Produto interno

Na Galipedia, a Wikipedia en galego.

En Matemática, chámase produto interno (ou interior) a unha función de dous vectores que satisface determinados axiomas. O produto escalar, comumente usado na xeometría euclidiana, é un caso especial de produto interno.

Definicións[editar | editar a fonte]

Sexa V un espazo vectorial sobre un corpo K. En V, podemos definir a función binaria \langle \cdot,\cdot\rangle: V \times V \rightarrow K (denominada produto interno), que satisfai os seguintes axiomas:

  1. \langle u,v\rangle  = \overline{\langle v,u\rangle }
  2. \langle u+v, w\rangle  = \langle u,w\rangle  + \langle v,w\rangle
  3. \langle \lambda u, v\rangle  = \lambda \langle u, v\rangle
  4. Se v \ne 0, entón \langle v, v\rangle > 0

onde u, v e w son vectores de V, e λ é un elemento de K.

A partir deses axiomas, é posíbel probar as seguintes consecuencias:

  • \langle u, v+w\rangle  = \langle u, v\rangle  + \langle u, w\rangle
  • \langle u, \lambda v\rangle  = \overline{\lambda}\langle u,v\rangle
  • Se v = 0, entón \langle v, v\rangle  = 0
  • Se \langle v, v\rangle  = 0, entón v = 0

Outra definición que resulta de utilidade é a de semi-produto interno, que se define substituíndo a condición 4 da definición do produto interno pola seguinte:

  • Se v é un vector tal que \langle v, w\rangle  = 0, \forall w \in 
\bold{V}
 , entón v=0 .

Cando se cumpre tal condicón, dise que o produto é non dexenerado. Ademais, todo produto interno é un semi-produto interno, xa que a condición 4 implica que o produto é non dexenerado.

Exemplos[editar | editar a fonte]

O produto escalar sobre o espazo vectorial \mathbb{R}^3 satisfai os axiomas do produto interno e é definido por:

\langle (x_1, y_1, z_1), (x_2, y_2, z_2)\rangle = x_1x_2 + y_1y_2 + z_1z_2

Se f e g son dúas funcións, é posíbel definir o produto interno:

 \langle f, g \rangle = \int f(x)\overline{g(x)}\,dx

Aplicacións[editar | editar a fonte]

A partir do produto interno, é posíbel definir os conceptos de ortogonalidade, norma e distancia entre vectores.


Véxase tamén[editar | editar a fonte]