Operador de Laplace

Na Galipedia, a Wikipedia en galego.

En cálculo vectorial, o operador laplaciano é un operador diferencial elíptico de segunda orde, denotado como Δ, relacionado con certos problemas de minimización de certas magnitudes sobre un certo dominio. O operador ten ese nome en recoñecemento a Pierre-Simon Laplace que estudou solucións de ecuacións diferenciais en derivadas parciais nas que aparecía dito operador.

Expresado en coordenadas cartesianas é igual á suma de todas as segundas derivadas parciais non mixtas dependentes dunha variable. Corresponde á div (grad φ), de onde sae o uso do símbolo delta (Δ) ou nabla cadrado (\nabla^2) para representalo. Se \phi e \mathbf{A} son un campo escalar e un campo vectorial respectivamente, o laplaciano de ambos pode escribirse en termos do operador nabla como:


\Delta\phi= (\nabla\cdot\nabla)\phi = \nabla^2 \phi \qquad \qquad
\Delta\mathbf{A} = \nabla(\nabla \cdot \mathbf{A}) - \nabla \times (\nabla \times \mathbf{A}) =  (\nabla\cdot\nabla)\mathbf{A}

Problemas relacionados co operador laplaciano[editar | editar a fonte]

En física, o laplaciano aparece en múltiples contextos como a teoría do potencial, a propagación de ondas, a condución da calor, a distribución de tensións nun sólido deformable, etc. Pero de todas estas situacións ocupa un lugar destacado na electrostática e na mecánica cuántica. Na electrostática, o operador laplaciano aparece na ecuación de Laplace e na ecuación de Poisson. Mentres que na mecánica cuántica o laplaciano da función de onda dunha partícula da enerxía cinética da mesma. En matemáticas, as funcións tales que o seu laplaciano se anula nun determinado dominio, chámanse funcións harmónicas sobre o dominio. Estas funcións teñen unha excepcional importancia na teoría de funcións de variable complexa. Ademais o operador laplaciano é o ingrediente básico da teoría de Hodge e os resultados da cohomoloxía de Rham.

Motivación da ubicuidade do operador laplaciano[editar | editar a fonte]

Unha das motivacións polas cales o laplaciano aparece en numerosas áreas da física é que as solucións da ecuación  \Delta f = 0 nunha rexión U son funcións que minimizan o funcional de enerxía:

 E(f) = \frac{1}{2} \int_U \Vert \nabla f \Vert^2 \mathrm{d}x


Para ver isto, supóñase que f\colon U\to \mathbb{R} é unha función, e u\colon U\to \mathbb{R} é unha función que se anula sobre a fronteira de U. Entón,

 \frac{d}{d\varepsilon}\Big|_{\varepsilon = 0} E(f+\varepsilon u) = \int_U \nabla f \cdot \nabla u \mathrm{d} x = -\int_U u \Delta f \mathrm{d} x


onde a última igualdade séguese usando a primeira identidade de Green. Este cálculo mostra que se  \Delta f = 0, entón o funcional de enerxía E é estacionario arredor de f. Reciprocamente, se E é estacionario arredor de f, entón \Delta f=0 polo teorema fundamental do cálculo integral.

Outra razón da súa ubicuidade é que cando un escribe a ecuación de Laplace en forma diferenzas finitas apréciase que o laplaciano nun punto é a diferenza entre o valor da función no punto e o valor da función arredor do mesmo. É dicir, calquera magnitude que pode expresarse como unha magnitude fluxo que se conserva e satisfai a ecuación de Laplace.

Propiedades do operador laplaciano[editar | editar a fonte]

O laplaciano é linear:

 \nabla^2 (\lambda f + \mu g) = \lambda \nabla^2 f + \mu \nabla^2 g

A seguinte afirmación tamén é certa:

\nabla^2(fg)=(\nabla^2f)g+2(\nabla f)\cdot(\nabla g)+f(\nabla^2g)

Operador laplaciano en diversos sistemas de coordenadas[editar | editar a fonte]

Coordenadas cartesianas[editar | editar a fonte]

En coordenadas cartesianas (plano) bidimensionais, o laplaciano dunha función f é:


\Delta f=\nabla^2 f= {\partial^2 f \over \partial x^2 } +
{\partial^2 f \over \partial y^2 }

En coordenadas cartesianas tridimensionais:


\Delta f = \nabla^2 f = 
{\partial^2 f \over \partial x^2 } +
{\partial^2 f \over \partial y^2 } +
{\partial^2 f \over \partial z^2 }

En coordenadas cartesianas en \mathbb{R}^n:


\Delta f(x_1,...,x_n)= \sum_{k=1}^n
{\partial^2 f \over \partial x_k^2 }(x_1,...,x_n)

Coordenadas cilíndricas[editar | editar a fonte]

En coordenadas cilíndricas (\rho,\varphi,z)\,:


 \Delta f = \nabla^2 f 
= {1 \over \rho} {\partial \over \partial \rho}
  \left( \rho {\partial f \over \partial \rho} \right) 
+ {1 \over \rho^2} {\partial^2 f \over \partial \varphi^2}
+ {\partial^2 f \over \partial z^2 } 
= {1 \over \rho} {\partial f \over \partial \rho} 
+ {\partial^2 f \over \partial \rho^2}
+ {1 \over \rho^2} {\partial^2 f \over \partial \varphi^2}
+ {\partial^2 f \over \partial z^2 }
.

