Teorema do coseno

Na Galipedia, a Wikipedia en galego.

O teorema do coseno é unha xeneralización do teorema de Pitágoras para triángulos non rectángulos que se utiliza, normalmente, en trigonometría.

O teorema relaciona un lado dun triángulo cos outros dous e co coseno do ángulo formado por estes dous lados:

Dado un triángulo ABC, sendo α, β, γ, os ángulos, e a, b, c, os lados respectivamente opostos a estes ángulos, entón:

c^2=a^2+b^2-2ab\,\cos(\gamma)

Na maioría dos idiomas, este teorema é coñecido co nome de teorema ou lei dos cosenos, denominación non obstante relativamente tardía. En francés leva o nome do matemático persa Ghiyath al-Kashi que unificou os resultados dos seus predecesores.[1]

Fig. 1 - Notación máis habitual dun triángulo.

Historia[editar | editar a fonte]

Os Elementos de Euclides, que data do século III a. C., contén xa unha aproximación xeométrica da xeneralización do teorema de Pitágoras: as proposicións 12 e 13 do libro II, tratan separadamente o caso dun triángulo obtusángulo e o dun triángulo acutángulo. A formulación da época é arcaica xa que a ausencia de funcións trigonométricas e da álxebra obrigou a razoar en termos de diferenzas de áreas.[2] Por iso, a proposición 12 utiliza estes termos:

«Nos triángulos obtusángulos, o cadrado do lado oposto ao ángulo obtuso é maior que os cadrados dos lados que comprenden o ángulo obtuso en dúas veces o rectángulo comprendido por un lado dos do ángulo obtuso sobre o que cae a perpendicular e a recta exterior cortada pola perpendicular, até o ángulo obtuso.»
Euclides, Elementos.[3]

Sendo ABC o triángulo, co ángulo obtuso en C, e BH a altura respecto do vértice B (cf. Fig. 2 contigua), a notación moderna permite formular o enunciado así:

Fig. 2 - Triángulo ABC con altura BH.

AB^2 = CA^2 + CB^2 + 2\ CA\ CH

Faltaba esperar a trigonometría árabe-musulmá da Idade Media para ver o teorema evolucionar: o astrónomo e matemático al-Battani[4] xeneralizou o resultado de Euclides na xeometría esférica a principios do século X, o que permitiu efectuar os cálculos da distancia angular entre o Sol e a Terra.[5][6] Foi durante o mesmo período cando se estableceron as primeiras táboas trigonométricas, para as funcións seno e coseno. Iso permitiulle a Ghiyath al-Kashi,[7] matemático da escola de Samarcanda, de poñer o teorema baixo unha forma utilizable para a triangulación durante o século XV. A propiedade foi popularizada en occidente por François Viète quen, ao parecer, redescubriuno independentemente.[8]

Foi a finais do século XVII cando a notación alxébrica moderna, canda a notación moderna das funcións trigonométricas introducida por Euler no seu libro Introductio in analysin infinitorum, permitiron escribir o teorema baixo a súa forma actual, estendéndose o nome de teorema (ou lei) do coseno.[9]

O teorema e as súas aplicacións[editar | editar a fonte]

O teorema do coseno é tamén coñecido polo nome de teorema de Pitágoras xeneralizado, xa que o teorema de Pitágoras é un caso particular: cando o ángulo \gamma \, é recto ou, dito doutro xeito, cando \cos\gamma = 0 \,, o teorema do coseno redúcese a:

\,c^2=a^2+b^2

que é precisamente a formulación do teorema de Pitágoras.

Fig. 3 - Utilización do teorema do coseno: ángulo ou lado descoñecido.

O teorema emprégase en triangulación (ver Fig. 3) para resolver un triángulo, e saber determinar

  • o terceiro lado dun triángulo cando coñecemos un ángulo e os lados adxacentes:

c = \sqrt{a^2+b^2-2ab\cos\gamma}.

  • os ángulos dun triángulo cando coñecemos os tres lados:

\gamma = \arccos \frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}.

