Produto tensorial

Na Galipedia, a Wikipedia en galego.

Nas matemáticas, o produto tensorial, denotado por \otimes, pódese aplicar en diversos contextos de vectores, matrices, tensores e espazos vectoriais. En cada caso a significación do símbolo é a mesma: a operación bilinear máis xeral.

Un caso representativo é o produto de Kronecker de dúas matrices calquera. Exemplo:

\begin{bmatrix}a_1 \\ a_2 \\  a_3\end{bmatrix} \otimes \begin{bmatrix}b_1 & b_2 & b_3 & b_4\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}a_1b_1 & a_1b_2 & a_1b_3 & a_1b_4 \\ a_2b_1 & a_2b_2 & a_2b_3 & a_2b_4 \\ a_3b_1 & a_3b_2 & a_3b_3 & a_3b_4 \end{bmatrix}

rango resultante = 2, dimensión resultante = 3x4.

Aquí o rango denota o número de índices indispensables, mentres que a dimensión conta o número de graos de liberdade na matriz que resulta.

Definición formal[editar | editar a fonte]

Produto tensorial de grupos abelianos[editar | editar a fonte]

Sexan M e N dous grupos abelianos. Consideramos o grupo abeliano libre \mathbb{Z}^{(M \times N)} de M e N. Este grupo abeliano é o formado por aplicacións

f_{(m,n)}: M \times N \longrightarrow \mathbb{Z}

de forma que eventualmente f_{(m,n)}=0 (p.e., para cada (m,n) \in M \times N: f_{(m,n)}(a,b)=0 excepto para unha cantidade finita de elementos (a,b) \in M \times N). Como todo grupo abeliano, podemos consideralo como \mathbb{Z}-módulo. Baixo esta óptica, o grupo abeliano libre \mathbb{Z}^{(M \times N)} pode expresarse como o conxunto das combinacións \mathbb{Z}-lineares dos elementos:

\{e_{(m,n)}:M \times N \longrightarrow \mathbb{Z} : (m,n) \in M \times N, e_{(m,n)}(a,b) = \delta_{(m,n)}(a,b)\}

onde \delta_{(m,n)} é a delta de Kronecker do elemento (m,n) 
\in M \times N, que é unha función M \times N \longrightarrow \{0,1\} de forma que \delta_{(m,n)}(a,b)=1 se e só se m=a e n=b, e 0 en calquera outro caso.

Tomando agora o conxunto dos f_{(m,n)} \in  \mathbb{Z}^{(M \times N)} de forma que, calquera que sexan m \in M e n \in N é

f_{(m,n)} = e_{(m_1 + m_2,n)} - e_{(m_1,n)} - e_{(m_2,n)}

para algúns m_1, m_2 \in M ou ben

f_{(m,n)} = e_{(m,n_1 + n_2)} - e_{(m,n_1)} - e_{(m,n_2)}

para algúns n_1, n_2 \in N. Denominamos K o subgrupo xerado por este conxunto. É un subgrupo normal (xa que é un subgrupo dun grupo abeliano) de \mathbb{Z}^{(M \times N)}.

O produto tensorial de M e N é o grupo cociente \frac{\mathbb{Z}^{(M \times N)}}{K}. Denótase por M \otimes N. A clase de equivalencia do elemento e_{(m,n)} denótase m \otimes n.

Produto tensorial de módulos[editar | editar a fonte]

Sexan R un anel unitario, M un R-módulo a dereitas e N un R-módulo a esquerdas. Consideramos o módulo libre R^{(M \times N)} de M e N. Tomando agora o conxunto dos f_{(m,n)} \in  R^{(M \times N)} de forma que, calquera que sexan m \in M e todo n \in N é

f_{(m,n)} = e_{(m_1 + m_2,n)} - e_{(m_1,n)} - e_{(m_2,n)}

para algúns m_1, m_2 \in M, ou ben f_{(m,n)} = e_{(m,n_1 + n_2)} - e_{(m,n_1)} - e_{(m,n_2)} para algúns n_1, n_2 \in N, ou ben

f_{(m,n)} = e_{(m_1 \cdot r,n_1)} - e_{(m_1,r \cdot n_1)}

para algúns r \in R, m_1 \in M e n_1 \in N. Denominamos K o submódulo xerado por este conxunto.

O produto tensorial de M e N é o grupo cociente \frac{R^{(M \times N)}}{K}. Denótase por M \otimes_R N. A clase de equivalencia do elemento e_{(m,n)} denótase m \otimes n.

