Hipérbola

Na Galipedia, a Wikipedia en galego.
As asíntotas da hipérbola son as liñas descontinuas azuis que se cortan no centro da hipérbola (curvas rubias), C. Os dos puntos focais denomínanse F1 e F2, e a liña negra que os une é o eixe transversal. A liña fina perpendicular en negro que pasa polo centro é o eixe conxugado, mentres que As dúas liñas grosas en negro paralelas ao eixe conxugado (ou perpendiculares ao eixe transversal) son as dúas directrices, D1 e D2. A excentricidade e (e>1), é igual ao cociente entre as distancias (en verde) desde un punto P da hipérbola até un dos focos e a súa correspondente directriz. Os dous vértices atópanse no eixe transversal a unha distancia ±a con respecto ao centro.

Unha hipérbola (do grego ὑπερβολή) é unha sección cónica, unha curva aberta de dúas pólas obtida de cortar un cono recto por un plano oblicuo ao eixe de simetría cun ángulo menor que o da xeratriz respecto do eixe de revolución.[1]

Unha hipérbola é o lugar xeométrico dos puntos dun plano tales que o valor absoluto da diferenza das súas distancias a dous puntos fixos, chamados focos, é igual á distancia entre os vértices, que é unha constante positiva.

Etimoloxía[editar | editar a fonte]

Seccións cónicas.

Hipérbola deriva da verba grega ὑπερβολή (exceso), e é cognado de hipérbole (a figura literaria que equivale a esaxeración).

Historia[editar | editar a fonte]

Debido á inclinación do corte, o plano da hipérbola interseca ambas ramas do cono.

Segundo a tradición, as seccións cónicas foron descritos por primeira vez por Menecmo, no seu estudo do problema da duplicación do cubo,[2] onde demostra a existencia dunha solución mediante o corte dunha parábola cunha hipérbola, o cal é confirmado posteriormente por Proclo e Eratóstenes.[3]

Mais o primeiro en usar o termo de hipérbola foi Apolonio de Perge no seu tratado Cónicas,[4] considerada a obra maior sobre o tema das matemáticas gregas, e onde se desenvolve o estudo das tanxentes das seccións cónicas.

Ecuacións da hipérbola[editar | editar a fonte]

Ecuacións en coordenadas cartesianas:

Ecuación dunha hipérbola con centro na orixe de coordenadas (0, 0) \, (forma canónica). a \, é o semieixo maior (metade da distancia entre as dúas pólas), e b \, é o semieixo menor.

\frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1

Ecuación dunha hipérbola con centro en (h, k) \,

\frac{(x-h)^2}{a^2} - \frac{(y-k)^2}{b^2} = 1


Ecuación da hipérbola na súa forma complexa:

Una hipérbola no plano complexo é o lugar xeométrico formado por un conxunto de puntos z\, (complexos), no plano Re Im\,; tales que, calquera deles satisfai a condición xeométrica de que o valor absoluto da diferenza das súas distancias |z-w_1|-|z-w_2|\,, a dous puntos fixos chamados focosw_1\, e w_2\,, é unha constante positiva igual ao dobre da distancia (é dicir, 2l\, ) que existe entre o seu centro e calquera dos seus vértices do eixe focal.

A ecuación queda: |z-w_1|-|z-w_2|=2l\,


Ecuacións en coordenadas polares:
Dúas hipérbolas e as súas asíntotas.

Hipérbola aberta de dereita a esquerda: Hyperbola2.png

r^2 =a\sec 2\theta \,


Hipérbola aberta de arriba a abaixo:

r^2 =-a\sec 2\theta \,

Hipérbola aberta de nordeste a suroeste: Giperbola-ravnoboch.png

r^2 =a\csc 2\theta \,

Hipérbola aberta de noroeste a sueste:

r^2 =-a\csc 2\theta \,


Ecuacións paramétricas:

Hipérbola aberta de dereita a esquerda:

\begin{matrix}
 x = a\sec t + h \\
 y = b\tan t + k \\
\end{matrix}
\qquad \mathrm{o} \qquad\begin{matrix}
 x = \pm a\cosh t + h \\
 y = b\sinh t + k \\
\end{matrix}

Hipérbola aberta de arriba a abaixo:

\begin{matrix}
 x = a\tan t + h \\
 y = b\sec t + k \\
\end{matrix}
\qquad \mathrm{o} \qquad\begin{matrix}
 x = a\sinh t + h \\
 y = \pm b\cosh t + k \\
\end{matrix}

En todas as formulas (h,k) son as coordenadas do centro da hipérbola, a é a lonxitude do semieixe maior, b é a lonxitude do semieixe menor.

Notas[editar | editar a fonte]

  1. Se o ángulo de plano intersección, respecto do eixe de revolución, é maior que o comprendido entre a xeratriz e o eixe de revolución, a intersección será unha elipse, será unha parábola se é paralelo ao dito eixe, e unha circunferencia se é perpendicular ao eixe.
  2. Heath, Sir Thomas (1921) (en inglés). A history of Greek Mathematics vol. 1. OCLC 2014918. 
  3. Ken Schmarge. "Conic Sections in Ancient Greece" (en inglés). http://www.math.rutgers.edu/~cherlin/History/Papers1999/schmarge.html. Consultado o 10-X-2011. 
  4. J. J. O'Connor e E. F. Robertson. "Apollonius of Perga" (en inglés). http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/Biographies/Apollonius.html. Consultado o 10-X-2011. 

Véxase tamén[editar | editar a fonte]

Ligazóns externas[editar | editar a fonte]

Commons
Commons ten máis contidos multimedia na categoría: Hipérbola