Teorema de Green

Na Galipedia, a Wikipedia en galego.

En física e matemáticas, o teorema de Green dá a relación entre unha integral de liña sobre unha curva pechada simple C e unha integral doble sobre a rexión plana D limitada por C. O teorema de Green chámase así polo científico británico George Green e é un caso especial do máis xeral teorema de Stokes. O teorema afirma:

Sexa C unha curva pechada simple positivamente orientada, diferenciable a cachos, no plano e sexa D a rexión limitada por C. Se L e M teñen derivadas parciais continuas nunha rexión aberta que contén D,
\int_{C^{+}} (L\, dx + M\, dy) = \int\!\!\!\int_{D} \left(\frac{\partial M}{\partial x} - \frac{\partial L}{\partial y}\right)\, dA


Ás veces, a notación

\oint_{C^{+}} (L\, dx + M\, dy)

utilízase para establecer que a integral de línea está calculada usando a orientación positiva (antihoraria) da curva pechada C.

Relación co teorema da diverxencia[editar | editar a fonte]

O teorema de Green é equivalente á seguinte analoxía bidimensional do teorema de Stokes:


\iint_D\left(\nabla\cdot\mathbf{F}\right)dA=\int_C \mathbf{F} \cdot \mathbf{\hat n} ds, onde \mathbf{\hat n} é o vector normal saínte na fronteira.

Para ver isto, considere a unidade normal na parte dereita da ecuación. Como d\mathbf{r} = \langle dx, dy\rangle é un vector apuntando tanxencialmente a través dunha curva, e a curva C está orientada de maneira positiva (é dicir, en contra do sentido das agullas do reloxo) a través da frontera, un vector normal saínte sería aquel que apunta en 90º cara a dereita, o cal podería ser \langle dy, -dx\rangle. O módulo deste vector é \sqrt{dx^2 + dy^2} = ds. Polo tanto \mathbf{\hat n} ds = \langle dy, -dx\rangle.

Tomando as compoñentes de \mathbf{F} = \langle P, Q\rangle, o lado dereito convértese en

\int_C \mathbf{F} \cdot \mathbf{n} ds = \int_C (P dy - Q dx)

que por medio do teorema de Green resulta:

\int_C (-Q dx + P dy) = \iint_{D} \left(\frac{\partial P}{\partial x} + \frac{\partial Q}{\partial y}\right)\, dA = \iint_D\left(\nabla\cdot\mathbf{F}\right)dA

Véxase tamén[editar | editar a fonte]

Outros artigos[editar | editar a fonte]

Ligazóns externas[editar | editar a fonte]