Produto tensorial de dous tensores[editar | editar a fonte]

Véxase tamén: Cálculo tensorial.

Hai unha fórmula particular para o produto de dous (ou máis) tensores

(V \otimes U)_{i_1,i_2,...,i_n,j_1,j_2,...,j_m} = V_{i_1,i_2,...i_n}U_{j_1,j_2,...,j_m},

onde se esta asumindo, para simplificar, tensores ortogonais, sen distinción entre índices covariantes e contravariantes.

Os parámetros introducidos arriba traballan así:

{\rm rank}( U \otimes V )={\rm rank}(U)+{\rm rank}(V)
{\rm dim}( U \otimes V )={\rm dim}(U) \cdot {\rm dim}(V)

Produto tensorial de funciones multilineares[editar | editar a fonte]

Dadas as funcións multilineares f(x1... xk) e g(x1... xm) o seu produto tensorial é a función multilinear  (f \otimes g) (x_1,...x_{k+m})=f(x_1,...x_k)g(x_{k+1},... x_{k+m})

Produto tensorial de espazos vectoriais[editar | editar a fonte]

O produto V \otimes W de dous espazos vectoriais V e W teñen unha definición formal polo método de xeradores e relacións. A clase de equivalencia de (v, w) chámase un tensor e é denotada por v \otimes w. Por construción, pódese probar só tantas identidades entre os tensores, e as sumas de tensores, como se seguen das relacións usadas.

Tómese o espazo vectorial xerado por W x V e aplíquense (factorizar os subespazos xerados) as relacións multilineares detalladas abaixo. Con esta notación as relacións toman a forma:

  • (v_1+v_2)\otimes w=v_1\otimes w+v_2\otimes w
  • v\otimes (w_1+w_2)=v\otimes w_1+v\otimes w_2
  • cv\otimes w=v\otimes cw=c(v\otimes w)
  • cada elemento do produto tensorial é unha suma finita de tensores: requírese máis dun tensor xeralmente para facer iso. Móstrase simplemente como construír unha base dos V \otimes W.

Dadas bases para V e W, o conxunto de produtos tensoriais dos vectores de base, un de V e un de W, fórmase unha base para V \otimes W.

A dimensión do produto tensorial polo tanto é o produto de dimensións.

Propiedade universal do produto tensorial[editar | editar a fonte]

Sexan G un grupo abeliano, R un anel unitario, M un R-módulo a dereitas, N un R-módulo a esquerdas e f: M \times N \longrightarrow G unha aplicación R-equilibrada (se M e N os consideramos só como grupos abelianos, entón R = \mathbb{Z}; se fosen M e N espazos vectoriais, entón R sería un corpo, se M e N fosen espazos vectoriais reais, sería R = \mathbb{R}). Existe un único homomorfismo de grupos \varphi \in \hom(M \otimes_R N,G) de maneira que \varphi(m \otimes n)= f(m,n), calquera que sexan m \in M e n \in N.

Particularización a espazos vectoriais reais[editar | editar a fonte]

O espazo de todos as funcións bilineares desde V x W a R é naturalmente isomorfo ao espazo de todas as funcións lineares de V \otimes W a R. Isto é por construción: V \otimes W teñen só as relacións que son necesarias para asegurarse de que un homomorfismo dos V \otimes W a R será bilinear.

Produto tensorial de espazos de Hilbert[editar | editar a fonte]

O produto tensorial de dous espazos de Hilbert é outro espazo de Hilbert, que se define segundo o descrito abaixo.

Definición[editar | editar a fonte]

Sexan H1 e H2 dous espazos de Hilbert cos produtos internos < ·, ·>1 e < ·, ·>2, respectivamente. Constrúese o produto tensorial de H1 e H2 como espazos vectoriais segundo o explicado arriba. Podemos converter este produto tensorial de espazos vectoriais nun con produto escalar definindo:

 \langle\phi_1\otimes\phi_2,\psi_1\otimes\psi_2\rangle = \langle\phi_1,\psi_1\rangle_1 \, \langle\phi_2,\psi_2\rangle_2 \quad \forall \phi_1,\psi_1 \in H_1 \mbox{ y } \phi_2,\psi_2 \in H_2

e estendendo por linearidade. Finalmente, tomamos completación deste produto interno. O resultado é o produto tensorial de H1 e H2 como espazos de Hilbert.