Estas fórmulas son difíciles de aplicar no caso de medicións de triángulos moi agudos utilizando métodos simples, é dicir, cando o lado c é moi pequeno respecto os lados a e b —ou o seu equivalente, cando o ángulo γ é moi pequeno.

Existe un corolario do teorema do coseno para o caso de dous triángulos semellantes ABC e A'B'C'

\,cc' = aa' + bb' - (ab'+a' b)\cos\gamma.

Demostracións[editar | editar a fonte]

Por desglose de áreas[editar | editar a fonte]

Fig. 4a - Demostración do teorema do coseno por desglose de áreas, cando o ángulo é agudo.

Un certo número das demostracións do teorema fan intervir un cálculo de áreas. Convén en efecto remarcar que

  • , , c² son as áreas dos cadrados de lados respectivos a, b, c.
  • ab cos(γ) é a área dun paralelogramo de lados a e b que forman un ángulo de 90°-γ.

Dado que cos(γ) cambia de signo dependendo de se γ é maior ou menor a 90°, faise necesario dividir a proba en 2 casos

A figura 4a (contigua) divide un heptágono de dúas maneiras diferentes para demostrar o teorema do coseno no caso dun ángulo agudo. A división é a seguinte:

  • En verde, as áreas , á esquerda, e a área , á dereita.
  • En vermello, o triángulo ABC en ambos diagramas e en amarelo triángulos congruentes ao ABC.
  • En azul, paralelogramos de lados a e b con ángulo 90°-γ.

Igualando as áreas e cancelando as figuras iguais obtense que a^2+b^2 = c^2+2ab\, \cos\gamma, equivalente ao Teorema do coseno.

Fig. 4b - Demostración do teorema do coseno por desglose de áreas, cando o ángulo é obtuso.

A figura 4b (contigua) desglosa un hexágono de dúas maneiras diferentes para demostrar o teorema do coseno no caso dun ángulo obtuso. A figura mostra

  • En verde , á esquerda e á dereita.
  • En azul -2ab cos(γ), recordando que ao ser cos(γ) negativo, a expresión completa é positiva.
  • En vermello, dúas veces o triángulo ABC para ambos lados da figura.

Igualando áreas e cancelando as zonas vermellas dá \,a^2+b^2-2ab\cos\gamma = c^2, como queríamos demostrar.

Polo teorema de Pitágoras[editar | editar a fonte]

Notemos que o Teorema de Cosenos é equivalente ao Teorema de Pitágoras cando o ángulo \gamma é recto. Polo tanto só é necesario considerar os casos cando c é adxacente a dous ángulos agudos e cando c é adxacente a un ángulo agudo e un obtuso.

Primeiro caso: c é adxacente a dous ángulos agudos.

Caso 1: c é adxacente a dous ángulos agudos

Consideremos a figura adxunta. Polo teorema de Pitágoras, a lonxitude c é calculada así:

(left) c^2 = h^2 + u^2\,

Pero, a lonxitude h tamén se calcula así:

(left) h^2 = a^2 - (b-u)^2\,

Sumando ambas ecuacións e logo simplificando obtemos:

c^2 = a^2 - b^2 + 2bu\,

Pola definición de coseno, tense:

cos\gamma\,= \frac{b-u}{a}

e polo tanto:

 u = b- a \,\cos\gamma\,

Substituímos o valor de u na ecuación para c^2, concluíndo que:

 c^2 = a^2 +b^2 -2ab\, \cos \gamma

co que conclúe a proba do primeiro caso.

Segundo caso: c é adxacente a un ángulo obtuso.

Caso 2: c é adxacente a un ángulo obtuso

Consideremos a figura adxunta. O teorema de Pitágoras establece novamente c^2 = h^2 + u^2 pero neste caso h^2 = a^2 - (b+u)^2. Combinando ambas ecuacións obtemos  c^2 = u^2 + a^2 - b^2 - 2bu - u^2 e deste xeito:

c^2 = a^2 -b^2 -2bu\,.

