Produto interno

Na Galipedia, a Wikipedia en galego.

En Matemática, chámase produto interno a unha función de dous vectores que satisface determinados axiomas. O produto escalar, comumente usado na xeometría euclidiana, é un caso especial de produto interno.

Definicións[editar | editar a fonte]

Sexa V un espazo vectorial sobre un corpo K. En V, podemos definir a función binaria \langle \cdot,\cdot\rangle: V \times V \rightarrow K (denominada produto interno), que satisfaz os seguintes axiomas:

\langle u,v\rangle  = \overline{\langle v,u\rangle }
\langle u+v, w\rangle  = \langle u,w\rangle  + \langle v,w\rangle
\langle \lambda u, v\rangle  = \lambda \langle u, v\rangle
Se v \ne 0, entón \langle v, v\rangle > 0

onde u, v e w son vectores de V, e λ é un elemento de K.

A partir deses axiomas, é posíbel probar as seguintes consecuencias:

\langle u, v+w\rangle  = \langle u, v\rangle  + \langle u, w\rangle
\langle u, \lambda v\rangle  = \overline{\lambda}\langle u,v\rangle
Se v = 0, entón \langle v, v\rangle  = 0
Se \langle v, v\rangle  = 0, entón v = 0

Exemplos[editar | editar a fonte]

O produto escalar sobre o espazo vectorial \mathbb{R}^3 satisfaz os axiomas do produto interno e é definido por:

\langle (x_1, y_1, z_1), (x_2, y_2, z_2)\rangle = x_1x_2 + y_1y_2 + z_1z_2

Se f e g son dúas funcións, é posíbel definir o produto interno:

 \langle f, g \rangle = \int f(x)\overline{g(x)}\,dx

Aplicacións[editar | editar a fonte]

A partir do produto interno, é posíbel definir os conceptos de ortogonalidade, norma e distancia entre vectores.


Véxase tamén[editar | editar a fonte]