transformación lineal inicial, atópase a ‘‘‘transformada de Lorentz’‘‘ entre dous referenciais en movemento relativo con velocidade ‘‘v’‘:

$x^{\prime }={\frac {1}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}(x-v\cdot t)=\gamma (x-v\cdot t)$

$t^{\prime }={\frac {1}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}(t-{\frac {v}{c^{2}}}x)=\gamma (t-{\frac {v}{c^{2}}}x)$

Onde:

$\gamma ={\frac {1}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}$

chámase de factor de Lorentz.

Unha das conclusións máis espectaculares da transformada de Lorentz é obtida calculándose a velocidade de grupo dunha perturbación que se propaga neste referencial:

${\frac {dx^{\prime }}{dt^{\prime }}}={\frac {\alpha dx+\beta dt}{\gamma dx+\delta dt}}=c={\frac {dx}{dt}}$

Isto é a velocidade da luz é a mesma en calquera referencial inercial