Da definición de coseno, tense cos\gamma\,= \frac{b+u}{a} e polo tanto:

 u = a\, \cos\gamma -b\,.

Substituímos na expresión para e simplificamos c² = a²-b² -2b(a cos(γ)-b), concluíndo novamente

 c^2 = a^2 +b^2 -2ab\, \cos \gamma\,.

Isto conclúe a demostración.

É importante notar, que se se considera a u como un segmento dirixido, entón só hai un caso e as dúas demostracións convértense na mesma.

Pola potencia dun punto con respecto a un círculo[editar | editar a fonte]

Fig. 6 - Demostración do teorema do coseno utilizando a potencia dun punto con respecto a un círculo.

Consideremos un círculo con centro en B e radio BC, como na figura 6. Se AC é tanxente ao círculo, novamente tense o Teorema de Pitágoras. Cando AC non é tanxente, existe outro punto K de corte co círculo. A potencia do punto A con respecto a dito círculo é

AP\cdot AL=AC\cdot AK= AC (AC+CK).

Por outro lado, AL = c+a e AP = c-a de modo que

AP\cdot AL = (c+a)(c-a) = c^2 -a^2.

Ademais, CK= -2a cos(γ) polo que

AC(AC+CK) = b(b -2a\,cos(\gamma)).

Igualando as expresións obtidas chégase finalmente a:

c^2=a^2+b^2-2a\;b\,\cos(\gamma)

Contrariamente ás precedentes, para esta demostración, non é necesario recorrer a un estudo por caso pois as relacións alxébricas son as mesmas para o caso do ángulo agudo.

Polo cálculo vectorial[editar | editar a fonte]

Utilizando o cálculo vectorial, máis precisamente o produto escalar, é posible encontrar o teorema do coseno nalgunhas liñas:

c^2\, =\lVert\overrightarrow{\mathrm{AB}}\lVert^2
= \lVert\overrightarrow{\mathrm{CB}}-\overrightarrow{\mathrm{CA}}\lVert^2
=\lVert\overrightarrow{\mathrm{CB}}\lVert^2-2\cdot\overrightarrow{\mathrm{CB}}\cdot\overrightarrow{\mathrm{CA}}+\lVert\overrightarrow{\mathrm{CA}}\lVert^2
=\mathrm{CB}^2-2\cdot\left|\mathrm{CB}\right|\cdot\left|\mathrm{CA}\right|\cos\widehat{\mathrm{ACB}}+\mathrm{CA}^2
=a^2+b^2-2ab \cos\gamma\,

Xeneralización en xeometrías non euclidianas[editar | editar a fonte]

Fig. 7 - Triángulo esférico: dimensións reducidas a, b e c ; ángulos α, β e γ.

Para unha superficie non euclidiana de curvatura K, sinalamos con R o radio de curvatura. Este verifica

\,R = 1/\sqrt{|K|}.

Definimos entón as dimensións reducidas do triángulo:

\,a = BC/R,
\,b = AC/R,
\,c = AB/R.

No caso dun triángulo esférico, a, b e c corresponden á medida angular dos segmentos de circunferencia maximal[10] [BC], [AC] e [AB] (ver Fig. 7).

Xeometría esférica[editar | editar a fonte]

Artigo principal: Xeometría esférica.

Cando o radio de curvatura é moi grande comparado coas dimensións do triángulo, é dicir cando

\,a <\!\!< 1,

esta expresión simplifícase para dar a versión euclidiana do teorema do coseno. Para facelo, :\,\cos a = 1 - a^2/2 + O(a^3), etc.

Existe unha identidade similar que relaciona os tres ángulos:

\cos\gamma = - \cos\alpha\,\cos\beta + \sin\alpha\,\sin\beta\,\cos c


Xeometría hiperbólica[editar | editar a fonte]

Artigo principal: Xeometría hiperbólica.

Nun triángulo hiperbólico ABC, o teorema do coseno escríbese

\cosh c = \cosh a\,\cosh b - \sinh a\,\sinh b\,\cos\gamma.

