Paradoxo do aniversario

O paradoxo do aniversario establece que se hai 23 persoas reunidas hai unha probablidade do 50,7% de que polo menos dúas persoas delas fagan os anos o mesmo día. Para 60 ou máis persoas a probabilidade é maior do 99%. Obviamente é do 100% para 367 persoas (tendo en conta os anos bisestos). En sentido estrito isto non é un paradoxo xa que non é unha contradición lóxica; é un paradoxo no sentido de que é unha verdade matemática que contradi a común intuición. Moita xente pensa que a probabilidade é moito máis baixa, e que fan falla moitas máis persoas para que se alcance a probabilidade do 50%.

Cálculo da probabilidade

Calcular esta probabilidade é o problema do aniversario. A teoría foi descrita na American Mathematical Monthly en 1938 na teoría de Estimación do total de poboación de peixes nun lago de Zoe Emily Schnabel, baixo o nome de captura-recaptura estatística.

A chave para entende-lo paradoxo do aniversario é pensar que hai moitas probabilidades de atopar parellas que fagan anos o mesmo día. Especificamente, entre 23 persoas, hai 23×22/2 = 253 pares, cada un deles un candidato potencial para cumpri-lo paradoxo. Hai que entender que se vostede entrase nunha habitación con 22 persoas, a probabilidade de que calquera cumpra anos o mesmo día que vostede, non é do 50%, é moito máis baixa. Isto é debido a que agora só hai 22 pares posibles. O problema real do paradoxo do aniversario consiste en preguntar se o aniversario de calquera das 23 persoas coincide co aniversario dalgunha das outras persoas.

Para calcula-la probabilidade aproximada que nunha habitación de n persoas, que polo menos dúas fagan anos o mesmo día, sen contar anos bisestos e os xemelgos, e asumimos que existen 365 aniversarios que teñen a mesma probabilidade. O truco é calcular primeiro a probabilidade de que n aniversarios sexan diferentes. Esta probabilidade vén dada por:

$p={\frac {364}{365}}\cdot {\frac {363}{365}}\cdot {\frac {362}{365}}\cdots {\frac {365-n+1}{365}}$

porque a segunda persoa non pode ter o mesmo aniversario que o primeiro (364/365), a terceira persoa non pode ter o mesmo aniversario que as dúas primeiras (363/365) etc. Usando notación factorial, pode ser escrita como:

$p={365! \over 365^{n}(365-n)!}$

para n ≤  365, e 0 para n > 365.

Agora, 1 - p é a probabilidade de que polo menos dúas persoas teñan o mesmo día de aniversario. Para n = 23 obtense unha probabilidade de ao redor de 0,507. En contraste, a probabilidade de que calquera nunha habitación de n persoas teñan o mesmo día de aniversario que vostede está dada por:

$1-\left({\frac {364}{365}}\right)^{n}$

que para n = 22 só dá ao redor de 0,059, e necesitaríase polo menos unha n de 253 para dar un valor de 0,5.