Módulo (álxebra)

Para outras páxinas con títulos homónimos véxase: Módulo.

Un módulo sobre un anel R é unha estrutura alxébrica que se define sobre un conxunto M. Sobre este conxunto defínese unha operación interna que o cualifica como grupo abeliano e unha operación entre os elementos de R e os de M que verifica certas propiedades.

Definición

Especificamente, un módulo pola esquerda sobre o anel R consiste nun grupo abeliano (M, +) e unha operación R × M → M (multiplicación escalar, xeralmente escrita como xustaposición, é dicir, rx para r en R e x en M) tal que

Para todo r, s en R, x, y en M, temos

1. (rs)x = r(sx)
2. (r+s)x = rx+sx
3. r(x+y) = rx+ry
4. 1x = x

Xeralmente, escríbese simplemente "un R - módulo pola esquerda M" ou _RM.

Un R módulo pola dereita M ou M_R defínese de forma semellante, só que o anel actúa pola dereita, é dicir, a multiplicación escalar é da forma M × R → M, e as tres propiedades escríbense cos escalares r e s á dereita de x e y.

Se R é conmutativo, entón os R-módulos pola esquerda son iguais cós R-módulos pola dereita e chámanse simplemente R-módulos.

Exemplos

• Se K é un corpo, entón os conceptos de "K-espazo vectorial" e de K-módulo son idénticos.
• Cada grupo abeliano M é un módulo sobre o anel dos números enteiros Z se definimos nx = x + x +... + x (n sumandos) para n > 0, 0 x = 0, e (- n) x = - (nx) para n < 0.
• Se R é un anel calquera e n un número natural, entón o produto cartesiano Rⁿ é un módulo pola esquerda e pola dereita sobre R se empregamos as operacións compoñente a compoñente. O caso n = 0 dá o trivial R-módulo {0} que consiste soamente no elemento identidade (aditiva).
• Se X é unha variedade diferenciable, entón as funcións diferenciables de X ós números reais R forman un anel. O conxunto de todos os campos vectoriais diferenciables definidos en X forman un módulo sobre R, e o mesmo os campos tensoriais e as formas diferenciais en X.
• As matrices cadradas de orde n con elementos reais forman un anel R, e o espazo euclidiano R ⁿ é un módulo pola esquerda sobre este anel se definimos a operación de módulo empregando o produto de matrices.
• Se R é un anel calquera e I é calquera ideal pola esquerda en R, entón I é un módulo pola esquerda sobre R. Analogamente os ideais pola dereita son módulos pola dereita.

Submódulos e homomorfismos

Se M é un R-módulo pola esquerda e N é un subgrupo de M. Entón N é un submódulo (o R-submódulo, para ser máis explícito) se, para calquera n en N e calquera r en R, o produto rn está en N (ou o nr para un módulo pola dereita). Se M e N son R - módulos, entón unha función f: M → N é un homomorfismo de R - módulos se, para calquera m, n en M e r, s en R,

f (rm + sn) = rf(m) + sf(n).

Isto, como calquera homomorfismo entre obxectos matemáticos, é precisamente unha función que conserva a estrutura dos obxectos. Un homomorfismo bixectivo de módulos é un isomorfismo de módulos, e os dous módulos chámanse isomorfos. Dous módulos isomorfos son idénticos para todos os propósitos prácticos, diferenciándose soamente na notación dos seus elementos.

O núcleo dun homomorfismo de módulos f: M → N é o submódulo de M que consiste en todos os elementos teñen imaxe cero por f. Os teoremas de isomorfía familiares de grupos abelianos e de espazos vectorias son tamén válidos para R-módulos.

Os R-módulos pola esquerda, xunto cos seus homomorfismos de módulo, forman unha categoría, escrita como _RMod. Esta é unha categoría abeliana.

Tipos de módulos

• Finitamente xerado: Un módulo M é finitamente xerado se existe un número finito de elementos x₁..., x_n en M tales que cada elemento de M é unha combinación linear dos elementos con coeficientes do anel escalar R.
• Libre: Un módulo libre é un módulo que ten unha base libre, ou equivalentemente, un que é isomorfo a unha suma directa de copias do anel escalar R. Estes son os módulos que se comportan de xeito análogo aos espazos vectoriais.
• Proxectivo: Os módulos proxectivos son sumandos directos de módulos libres e comparten moitas das súas propiedades.
• Inxectivo: Os módulos inxectivos defínenese dualmente aos módulos proxectivos.
• Simple: Un módulo simple S é un módulo que non é {0} cuxos únicos submódulos son {0} e S. Os módulos simples chámanse ás veces irreducibles.
• Indescompoñible: Un módulo indescompoñible é un módulo non nulo que no se pode escribir como unha suma directa de dous submódulos diferentes a cero. Cada módulo simple é indescompoñible.
• Fiel: Un módulo fiel M é un onde a acción de cada r (distinto de cero) en R é non trivial (é dicir, existe algún m en M tal que rm ≠ 0). Equivalente, o anulador de M é o ideal cero.
• Noetheriano: Un módulo noetheriano é un módulo tal que cada submódulo é finitamente xerado. Equivalente, cada cadea crecente de submódulos chega a ser estacionaria nun número finito de pasos.
• Artiniano: Un módulo artiniano é un módulo no que cada cadea decrecente de submódulos chega a ser estacionaria nun número finito de pasos.

Definición alternativa como representacións

Se M é un R-módulo pola esquerda, entón a acción dun elemento r en R se define como a función M → M que envía cada x ao rx (ou ao xr no caso dun módulo pola dereita), e é necesariamente un endomorfismo de grupo do grupo abeliano (M, +). O conxunto de todos os endomorfismos de grupo de M denótase End_Z(M) e forma un anel baixo a adición e a composición, e enviando un elemento r do anel R a súa acción define realmente un homomorfismo de anel de R a End_Z(M).

O homorfismo R do anel → End_Z(M) chámase representación de R no grupo abeliano M; unha maneira alternativa e equivalente de definir R-módulos pola esquerda é dicir que un R-módulo pola esquerda é un grupo abeliano M xunto cunha representación de R nel.

Unha representación chámase fiel se e só se a función R → End_Z(M) é inxectiva. En termos de módulos, isto significa que se r é un elemento de R tal que rx = 0 para todo x en M, entón r = 0. Cada grupo abeliano é un módulo fiel sobre os números enteiros ou sobre unha certa aritmética modular Z/n Z.

Véxase tamén

Bibliografía

• F.W. Anderson e K.R. Fuller: Rings and Categories of Modules, Graduate Texts in Mathematics, Vol. 13, 2.ª Ed., Springer-Verlag, Nova York, 1992
• Siles Molina, Mercedes (2014). Introdución á teoría de módulos (PDF) (en castelán). Penonomé: Escuela pre-CIMPA.