Produto de Kronecker

O produto de Kronecker, denotado con ($\otimes$) é unha operación entre dúas matrices dun tamaño arbitrario que da como resultado unha matriz bloque. É un caso especial do produto tensorial. O produto de Kronecker non debe ser confundido co produto de matrices común, que é unha operación totalmente diferente.

Definición

Se A é unha matriz de dimensións m$\times$n e B é unha matriz de dimensións p$\times$q, entón o produto de Kronecker A $\otimes$ B é a matriz bloque mp$\times$nq

$A \otimes B = \begin{pmatrix} a_{11} B & \cdots & a_{1n}B \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} B & \cdots & a_{mn} B \end{pmatrix}$

Máis explicitamente,

$A \otimes B = \begin{pmatrix} a_{11} b_{11} & a_{11} b_{12} & \cdots & a_{11} b_{1q} & \cdots & \cdots & a_{1n} b_{11} & a_{1n} b_{12} & \cdots & a_{1n} b_{1q} \\ a_{11} b_{21} & a_{11} b_{22} & \cdots & a_{11} b_{2q} & \cdots & \cdots & a_{1n} b_{21} & a_{1n} b_{22} & \cdots & a_{1n} b_{2q} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & & & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{11} b_{p1} & a_{11} b_{p2} & \cdots & a_{11} b_{pq} & \cdots & \cdots & a_{1n} b_{p1} & a_{1n} b_{p2} & \cdots & a_{1n} b_{pq} \\ \vdots & \vdots & & \vdots & \ddots & & \vdots & \vdots & & \vdots \\ \vdots & \vdots & & \vdots & & \ddots & \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_{m1} b_{11} & a_{m1} b_{12} & \cdots & a_{m1} b_{1q} & \cdots & \cdots & a_{mn} b_{11} & a_{mn} b_{12} & \cdots & a_{mn} b_{1q} \\ a_{m1} b_{21} & a_{m1} b_{22} & \cdots & a_{m1} b_{2q} & \cdots & \cdots & a_{mn} b_{21} & a_{mn} b_{22} & \cdots & a_{mn} b_{2q} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & & & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{m1} b_{p1} & a_{m1} b_{p2} & \cdots & a_{m1} b_{pq} & \cdots & \cdots & a_{mn} b_{p1} & a_{mn} b_{p2} & \cdots & a_{mn} b_{pq} \end{pmatrix}$

Exemplos

$\begin{pmatrix} 1 & 3 & 2 \\ 1 & 0 & 0 \\ 1 & 2 & 2 \end{pmatrix} \otimes \begin{pmatrix} 0 & 5 \\ 5 & 0 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \cdot \begin{pmatrix} 0 & 5 \\ 5 & 0 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} & 3 \cdot \begin{pmatrix} 0 & 5 \\ 5 & 0 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} & 2 \cdot \begin{pmatrix} 0 & 5 \\ 5 & 0 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}\\ 1 \cdot \begin{pmatrix} 0 & 5 \\ 5 & 0 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} & 0 \cdot \begin{pmatrix} 0 & 5 \\ 5 & 0 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} & 0 \cdot \begin{pmatrix} 0 & 5 \\ 5 & 0 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}\\ 1 \cdot \begin{pmatrix} 0 & 5 \\ 5 & 0 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} & 2 \cdot \begin{pmatrix} 0 & 5 \\ 5 & 0 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} & 2 \cdot \begin{pmatrix} 0 & 5 \\ 5 & 0 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 5 & 0 & 15 &0 & 10 \\ 5 & 0 &15 & 0 &10 & 0 \\ 1 & 1 & 3 & 3&2 & 2\\ 0 & 5& 0 & 0 &0 & 0 \\ 5 & 0 &0 & 0 &0 & 0 \\ 1 & 1&0 & 0& 0 & 0\\ 0 & 5 &0 & 10 & 0 & 10 \\ 5 & 0 &10 & 0 &10 & 0 \\ 1 & 1&2 & 2&2 & 2 \end{pmatrix}$

Propiedades

Bilinearidade e asociatividade

O produto de Kronecker é un caso especial do produto tensorial, e polo tanto, é bilinear e asociativo:

$A \otimes (B+C) = A \otimes B + A \otimes C$ se B e C teñen as mesmas dimensións,

$(A+B) \otimes C = A \otimes C + B \otimes C$ se A e B teñen as mesmas dimensións,

$(kA) \otimes B = A \otimes (kB) = k(A \otimes B),$

$(A \otimes B) \otimes C = A \otimes (B \otimes C),$

onde A, B e C son matrices e onde k é un escalar.

O produto de Kronecker non é commutativo: En xeral, A$\otimes$B e B$\otimes$A son matrices diferentes. Porén, A$\otimes$B e B$\otimes$A son intercambios equivalentes, o que quere dicir que hai matrices de permutación P e Q tales que $A \otimes B = P \, (B \otimes A) \, Q.$