Produto interno

En Matemática, chámase produto interno a unha función de dous vectores que satisface determinados axiomas. O produto escalar, comumente usado na xeometría euclidiana, é un caso especial de produto interno.

Definicións

Sexa V un espazo vectorial sobre un corpo K. En V, podemos definir a función binaria $\langle \cdot,\cdot\rangle: V \times V \rightarrow K$ (denominada produto interno), que satisfaz os seguintes axiomas:

$\langle u,v\rangle = \overline{\langle v,u\rangle }$

$\langle u+v, w\rangle = \langle u,w\rangle + \langle v,w\rangle$

$\langle \lambda u, v\rangle = \lambda \langle u, v\rangle$

Se $v \ne 0$, entón $\langle v, v\rangle$> $0$

onde u, v e w son vectores de V, e λ é un elemento de K.

A partir deses axiomas, é posíbel probar as seguintes consecuencias:

$\langle u, v+w\rangle = \langle u, v\rangle + \langle u, w\rangle$

$\langle u, \lambda v\rangle = \overline{\lambda}\langle u,v\rangle$

Se $v = 0$, entón $\langle v, v\rangle = 0$

Se $\langle v, v\rangle = 0$, entón $v = 0$

Exemplos

O produto escalar sobre o espazo vectorial $\mathbb{R}^3$ satisfaz os axiomas do produto interno e é definido por:

$\langle (x_1, y_1, z_1), (x_2, y_2, z_2)\rangle = x_1x_2 + y_1y_2 + z_1z_2$

Se f e g son dúas funcións, é posíbel definir o produto interno:

$\langle f, g \rangle = \int f(x)\overline{g(x)}\,dx$

Aplicacións

A partir do produto interno, é posíbel definir os conceptos de ortogonalidade, norma e distancia entre vectores.

Véxase tamén

• Álxebra
• Produto externo