Propiedades[editar | editar a fonte]

Se H1 e H2 teñen bases ortonormaisk} e {ψl}, respectivamente, entón {φk⊗ψl} son unha base ortonormal para H1H2.

Exemplos e aplicacións[editar | editar a fonte]

Os exemplos seguintes mostran que os produtos tensoriais se presentan naturalmente.

Dados dous espazos de medida X e Y, con μ e ν as medidas respectivamente, un pode considerar L²(X × Y), o espazo das funcións en X × Y que son cadrado-integrables con respecto á medida produto μ × ν. Se f é unha función cadrado-integrable en X, e g é unha función cadrado-integrable en Y, entón podemos definir unha función h en X × Y por h(x, y) = f(x) g(y). A definición da medida produto asegúranos que todas as funcións desta forma son cadrado-integrables, así que esta define unha función bilinear de L²(X) × L²(Y) → L²(X × Y). As combinacións lineares das funcións da forma f(x) g(y) están tamén en L²(X × Y). Resulta que o conxunto de combinacións lineares é de feito denso en L²(X × Y), se L²(X) e L²(Y) son separables. Isto demostra que L²(X) ⊗ L²(Y) é isomorfo a L²(X × Y), e tamén explica porque necesitamos tomar a completación na construción do produto tensorial do espazo de Hilbert.

Semellantemente, podemos demostrar que L²(X; H), denotando o espazo das funcións cadrado-integrables de XH, é isomorfo ao L²(X) ⊗ H se este espazo é separable. O isomorfismo manda f(x) ⊗ψ ∈ L²(X)⊗ H a f(x)ψ ∈ L²(X; H). Podemos combinar isto co exemplo anterior e concluír que L²(X) ⊗ L²(Y) e L²(X × Y) son ambos isomorfos a L²(X; L²(Y)).

Os produtos tensoriais dos espazos de Hilbert preséntanse a miúdo na mecánica cuántica. Se unha certa partícula é descrita polo espazo de Hilbert H1, e se describe outra partícula por H2, entón o conxunto que consiste en ambas partículas é descrito polo produto tensorial de H1 e H2. Por exemplo, o espazo de estado dun oscilador harmónico cuántico é L²(R), así que o espazo de estado de dous osciladores é L²(R) ⊗ L²(R ), o cal é isomorfo a L²(R²). Polo tanto, o conxunto de dúas partículas é descrito polas funcións da onda da forma φ(x1, x2). Un exemplo máis intrincado é proporcionado polos espazos de Fock, que describen un número variable de partículas.

Descrición intrínseca[editar | editar a fonte]

Na álxebra abstracta, a álxebra linear é elevada a álxebra multilinear introducindo o produto tensorial de dous espazos vectoriais. Introdúcese para reducir o estudo dos operadores bilineares ao dos operadores lineares. Isto é suficiente para facer o mesmo con todas as funcións multilineares.

Formalmente, o produto tensorial dos dous espazos vectoriais V e W sobre o mesmo corpo base F é definido pola seguinte propiedade universal: é un espazo vectorial T sobre F, xunto cun operador bilinear:  \otimes : V \times W \rarr T, tales que para cada operador bilinear B : V \times W \rarr X existe un operador linear L único: L: T → X con B = L \circ \otimes, i.e.  B(x,y) = L(x \otimes y) para todo x en V e y en W.

O produto tensorial é único salvo isomorfismo, especificado univocamente por este requisito, e podemos polo tanto escribir V \otimes W en vez de T. Pola construción directa, segundo o suxerido na sección anterior, un pode demostrar que existe o produto tensorial para dous espazos vectoriais calquera. O espazo V \otimes W é xerado pola imaxe da  \otimes e aínda máis: se S é unha base de V e T é unha base de W, entón os s \otimes t (tal que s\in S e t\in T) son unha base para V \otimes W.

A dimensión do espazo polo tanto está dada polo produto das dimensións de V e de W. É posible xeneralizar a definición a un produto tensorial de calquera número de espazos. Por exemplo, a propiedade universal de V \otimes W \otimes X é que cada operador tri-linear en V \times W \times X corresponde a un operador linear único en V \otimes W \otimes X.

O produto binario tensorial é asociativo:  (V \otimes W) \otimes Z é naturalmente isomorfo a V \otimes (W \otimes Z).

O produto tensorial dos tres pódese polo tanto identificar con calquera deses: o binario  \otimes será suficiente. Os espazos tensoriais permiten que utilicemos a teoría de operadores lineares para estudar operadores multilineares, onde o caso bilinear é o principal.

