Operador de Laplace

En cálculo vectorial, o operador laplaciano é un operador diferencial elíptico de segunda orde, denotado como Δ, relacionado con certos problemas de minimización de certas magnitudes sobre un certo dominio. O operador ten ese nome en recoñecemento a Pierre-Simon Laplace que estudou solucións de ecuacións diferenciais en derivadas parciais nas que aparecía dito operador.

Expresado en coordenadas cartesianas é igual á suma de todas as segundas derivadas parciais non mixtas dependentes dunha variable. Corresponde á div (grad φ), de onde sae o uso do símbolo delta (Δ) ou nabla cadrado ($\nabla^2$) para representalo. Se $\phi$ e $\mathbf{A}$ son un campo escalar e un campo vectorial respectivamente, o laplaciano de ambos pode escribirse en termos do operador nabla como:

$\Delta\phi= (\nabla\cdot\nabla)\phi = \nabla^2 \phi \qquad \qquad \Delta\mathbf{A} = \nabla(\nabla \cdot \mathbf{A}) - \nabla \times (\nabla \times \mathbf{A}) = (\nabla\cdot\nabla)\mathbf{A}$

Problemas relacionados co operador laplaciano

En física, o laplaciano aparece en múltiples contextos como a teoría do potencial, a propagación de ondas, a condución da calor, a distribución de tensións nun sólido deformable, etc. Pero de todas estas situacións ocupa un lugar destacado na electrostática e na mecánica cuántica. Na electrostática, o operador laplaciano aparece na ecuación de Laplace e na ecuación de Poisson. Mentres que na mecánica cuántica o laplaciano da función de onda dunha partícula da enerxía cinética da mesma. En matemáticas, as funcións tales que o seu laplaciano se anula nun determinado dominio, chámanse funcións harmónicas sobre o dominio. Estas funcións teñen unha excepcional importancia na teoría de funcións de variable complexa. Ademais o operador laplaciano é o ingrediente básico da teoría de Hodge e os resultados da cohomoloxía de Rham.

Motivación da ubicuidade do operador laplaciano

Unha das motivacións polas cales o laplaciano aparece en numerosas áreas da física é que as solucións da ecuación $\Delta f = 0$ nunha rexión U son funcións que minimizan o funcional de enerxía:

$E(f) = \frac{1}{2} \int_U \Vert \nabla f \Vert^2 \mathrm{d}x$

Para ver isto, supóñase que $f\colon U\to \mathbb{R}$ é unha función, e $u\colon U\to \mathbb{R}$ é unha función que se anula sobre a fronteira de U. Entón,

$\frac{d}{d\varepsilon}\Big|_{\varepsilon = 0} E(f+\varepsilon u) = \int_U \nabla f \cdot \nabla u \mathrm{d} x = -\int_U u \Delta f \mathrm{d} x$

onde a última igualdade séguese usando a primeira identidade de Green. Este cálculo mostra que se $\Delta f = 0$, entón o funcional de enerxía E é estacionario arredor de f. Reciprocamente, se E é estacionario arredor de f, entón $\Delta f=0$ polo teorema fundamental do cálculo integral.

Outra razón da súa ubicuidade é que cando un escribe a ecuación de Laplace en forma diferenzas finitas apréciase que o laplaciano nun punto é a diferenza entre o valor da función no punto e o valor da función arredor do mesmo. É dicir, calquera magnitude que pode expresarse como unha magnitude fluxo que se conserva e satisfai a ecuación de Laplace.

Propiedades do operador laplaciano

O laplaciano é linear:

$\nabla^2 (\lambda f + \mu g) = \lambda \nabla^2 f + \mu \nabla^2 g$

A seguinte afirmación tamén é certa:

$\nabla^2(fg)=(\nabla^2f)g+2(\nabla f)\cdot(\nabla g)+f(\nabla^2g)$

Operador laplaciano en diversos sistemas de coordenadas

Coordenadas cartesianas

En coordenadas cartesianas (plano) bidimensionais, o laplaciano dunha función f é:

$\Delta f=\nabla^2 f= {\partial^2 f \over \partial x^2 } + {\partial^2 f \over \partial y^2 }$

En coordenadas cartesianas tridimensionais:

$\Delta f = \nabla^2 f = {\partial^2 f \over \partial x^2 } + {\partial^2 f \over \partial y^2 } + {\partial^2 f \over \partial z^2 }$

En coordenadas cartesianas en $\mathbb{R}^n$:

$\Delta f(x_1,...,x_n)= \sum_{k=1}^n {\partial^2 f \over \partial x_k^2 }(x_1,...,x_n)$

Coordenadas cilíndricas

En coordenadas cilíndricas $(\rho,\varphi,z)\,$:

