Gramiano de controlabilidade

En control de procesos, o Gramiano de controlabilidade é un Gramiano que se usa para determinar se un sistema lineal é controlábel. Para un sistema lineal e constante:

$\dot{x} = A x + B u$

o Gramiano de controlabilidade defínese como:

$W_c (t) = \int\limits_0^t e^{A\tau} B B^T e^{A^T \tau} d\tau = \int\limits_0^t e^{A(t-\tau)} B B^T e^{A^T(t-\tau)} d\tau$

Se a matriz $W_c$ é non singular, é dicir $W_c$ ten rango n (sendo n menor de entre o número de columnas ou filas), para todo $t > 0$, dise entón que o par $(A,B)$ é controlábel.

Sistemas lineais invariantes no tempo de forma

$\dot{x}(t) = A(t) x(t) + B(t) u(t)$,

$y(t) = C(t) x(t) + D(t) u(t)$

son controlabeis no intervalo $[t_0,t_1]$ se as filas da matriz producto $\Phi(t_0,\tau)B(\tau)$, onde $\Phi$ é a matriz de transmisión de estado, son linealmente independentes. O Gramiano úsase para demostrar a independencia linear de $\Phi(t_0,\tau)B(\tau)$. Para ser linealmente independente, a matriz Gramiana $W_c$ ten que ser invertíbel.

$W_c(t) = \int\limits_{t_0}^{t} \Phi(t_0,\tau)B(\tau)B^T(\tau)\Phi^T(t_0,\tau) d\tau$