Coordenadas esféricas[editar | editar a fonte]

En coordenadas esféricas (r,\theta,\phi)\,:


\Delta f = \nabla^2 f
= {1 \over r^2} {\partial \over \partial r}
  \left( r^2 {\partial f \over \partial r} \right) 
+ {1 \over r^2 \sin \theta} {\partial \over \partial \theta}
  \left( \sin \theta {\partial f \over \partial \theta} \right) 
+ {1 \over r^2 \sin^2 \theta} {\partial^2 f \over \partial \phi^2}

Coordenadas curvilíneas ortogonais[editar | editar a fonte]

En coordenadas ortogonais xerais (u_1,u_2,u_3)\,:


\Delta f = \nabla^2 f = \frac{1}{h_1 h_2 h_3}\left[
\frac{\part}{\part u_1} \left(\frac{h_2 h_3}{h_1} \frac{\part f}{\part u_1}\right)+
\frac{\part}{\part u_2} \left(\frac{h_3 h_1}{h_2} \frac{\part f}{\part u_2}\right)+
\frac{\part}{\part u_3} \left(\frac{h_1 h_2}{h_3} \frac{\part f}{\part u_3}\right) \right]

Onde (h_1,h_2,h_3)\, son os factores de escala do sistema de coordenadas, que en xeral serán tres funcións dependentes das tres coordenadas curvilíneas.

Función harmónica[editar | editar a fonte]

Unha función f: E \subset \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R} dise que é harmónica en E se:

\forall x \in E, \,\, \Delta f(x) = 0

Exemplos de funcións harmónicas:

Xeneralizacións do Laplaciano[editar | editar a fonte]

O laplaciano pode ser estendido a funcións definidas sobre superficies, ou en forma máis xeral, en variedades de Riemann e variedades seudoriemannianas.

Operador de Laplace-Beltrami[editar | editar a fonte]

Unha extensión do laplaciano a funcións reais definidas sobre unha variedade é o operador de Laplace-Beltrami (denotado \nabla^2). Defínese, en forma similar ao laplaciano, como a diverxencia do gradiente, onde o gradiente unha función f definida nunha variedade (seudo)riemaniana e a diverxencia dun campo vectorial X sobre a mesma veñen dados en compoñentes por:

(\mbox{grad}\ f)^i = g^{ij}\frac{\partial f}{\partial x^j} \qquad \mbox{div}\ X = \frac{1}{\sqrt{|g|}}\frac{\partial}{\partial x^j}\left(\sqrt{|g|}X^i\right)

Onde: g^{ij}, é tensor 2-contravariante asociado ao tensor métrico. \sqrt{|g|}, é a raíz cadrada do valor absoluto do determinante do tensor métrico. O operador de Laplace-Beltrami dunha función escalar obtense como a diverxencia e o gradiente definidos como anteriormente, é dicir:

\nabla^2 f = \frac{1}{\sqrt{|g|}}\frac{\partial}{\partial x^k}\left(\sqrt{|g|}g^{ik}\frac{\partial f}{\partial x^i}\right)

Operador de Laplace-deRham[editar | editar a fonte]

En variedades riemannianas e seudoriemanninas existe outra xeneralización do laplaciano que o estende a k-formas, que é a base da cohomoloxía de Hodge-deRham. Esta extensión chamada operador de Laplace-deRham, e denotado como \boldsymbol\Delta, defínese en termos da diferencial exterior (d) e a codiferencial exterior (δ) de k-formas ou alternativamente en termos da diferencial exterior e o operador dual de Hodge. Este operador de Laplace-deRham defínese como:

\boldsymbol{\Delta}\alpha = (d\delta+\delta d) \alpha = (d+\delta)^2 \alpha

Onde a codiferencial pode reescribirse en termos da diferencial exterior e o operador dual de Hodge:

\delta = (-1)^{n(k+1)+1}*d* \;

Onde n é a dimensión da variedade (seudo)riemanniana e k é a orde da k-forma α.

Véxase tamén[editar | editar a fonte]

Ligazóns externas[editar | editar a fonte]