Regra de Simpson

A función f(x) (azul) é aproximada por unha función cuadrática P(x) (vermello).

Na análise numérica, a regra ou método de Simpson (chamada así na honra de Thomas Simpson) é un método de integración numérica que se utiliza para obter a aproximación da integral:

$\int_{a}^{b} f(x) \, dx \approx \frac{b-a}{6}\left[f(a) + 4f\left(\frac{a+b}{2}\right)+f(b)\right]$.

Derivación da regra de Simpson

Consideramos o polinomio interpolante de orde dous $\mathrm{P_2(x)}$, que se aproxima a función integrando $\mathrm{f(x)}$ entre os nodos x₀ = a, x₁ = b e m = (a+b)/2. A expresión dese polinomio interpolante, expresado a través da Interpolación polinómica de Lagrange é:

$P_2(x)=f(a)\frac{(x-m)(x-b)}{(a-m)(a-b)}+ f(m)\frac{(x-a)(x-b)}{(m-a)(m-b)}+ f(b)\frac{(x-a)(x-m)}{(b-a)(b-m)} .$

Así, a integral buscada pódese aproximar como:

$\int_{a}^{b} f(x) \, dx\approx \int_{a}^{b} P_2(x) \, dx =\frac{h}{3}\left[f(a) + 4f(m)+f(b)\right].$

Error

O erro de aproximar a integral mediante o método de Simpson é

$-\frac{h^5}{90}f^{(4)}(\xi),$

onde $h=(b-a)/2$ e $\xi \in [a, b]$.

Regra de Simpson composta

No caso de que o intervalo [a,b] non sexa o suficientemente pequeno, o erro ao calcular a integral pode ser moi grande. Para iso, recórrese á fórmula composta de Simpson. Dividiremos o intervalo [a,b] en n subintervalos iguais, de xeito que $x_i = a + ih$, onde $h = (b-a)/2n$ para $i = 0, 1, ..., n$.

Aplicando a Regra de Simpson a cada subintervalo, temos:

$\int_{x_{j-1}}^{x_j} f(x)\, dx = \frac{x_{j}-x_{j-1}}{6}\left[f(x_{j-1}) + 4f\left(\frac{x_{j-1}+x_j}{2}\right)+f(x_j)\right] j=1, ..., n.$

Sumando as integrais de todos os subintervalos, chegamos a que:

$\int_a^b f(x) \, dx\approx \frac{h}{3}\bigg[f(x_0)+2\sum_{j=1}^{n/2-1}f(x_{2j})+ 4\sum_{j=1}^{n/2}f(x_{2j-1})+f(x_n) \bigg],$

O máximo error vén dado pola expresión $-\frac{h^4}{180}(b-a)f^{(4)}(\xi).$