$\Delta f = \nabla^2 f = {1 \over \rho} {\partial \over \partial \rho} \left( \rho {\partial f \over \partial \rho} \right) + {1 \over \rho^2} {\partial^2 f \over \partial \varphi^2} + {\partial^2 f \over \partial z^2 } = {1 \over \rho} {\partial f \over \partial \rho} + {\partial^2 f \over \partial \rho^2} + {1 \over \rho^2} {\partial^2 f \over \partial \varphi^2} + {\partial^2 f \over \partial z^2 } .$

Coordenadas esféricas

En coordenadas esféricas $(r,\theta,\phi)\,$:

$\Delta f = \nabla^2 f = {1 \over r^2} {\partial \over \partial r} \left( r^2 {\partial f \over \partial r} \right) + {1 \over r^2 \sin \theta} {\partial \over \partial \theta} \left( \sin \theta {\partial f \over \partial \theta} \right) + {1 \over r^2 \sin^2 \theta} {\partial^2 f \over \partial \phi^2}$

Coordenadas curvilíneas ortogonais

En coordenadas ortogonais xerais $(u_1,u_2,u_3)\,$:

$\Delta f = \nabla^2 f = \frac{1}{h_1 h_2 h_3}\left[ \frac{\part}{\part u_1} \left(\frac{h_2 h_3}{h_1} \frac{\part f}{\part u_1}\right)+ \frac{\part}{\part u_2} \left(\frac{h_3 h_1}{h_2} \frac{\part f}{\part u_2}\right)+ \frac{\part}{\part u_3} \left(\frac{h_1 h_2}{h_3} \frac{\part f}{\part u_3}\right) \right]$

Onde $(h_1,h_2,h_3)\,$ son os factores de escala do sistema de coordenadas, que en xeral serán tres funcións dependentes das tres coordenadas curvilíneas.

Función harmónica

Unha función $f: E \subset \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}$ dise que é harmónica en E se:

$\forall x \in E, \,\, \Delta f(x) = 0$

Exemplos de funcións harmónicas:

• $f(x,y) = log (\sqrt{x^{2}+y^{2}})$ sobre o plano euclídeo.
• O potencial gravitatorio dado por $\phi(x,y,z) = GM/(\sqrt{x^{2}+y^{2}+z^{2}})$ é harmónico sobre o espazo euclídeo tridimensional.
• os harmónicos esféricos son funcións harmónicas sobre un dominio finito ou infinito, que aparecen na resolución de problemas con simetría esférica.

Xeneralizacións do Laplaciano

O laplaciano pode ser estendido a funcións definidas sobre superficies, ou en forma máis xeral, en variedades de Riemann e variedades seudoriemannianas.

Operador de Laplace-Beltrami

Unha extensión do laplaciano a funcións reais definidas sobre unha variedade é o operador de Laplace-Beltrami (denotado $\nabla^2$). Defínese, en forma similar ao laplaciano, como a diverxencia do gradiente, onde o gradiente unha función f definida nunha variedade (seudo)riemaniana e a diverxencia dun campo vectorial X sobre a mesma veñen dados en compoñentes por:

$(\mbox{grad}\ f)^i = g^{ij}\frac{\partial f}{\partial x^j} \qquad \mbox{div}\ X = \frac{1}{\sqrt{|g|}}\frac{\partial}{\partial x^j}\left(\sqrt{|g|}X^i\right)$

Onde: $g^{ij}$, é tensor 2-contravariante asociado ao tensor métrico. $\sqrt{|g|}$, é a raíz cadrada do valor absoluto do determinante do tensor métrico. O operador de Laplace-Beltrami dunha función escalar obtense como a diverxencia e o gradiente definidos como anteriormente, é dicir:

$\nabla^2 f = \frac{1}{\sqrt{|g|}}\frac{\partial}{\partial x^k}\left(\sqrt{|g|}g^{ik}\frac{\partial f}{\partial x^i}\right)$

Operador de Laplace-deRham

En variedades riemannianas e seudoriemanninas existe outra xeneralización do laplaciano que o estende a k-formas, que é a base da cohomoloxía de Hodge-deRham. Esta extensión chamada operador de Laplace-deRham, e denotado como $\boldsymbol\Delta$, defínese en termos da diferencial exterior (d) e a codiferencial exterior (δ) de k-formas ou alternativamente en termos da diferencial exterior e o operador dual de Hodge. Este operador de Laplace-deRham defínese como:

$\boldsymbol{\Delta}\alpha = (d\delta+\delta d) \alpha = (d+\delta)^2 \alpha$

Onde a codiferencial pode reescribirse en termos da diferencial exterior e o operador dual de Hodge:

$\delta = (-1)^{n(k+1)+1}*d* \;$

Onde n é a dimensión da variedade (seudo)riemanniana e k é a orde da k-forma α.

Véxase tamén

Ligazóns externas

• O operador laplaciano en MathWorld (en inglés)