Lei de Stefan-Boltzmann

A Lei de Stefan-Boltzmann (tamén coñecida como Lei de Stefan) establece que a enerxía total radiada por unidade de área superficial dun corpo negro na unidade de tempo (radiación do corpo negro), (ou a densidade de fluxo enerxético (fluxo radiante) ou potencia emisora), j^* é directamente proporcional á cuarta potencia da súa temperatura termodinámica T:

$j^{\star }=\sigma T^{4}$

A constante de proporcionalidade (non é unha constante fundamental) é chamada constante de Stefan-Boltzmann ou constante de Stefan σ. O seu valor é 5.670 400(40) × 10⁻⁸ J s⁻¹ m⁻² K⁻⁴. A lei foi descuberta de xeito experimental por Jožef Stefan (1835-1893) no ano 1879 e derivada de xeito teórico no marco da termodinámica por Ludwig Boltzmann (1844-1906) no 1884. Boltzmann supuxo unha máquina térmica ideal coa luz como susbtancia de traballo semellante a un gas. Esta lei a a única lei da natureza que leva o nome dun físico esloveno. Hoxe pódese derivar a lei da Lei de Planck sobre a radiación dun corpo negro:

$j^{\star }=\int _{0}^{\infty }\left({dj^{\star } \over d\lambda }\right)d\lambda$

e é válida só para obxectos de cor negra ideal, os perfectos radiantes, chamados corpos negros (?). Stefan publicou esta lei o 20 de marzo no artigo Über die Beziehung zwischen der Wärmestrahlung und der Temperatur (Das relacións entre radiación térmica e temperatura) nos Boletíns das sesións da Academia das Ciencias de Viena.

Temperatura do Sol

Con esta lei Stefan tamén determinou a temperatura da superficie solar. Coñeceu, a partir dos datos de Charles Soret (1854–1904) que a densidade do fluxo enerxético solar é 29 veces maior que a densidade do fluxo enerxético dunha lamela de metal quencida a temperatura equivalente. Unha lamela redonda foi situada a unha distancia do aparello de medida tal que podería ser vista co mesmo ángulo que o sol. Soret estimou que a temperatura da lamela era entre 1900 °C e 2000 °C. Stefan supuxo que 1/3 do fluxo da enerxía solar é absorbido pola atmosfera terrestre, co que colleu un valor total para o fluxo enerxético do Sol os 3/2 do observado; polo tanto, 3*29/2 = 43,5 veces. Medidas máis precisas da absorción atmosférica foron feitas en 1888 e 1904. A temperatura Stefan obtida foi un valor medio entre os anteriores, 1950 °C, e polo tanto a temperatura termodinámica absoluta moi próxima a 2200 K. Como 2.57⁴ = 43.5, séguese que a temperatura solar é 2.57 veces maior que a da lamela, collendo Stefan un valor de 5430 °C ou 5700 K (o valor aceptado na actualidade é 5780 K). Este foi o primeiro valor acordado para a temperatura do Sol. Con anterioridade foran supostos de arredor de 1800 °C ata 13,000,000 °C. O primeiro valor de 1800 °C fora determinado por Claude Servais Mathias Pouillet (1790-1868) no 1838 usando a lei de Dulong-Petit. Pouilett colleu tamén a metade do valor do fluxo enerxético solar. Pode que este resultado lembrara a Stefan que a lei de Dulong-Petit podía non ser exacta a altas tempraturas: Se collemos a luz solar cunha lente, podemos quencer un sólido a unha temperatura moito maior que 1800 °C.

A Lei de Stefan-Boltzmann é un exemplo de lei potencial.

Exemplos

Coa Lei de Stefan-Boltzmann, os astrónomos pode inferir facilmente o raio das estrelas. A lei e tamén usada na termodinámica dos furados negros na chamada radiación de Hawking. De xeito semellante podemos calcular a temperatura da Terra T_E:

$T_{E}=T_{S}{\sqrt {r_{S} \over 2a_{0}}}\;=5780\times {\sqrt {696\times 10^{6} \over 2\times 149.59787066\times 10^{9}}}=278.7755970\;{\rm {K}}\;,$

onde T_S é a temperatura do Sol, r_S o radio do Sol e a₀ a unidade astronómica e podemos tomar 6 °C, así, o noso Sol é unhas 964 veces máis quente que a Terra. Isto amosa de xeito aproximado que T ~ 300 K é a temperatura do noso mundo. O máis pequeno cambio da distancia dende o Sol ou das condicións atmosféricas podería cambiar a temperatura media da Terra.

Algúns físicos criticaron a Stefan por usar un método inaudito antes para determinar a lei. É certo que foi axudado por algunhas coincidencias afortunadas, pero isto non significa que non fixera a dedución limpamente.