Teorema do seno

Na Galipedia, a Wikipedia en galego.
Teorema do seno.

En trigonometría, o teorema do seno é unha relación de proporcionalidade entre as lonxitudes dos lados dun triángulo e os senos dos ángulos respectivamente opostos.

Se nun triángulo ABC, as medidas dos lados opostos aos ángulos A, B e C son respectivamente a, b, c, entón;

\frac{a}{\operatorname{sen}\,A} =\frac{b}{\operatorname{sen}\,B} =\frac{c}{\operatorname{sen}\,C}

Demostración[editar | editar a fonte]

A pesar de ser dos teoremas trigonométricos máis usados e de ter unha demostración particularmente simple, é pouco común que se presente.

O teorema dos senos establece que a/sin(A) é constante.

Dado o triángulo ABC, denotamos por O o seu circuncentro e debuxamos a súa circunferencia circunscrita. Prolongando o segmento BO até cortar a circunferencia, obtense un diámetro BP.

Agora, o triángulo PBC é recto, posto que BP é un diámetro, e ademais os ángulos A e P son iguais, porque ambos son ángulos inscritos que abren o segmento BC (Véxase definición de arco capaz). Por definición da función trigonométrica seno, tense

\operatorname{sen}\,A=\operatorname{sen}\,P=\frac{BC}{BP} = \frac{a}{2R}

onde R é o radio da circunferencia. Despexando 2R obtemos:

\frac{a}{\operatorname{sen}\,A} = 2R

Repetindo o procedemento cun diámetro que pase por A e outro que pase por C, chégase a que as tres fraccións teñen o mesmo valor 2R e polo tanto son iguais.

A conclusión que se obtén acostuma chamarse teorema dos senos xeneralizado e establece que para un triángulo ABC onde a, b, c son os lados opostos aos ángulos A, B, C respectivamente, se R denota o radio da circunferencia circunscrita, entón:

\frac{a}{\operatorname{sen}\,A} =\frac{b}{\operatorname{sen}\,B} =\frac{c}{\operatorname{sen}\,C}=2R

Pode enunciarse o teorema dunha forma alternativa:

Nun triángulo, o cociente entre cada lado e o seno do seu ángulo oposto é constante e igual ao diámetro da circunferencia circunscrita.

Aplicación[editar | editar a fonte]

O teorema do seno é utilizado para resolver problemas nos que se coñecen dous ángulos do triángulo e un lado oposto a un deles. Tamén se usa cando coñecemos dous lados do triángulo e un ángulo oposto a un deles.

Relación coa área do triángulo[editar | editar a fonte]

Dúas fórmulas para calcular a área dun triángulo

Para un triángulo ABC, a área calcúlase como ah/2 onde h é a medida da altura sobre a base a. Novamente, por definición de seno, tense sen C = h/b ou o que é o mesmo h = b sen C, de modo que se cumpre:

Area = \frac{a\;h}{2} = \frac{a\;b\,\;\operatorname{sen}\,C}{2}.

Mais, o teorema dos senos implica que c = 2R sen C, polo que ao substituír na expresión anterior obtense un novo teorema: Area=\frac{a\;h}{2} = \frac{a\;b\,\;\operatorname{sen}\,C}{2}=\frac{a\;b\;c}{4\;R}

Véxase tamén[editar | editar a fonte]

Outros artigos[editar | editar a fonte]