Relación co espazo dual[editar | editar a fonte]

Nótese que o espazo  (V \otimes W)^\star (espazo dual de V \otimes W que contén todos os funcionais lineares nese espazo) corresponde naturalmente ao espacio de todos os funcionais bilineares nos V \times W. É dicir, cada funcional bilinear é un funcional no produto tensorial, e viceversa. Cando os espazos V e W son de dimensión finita, existe un isomorfismo natural entre  V^\star \otimes W^\star e (V \otimes W)^\star. Así pois, os tensores dos funcionais lineais son funcionais bilineares. Isto dános unha nova maneira de mirar o espazo de funcionais bilineares: como produto tensorial. No caso de dimensión arbitraria, tan só temos a inclusión  V^\star \otimes W^\star\subset(V \otimes W)^\star.

Tipos de tensores, v.g. alternantes[editar | editar a fonte]

Os subespazos lineares de operadores bilineares (ou en xeral, operadores multilineares) determinan espazos cociente naturais do espazo tensorial, que son con frecuencia útiles. Vexa produto cuña para o primeiro exemplo principal. Outro sería o tratamento das formas alxébricas como tensores anti-simétricos.

Sobre aneis máis xerais[editar | editar a fonte]

É tamén posible xeneralizar a definición para os produtos tensoriais de módulos sobre o mesmo anel. Se o anel é non conmutativo, necesitaremos ter coidado en distinguir os módulos dereitos e os módulos esquerdos. Escribiremos RM para un módulo esquerdo, e MR para un módulo dereito. Se un módulo M ten unha estrutura esquerda de módulo sobre un anel R e unha estrutura de módulo dereito sobre un anel S, e ademais para cada m en M, r en R e s en S temos r(ms) = (rm)s, entón diremos que M é un bimódulo, e notarémolo RMS. Nótese que cada módulo esquerdo é un bimódulo con Z actuando por mn = m + m +... +m de m como o anel dereito, e viceversa.

Ao definir o produto tensorial, necesitamos ser coidadosos respecto ao anel: a maioría dos módulos pódense considerar como distintos módulos sobre diversos aneis ou sobre o mesmo anel con diversas accións do anel nos elementos do módulo. A forma máis xeral da definición de produto tensorial é como segue: Sexan MR e RN un módulo dereito e un módulo esquerdo, respectivamente. O seu produto tensorial R é un grupo abeliano P xunto cun operador R-bilineal T: M x NP tal que para cada operador R-bilinear B: M x NO hai un homomorfismo de grupos único L: PO tales que L ou T = B. P non necesita ser un módulo sobre R. Mais se S1MR é un S1-R-bimódulo, entón hai unha única estrutura de S1-módulo esquerdo en P que é compatible con T. Similarmente RMS2 é un R-S2-bimódulo, entón semellantemente hai unha única estrutura de S2-módulo dereito en P que é compatible con T. Se M e N son ambos bimódulos, entón P é tamén un bimódulo, outra vez dunha maneira única. (P, T) é único salvo un isomorfismo único, e chámaselle "produto tensorial" de M e N. Se R é un anel, RM é un R-módulo esquerdo, e o conmutador rs-sr de dous elementos calquera r e s de R está no anulador de M, entón pódese facer de M un módulo dereito de R fixando mr=rm. Obsérvese que nesta situación a acción de R en M factoriza por unha acción do anel comutativo R/Z(R), i.e. R módulo o seu centro. Neste caso o produto tensorial de M consigo mesmo sobre R é outra vez un R-módulo. Se M e N é ambos R-módulos que satisfán esta condición, entón o seu produto tensorial é outra vez un R-módulo. Isto é unha técnica moi común na álxebra comutativa.

Exemplo: Considere os números racionais Q e os enteros módulo n Zn. Ambos pódense considerar como módulos sobre os números enteiros, Z. Sexa B: Q x ZnM sexa un operador Z-bilinear. Entón B(q, i) = B(q/n, n*i) = B(q/p, 0) = 0, así que cada operador bilinear é identicamente cero. Polo tanto, se definimos P como o módulo trivial, e T como a función bilinear cero, entón as propiedades para o produto tensorial son satisfeitas. Polo tanto, o produto tensorial de Q e Zn é {0}.

Véxase tamén[editar | editar a fonte]

Outros artigos[editar | editar a fonte]

Ligazóns externas[editar | editar a fonte]