Cando o radio de curvatura se volve moi grande fronte ás dimensións do triángulo, encontramos o teorema do coseno euclidiano a partir dos desenvolvementos limitados

\,\sinh a = a + O(a^3), etc.,
\,\cosh a = 1 + a^2/2 + O(a^3), etc.

Xeneralización no espazo euclidiano[editar | editar a fonte]

Fig. 8 - Tetraedro: vértices, caras e ángulos.

Consideremos un tetraedro A1A2A3A4 do espazo euclidiano, sendo:

\,\mathrm S_k a cara oposta ao vértice \mathrm A_k\ ;
\,s_k a superficie de \mathrm S_k\ ;
\,\Delta_k o plano que contén a cara \mathrm S_k\ ;
\,\theta_{ij} o ángulo diedral \widehat{(\Delta_i, \Delta_j)}.

(A figura 8, contigua, presenta a notación dos vértices, caras e ángulos do tetraedro).

Entón, as superficies e ángulos verifican:

\,s_4^2 = s_1^2+s_2^2+s_3^2 - 2s_1s_2\cos\theta_{12}\,
- 2s_1s_3\cos\theta_{13} - 2s_2s_3\cos\theta_{23}\,.


Notas[editar | editar a fonte]

  1. Kennedy, E S ; Debarnot, M.- T (1979). "Al-Kashi's Impractical Method of Determining the Solar Altitude". Journal for the History of Arabic Science Aleppo 3 (2). páx. 219-227. http://cat.inist.fr/?aModele=afficheN&cpsidt=12569968. Consultado o 21 de abril de 2012.
  2. Heath, Sir Thomas (1921). A history of Greek Mathematics vol. 1. Londres, Inglaterra: Oxford University Press. OCLC 2014918.
  3. "Proposición 12 del libro II de Los Elementos de Euclides". http://www.euclides.org/menu/elements_esp/02/proposicioneslibro2.htm#12. Consultado o 21 de abril de 2012.
  4. "Esquema del desarrollo histórico de la matemática". pp. páx. 6. http://ing.unne.edu.ar/Matem_diccion/p1105_historia_de_%20la_matematica.pdf. Consultado o 21 de abril de 2012.
  5. O'Connor, John J.; Robertson, Edmund F.. "Biografía de Abu Abdallah Mohammad ibn Jabir Al-Battani" (en inglés). MacTutor History of Mathematics archive. Universidade de Saint Andrews. http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/Biographies/Abu%27l-Wafa.html. Consultado o 21 de abril de 2012.
  6. "La trigonometria àrab, Al-Battani, Abu’l-Wafa, Ibn Yunus, Nasir al-Tusi" (html). http://www.mallorcaweb.net/mamaguena/arabs/trigo/trigo.html. Consultado o 21 de abril de 2012.
  7. "Al-Kashi, Gamshid ibn Messaoud". http://serge.mehl.free.fr/chrono/Alkashi.html. Consultado o 21 de abril de 2012.
  8. Viète, François (1579). Canon mathematicus seu ad triangula. Lutetia Mettayer. OCLC 165919384.
  9. Boyer, Carl B.; Uta C. Merzbach (1968). A History of Mathematics. New York: Estados Unidos: John Wiley & Sons. pp. 439–445. ISBN 0-471-54397-7.
  10. Na xeometría esférica o concepto de liña recta é reemprazado polo de xeodésica, que é a distancia máis curta entre dous puntos dados da mesma e esta é sempre unha liña que debe pertencer a unha circunferencia máxima (tamén chamada maximal). As circunferencias máximas son as liñas de intersección entre a superficie esférica e calquera plano que pase polo centro da mesma, con estas restricións pódese falar tamén de triángulos de lados xeodésicos. Os triángulos esféricos non cumpren con que a suma dos seus ángulos internos sexa 180°, mais a desigualdade triangular segue vixente na xeometría esférica.

Véase también[editar | editar a fonte]

Outros artigos[editar | editar a fonte]

Bibliografía[editar | editar a fonte]