Gramiano de controlabilidade

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En control de procesos, o Gramiano de controlabilidade é un Gramiano que se usa para determinar se un sistema lineal é controlábel. Para un sistema lineal e constante:

\dot{x} = A x + B u

o Gramiano de controlabilidade defínese como:

W_c (t) = \int\limits_0^t e^{A\tau} B B^T e^{A^T \tau} d\tau = \int\limits_0^t e^{A(t-\tau)} B B^T e^{A^T(t-\tau)} d\tau

Se a matriz W_c é non singular, é dicir W_c ten rango n (sendo n menor de entre o número de columnas ou filas), para todo t > 0, dise entón que o par (A,B) é controlábel.

Sistemas lineais invariantes no tempo de forma

\dot{x}(t) = A(t) x(t) + B(t) u(t),
y(t) = C(t) x(t) + D(t) u(t)

son controlabeis no intervalo [t_0,t_1] se as filas da matriz producto \Phi(t_0,\tau)B(\tau), onde \Phi é a matriz de transmisión de estado, son linealmente independentes. O Gramiano úsase para demostrar a independencia linear de \Phi(t_0,\tau)B(\tau). Para ser linealmente independente, a matriz Gramiana W_c ten que ser invertíbel.

W_c(t) = \int\limits_{t_0}^{t} \Phi(t_0,\tau)B(\tau)B^T(\tau)\Phi^T(t_0,\tau) d\tau